2025人教A版高中数学选择性必修第三册强化练习题（含解析）--6.3.2 二项式系数的性质
文档属性
| 名称 | 2025人教A版高中数学选择性必修第三册强化练习题（含解析）--6.3.2 二项式系数的性质 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 302.8KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-12-23 09:14:50 | ||
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文档简介
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2025人教A版高中数学选择性必修第三册
6.3.2 二项式系数的性质
基础过关练
题组一 二项式系数的和与对称性
1.(教材习题改编)在(a+b)n的展开式中,与第k项的二项式系数相同的项是( )
A.第(n-k)项 B.第(n-k-1)项
C.第(n-k+1)项 D.第(n-k+2)项
2.(2023江苏南京江浦高级中学期中)在的展开式中,第4项和第5项的二项式系数相等,则展开式中x5的系数为( )
A.
3.(多选题)(2024福建龙岩期末)在的展开式中,下列说法正确的是( )
A.常数项是16
B.系数为有理数的项共有4项
C.第5项和第6项的二项式系数相等
D.奇数项的二项式系数之和为256
4.(2024天津大学附属中学月考)在的展开式中,所有的二项式系数之和为256,则常数项等于 .
题组二 二项式系数的增减性与最值问题
5.(2024河北邢台名校联盟月考)在(x+1)24的展开式中,系数最大的项是( )
A.第11项 B.第12项 C.第13项 D.第14项
6.(多选题)(2023福建厦门外国语学校月考)在(1+x)n(n∈N*)的展开式中,若第6项为二项式系数最大的项,则n的值可能为( )
A.11 B.10 C.9 D.8
7.(多选题)(2024福建莆田期末)在的展开式中,下列说法正确的有( )
A.常数项为第三项
B.二项式系数之和为729
C.系数最大的项为第三项
D.系数最大的项的系数为240
题组三 赋值法求系数和
8.(2022福建厦门双十中学期中)若(2x+)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=( )
A.1 B.-1 C.0 D.2
9.(多选题)(2024山东潍坊期末)若(2x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则( )
A.a0=1
B.a0+a1+a2+a3+a4=16
C.a0+a2+a4=41
D.a1+a3=40
10.已知多项式(x+1)5=a0(x-1)5+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a0+a1+…+a5= .
11.(2024江苏常州期末)在(x2-y)6的展开式中,各项系数的绝对值之和为 .
12.(2024上海同济一附中月考)已知的展开式中共有13项.
(1)求展开式中的常数项;
(2)求展开式中各项系数之和.
能力提升练
题组一 二项式系数的性质及其应用
1.(多选题)若的展开式的二项式系数之和为32,则( )
A.展开式共有5项
B.
C.展开式的常数项为40
D.展开式的第5项的系数为5
2.(多选题)(2024湖南益阳期末)已知的展开式中的第4项与第5项的二项式系数相等,则 ( )
A.n=7
B.展开式中的所有项的系数之和为128
C.常数项为945
D.x5的系数为21
3.(2024重庆月考)已知(x+3x2)n.
(1)若x=1,n=2 024,求它的值被7除的余数;
(2)若它的展开式的二项式系数之和为128,求展开式中系数最大的项.
题组二 赋值法求系数和
4.(2022江西部分学校期末联考)若(1+2x)(1-x+x2)9=a0+a1x+a2x2+…+a19x19,则a1+a2+…+a18的值是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
5.(2022江西黎川第一中学期末)已知(x2+1)(2x-1)7=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a9(x-1)9,则a2+a4+a6+a8=( )
A.10 935 B.5 546 C.5 467 D.5 465
6.若(3x-2)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a0+a1+2a2+3a3+4a4+5a5的值是( )
A.15 B.-32 C.-27 D.-17
7.(多选题)(2024辽宁新高考联盟月考)已知(1+x)7=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+…+a7(1-x)7,则下列选项正确的有( )
A.a0=1 B.a6=14
C.a0+a1+…+a7=1 D.a1+a3+a5+a7=-364
8.在(x-2y+z)7的展开式中,所有形如xaybz2(a,b∈N)的项的系数之和是 .
9.(2024浙江宁波余姚中学质量检测)已知x4+x8=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a8(x-1)8,则a0= ,a1+a3+a5+a7= .
10.在下列三个条件中任选一个,补充在问题中的横线上,并解答.
条件①:展开式中前三项的二项式系数之和为22;
条件②:展开式中所有项的二项式系数之和减去所有项的系数之和等于64;
条件③:展开式中的常数项为第三项.
问题:已知的 ,求:
(1)展开式中二项式系数最大的项;
(2)展开式中所有的有理项;
(3)展开式中所有项的系数之和.
答案与分层梯度式解析
6.3.2 二项式系数的性质
基础过关练
1.D 2.B 3.ACD 5.C 6.ABC 7.CD 8.A 9.AC
1.D 第k项的二项式系数是,故第(n-k+2)项的二项式系数与第k项的二项式系数相同.
2.B 由题意得,所以n=7,
所以.故选B.
3.ACD ,r=0,1,…,9.
选项A中,令-,故A正确;选项B中,令∈Z,解得r=1,3,5,7,9,所以展开式的系数为有理数的项共有5项,故B错误;选项C中,因为,所以第5项和第6项的二项式系数相等,故C正确;选项D中,奇数项的二项式系数和为28=256,故D正确.故选ACD.
4.答案 252
解析 ∵在的展开式中,所有的二项式系数之和为256,∴2n=256,解得n=8,
∴,
令=252.
5.C (x+1)24的展开式的通项为Tr+1=x24-r,r=0,1,…,24,
它的各项系数就是二项式系数,
因为n=24,所以(x+1)24的展开式有24+1=25项,中间一项的二项式系数最大,
则系数最大的项是第13项.故选C.
6.ABC 当n=11时,二项式系数最大的项是第6项和第7项,符合题意;当n=10时,二项式系数最大的项是第6项,符合题意;当n=9时,二项式系数最大的项是第5项和第6项,符合题意;当n=8时,二项式系数最大的项是第5项,不符合题意.故选ABC.
7.CD 26-rx6-2r,r=0,1,2,3,4,5,6.
令6-2r=0,得r=3,所以常数项为第四项,故A错误;展开式的二项式系数之和为26=64,故B错误;
由
24=240,故C、D正确.故选CD.
解题模板 求二项展开式中系数最大的项,先设展开式中第(k+1)项的系数ak+1最大,再利用求出k的取值范围,结合k∈N,确定k的值,进而解决问题.
8.A 在(2x+)4=1.故选A.
9.AC 对于A,令x=0,得a0=(-1)4=1,故A正确;
对于B,令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4=(2×1-1)4=1,故B错误;
对于C,D,令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4=(-2-1)4=81,
又因为a0+a1+a2+a3+a4=1,
所以两式相加得2(a0+a2+a4)=82,两式相减得2(a1+a3)=-80,
即a0+a2+a4=41,a1+a3=-40,故C正确,D错误.
故选AC.
10.答案 31
解析 令x=1,得a1+a2+a3+a4+a5=25=32,
令x=0,得-a0=1,即a0=-1,
所以a0+a1+…+a5=32-1=31.
11.答案 64
解析 令x=1,y=-1,得各项系数的绝对值之和为26=64.
12.解析 (1)由题意得n=12,
则·212-k·x24-3k,k=0,1,…,12,
令24-3k=0,解得k=8,
故展开式中的常数项为T9=·24=7 920.
(2)令x=1,可得展开式中各项系数之和为312=531 441.
能力提升练
1.BC 2.ABD 4.A 5.D 6.D 7.BC
1.BC 由,其展开式共有6项,因此A错误;
,因此B正确;
,r=0,1,2,…,5,
令·22=40,因此C正确;
·24=80,因此D错误.故选BC.
2.ABD 因为,解得n=7,因此A正确;
令x=1,可得展开式中的所有项的系数之和为(3-1)7=27=128,因此B正确;
37-r·(-1)r·x2r-7,r=0,1,…,7,
令2r-7=0,得r= N,所以不存在常数项,因此C错误;
令2r-7=5,得r=6,所以x5的系数为31·(-1)6=21,因此D正确.故选ABD.
3.解析 (1)因为x=1,n=2 024,
所以(x+3x2)n=42 024=24 048=2×81 349=2×(1+7)1 349
=2(×71 349),
显然=1,
所以42 024被7除的余数为2.
(2)因为(x+3x2)n的展开式的二项式系数之和为128,
所以2n=128,所以n=7,
则(x+3x2)n=(x+3x2)7,其展开式的通项为Tr+1=x7+r(0≤r≤7,r∈N),
假设展开式中系数最大的项为第(r+1)项,
则
即
即解得5≤r≤6,
又r∈N,所以r=5或r=6,
所以展开式中系数最大的项为第6,7项,
即T6=35x13=5 103x13.
4.A 令x=0,得a0=1,
令x=1,得a0+a1+a2+…+a18+a19=(1+2)×(1-1+1)9=3,又(1+2x)(1-x+x2)9的展开式中含x19的项为2x·(x2)9=2x19,所以a19=2,
所以a1+a2+…+a18=3-a0-a19=3-1-2=0,故选A.
5.D 令x-1=t,得(t2+2t+2)(1+2t)7=a0+a1t+a2t2+…+a9t9,令t=0,得a0=2,令t=1,得a0+a1+a2+…+a9=10 935,令t=-1,得a0-a1+a2-…-a9=-1,
所以a0+a2+a4+a6+a8==5 467,所以a2+a4+a6+a8=5 467-a0=5 467-2=5 465.故选D.
6.D 令x=0,可得(-2)5=a0,所以a0=-32,
设f(x)=(3x-2)5,g(x)=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,
则f '(x)=3×5×(3x-2)4,
g'(x)=5a5x4+4a4x3+3a3x2+2a2x+a1,
所以3×5×(3x-2)4=5a5x4+4a4x3+3a3x2+2a2x+a1,
令x=1,可得15=a1+2a2+3a3+4a4+5a5,
所以a0+a1+2a2+3a3+4a4+5a5=-32+15=-17.
故选D.
7.BC 令t=1-x,则x=1-t,所以(2-t)7=a0+a1t+a2t2+…+a7t7.
对于A,令t=0,得a0=(2-0)7=27=128,因此A错误;
对于B,(2-t)7的展开式的通项为Tr+1=27-rtr,r=0,1,…,7,
令r=6,则a6=(-1)6·2=14,因此B正确;
对于C,令t=1,得a0+a1+a2+…+a7=(2-1)7=1①,因此C正确;
对于D,令t=-1,得a0-a1+a2-…-a7=(2+1)7=37②,
由①②得a1+a3+a5+a7==-1 093,因此D错误.故选BC.
8.答案 -21
解析 因为(x-2y+z)7=[(x-2y)+z]7,所以展开式中含z2的项为×(1-2)5×12=-21.
9.答案 2;136
解析 在x4+x8=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a8(x-1)8中,令x=1,可得a0=2,
令x=0,可得a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7+a8=0,①
令x=2,可得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=272,②
由①②可得a1+a3+a5+a7=136.
10.解析 (1)选①,由题意得=22,即(n+7)·(n-6)=0,得n=6(负值舍去).
选②,令x=1,可得展开式中所有项的系数之和为0.
由-0=2n=64,得n=6.
选③,,r=0,1,…,n,
因为展开式中的常数项为第三项,所以得n=6.
由n=6得展开式的二项式系数最大为,
则展开式中二项式系数最大的项为T4=.
(2)由(1)知n=6,.
因为0≤r≤6,r∈N,∈Z,
所以r=0,2,4,6,
则有理项为T1=x-6=x-6.
(3)在=0,
所以展开式中所有项的系数之和为0.
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2025人教A版高中数学选择性必修第三册
6.3.2 二项式系数的性质
基础过关练
题组一 二项式系数的和与对称性
1.(教材习题改编)在(a+b)n的展开式中,与第k项的二项式系数相同的项是( )
A.第(n-k)项 B.第(n-k-1)项
C.第(n-k+1)项 D.第(n-k+2)项
2.(2023江苏南京江浦高级中学期中)在的展开式中,第4项和第5项的二项式系数相等,则展开式中x5的系数为( )
A.
3.(多选题)(2024福建龙岩期末)在的展开式中,下列说法正确的是( )
A.常数项是16
B.系数为有理数的项共有4项
C.第5项和第6项的二项式系数相等
D.奇数项的二项式系数之和为256
4.(2024天津大学附属中学月考)在的展开式中,所有的二项式系数之和为256,则常数项等于 .
题组二 二项式系数的增减性与最值问题
5.(2024河北邢台名校联盟月考)在(x+1)24的展开式中,系数最大的项是( )
A.第11项 B.第12项 C.第13项 D.第14项
6.(多选题)(2023福建厦门外国语学校月考)在(1+x)n(n∈N*)的展开式中,若第6项为二项式系数最大的项,则n的值可能为( )
A.11 B.10 C.9 D.8
7.(多选题)(2024福建莆田期末)在的展开式中,下列说法正确的有( )
A.常数项为第三项
B.二项式系数之和为729
C.系数最大的项为第三项
D.系数最大的项的系数为240
题组三 赋值法求系数和
8.(2022福建厦门双十中学期中)若(2x+)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=( )
A.1 B.-1 C.0 D.2
9.(多选题)(2024山东潍坊期末)若(2x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则( )
A.a0=1
B.a0+a1+a2+a3+a4=16
C.a0+a2+a4=41
D.a1+a3=40
10.已知多项式(x+1)5=a0(x-1)5+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a0+a1+…+a5= .
11.(2024江苏常州期末)在(x2-y)6的展开式中,各项系数的绝对值之和为 .
12.(2024上海同济一附中月考)已知的展开式中共有13项.
(1)求展开式中的常数项;
(2)求展开式中各项系数之和.
能力提升练
题组一 二项式系数的性质及其应用
1.(多选题)若的展开式的二项式系数之和为32,则( )
A.展开式共有5项
B.
C.展开式的常数项为40
D.展开式的第5项的系数为5
2.(多选题)(2024湖南益阳期末)已知的展开式中的第4项与第5项的二项式系数相等,则 ( )
A.n=7
B.展开式中的所有项的系数之和为128
C.常数项为945
D.x5的系数为21
3.(2024重庆月考)已知(x+3x2)n.
(1)若x=1,n=2 024,求它的值被7除的余数;
(2)若它的展开式的二项式系数之和为128,求展开式中系数最大的项.
题组二 赋值法求系数和
4.(2022江西部分学校期末联考)若(1+2x)(1-x+x2)9=a0+a1x+a2x2+…+a19x19,则a1+a2+…+a18的值是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
5.(2022江西黎川第一中学期末)已知(x2+1)(2x-1)7=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a9(x-1)9,则a2+a4+a6+a8=( )
A.10 935 B.5 546 C.5 467 D.5 465
6.若(3x-2)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a0+a1+2a2+3a3+4a4+5a5的值是( )
A.15 B.-32 C.-27 D.-17
7.(多选题)(2024辽宁新高考联盟月考)已知(1+x)7=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+…+a7(1-x)7,则下列选项正确的有( )
A.a0=1 B.a6=14
C.a0+a1+…+a7=1 D.a1+a3+a5+a7=-364
8.在(x-2y+z)7的展开式中,所有形如xaybz2(a,b∈N)的项的系数之和是 .
9.(2024浙江宁波余姚中学质量检测)已知x4+x8=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a8(x-1)8,则a0= ,a1+a3+a5+a7= .
10.在下列三个条件中任选一个,补充在问题中的横线上,并解答.
条件①:展开式中前三项的二项式系数之和为22;
条件②:展开式中所有项的二项式系数之和减去所有项的系数之和等于64;
条件③:展开式中的常数项为第三项.
问题:已知的 ,求:
(1)展开式中二项式系数最大的项;
(2)展开式中所有的有理项;
(3)展开式中所有项的系数之和.
答案与分层梯度式解析
6.3.2 二项式系数的性质
基础过关练
1.D 2.B 3.ACD 5.C 6.ABC 7.CD 8.A 9.AC
1.D 第k项的二项式系数是,故第(n-k+2)项的二项式系数与第k项的二项式系数相同.
2.B 由题意得,所以n=7,
所以.故选B.
3.ACD ,r=0,1,…,9.
选项A中,令-,故A正确;选项B中,令∈Z,解得r=1,3,5,7,9,所以展开式的系数为有理数的项共有5项,故B错误;选项C中,因为,所以第5项和第6项的二项式系数相等,故C正确;选项D中,奇数项的二项式系数和为28=256,故D正确.故选ACD.
4.答案 252
解析 ∵在的展开式中,所有的二项式系数之和为256,∴2n=256,解得n=8,
∴,
令=252.
5.C (x+1)24的展开式的通项为Tr+1=x24-r,r=0,1,…,24,
它的各项系数就是二项式系数,
因为n=24,所以(x+1)24的展开式有24+1=25项,中间一项的二项式系数最大,
则系数最大的项是第13项.故选C.
6.ABC 当n=11时,二项式系数最大的项是第6项和第7项,符合题意;当n=10时,二项式系数最大的项是第6项,符合题意;当n=9时,二项式系数最大的项是第5项和第6项,符合题意;当n=8时,二项式系数最大的项是第5项,不符合题意.故选ABC.
7.CD 26-rx6-2r,r=0,1,2,3,4,5,6.
令6-2r=0,得r=3,所以常数项为第四项,故A错误;展开式的二项式系数之和为26=64,故B错误;
由
24=240,故C、D正确.故选CD.
解题模板 求二项展开式中系数最大的项,先设展开式中第(k+1)项的系数ak+1最大,再利用求出k的取值范围,结合k∈N,确定k的值,进而解决问题.
8.A 在(2x+)4=1.故选A.
9.AC 对于A,令x=0,得a0=(-1)4=1,故A正确;
对于B,令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4=(2×1-1)4=1,故B错误;
对于C,D,令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4=(-2-1)4=81,
又因为a0+a1+a2+a3+a4=1,
所以两式相加得2(a0+a2+a4)=82,两式相减得2(a1+a3)=-80,
即a0+a2+a4=41,a1+a3=-40,故C正确,D错误.
故选AC.
10.答案 31
解析 令x=1,得a1+a2+a3+a4+a5=25=32,
令x=0,得-a0=1,即a0=-1,
所以a0+a1+…+a5=32-1=31.
11.答案 64
解析 令x=1,y=-1,得各项系数的绝对值之和为26=64.
12.解析 (1)由题意得n=12,
则·212-k·x24-3k,k=0,1,…,12,
令24-3k=0,解得k=8,
故展开式中的常数项为T9=·24=7 920.
(2)令x=1,可得展开式中各项系数之和为312=531 441.
能力提升练
1.BC 2.ABD 4.A 5.D 6.D 7.BC
1.BC 由,其展开式共有6项,因此A错误;
,因此B正确;
,r=0,1,2,…,5,
令·22=40,因此C正确;
·24=80,因此D错误.故选BC.
2.ABD 因为,解得n=7,因此A正确;
令x=1,可得展开式中的所有项的系数之和为(3-1)7=27=128,因此B正确;
37-r·(-1)r·x2r-7,r=0,1,…,7,
令2r-7=0,得r= N,所以不存在常数项,因此C错误;
令2r-7=5,得r=6,所以x5的系数为31·(-1)6=21,因此D正确.故选ABD.
3.解析 (1)因为x=1,n=2 024,
所以(x+3x2)n=42 024=24 048=2×81 349=2×(1+7)1 349
=2(×71 349),
显然=1,
所以42 024被7除的余数为2.
(2)因为(x+3x2)n的展开式的二项式系数之和为128,
所以2n=128,所以n=7,
则(x+3x2)n=(x+3x2)7,其展开式的通项为Tr+1=x7+r(0≤r≤7,r∈N),
假设展开式中系数最大的项为第(r+1)项,
则
即
即解得5≤r≤6,
又r∈N,所以r=5或r=6,
所以展开式中系数最大的项为第6,7项,
即T6=35x13=5 103x13.
4.A 令x=0,得a0=1,
令x=1,得a0+a1+a2+…+a18+a19=(1+2)×(1-1+1)9=3,又(1+2x)(1-x+x2)9的展开式中含x19的项为2x·(x2)9=2x19,所以a19=2,
所以a1+a2+…+a18=3-a0-a19=3-1-2=0,故选A.
5.D 令x-1=t,得(t2+2t+2)(1+2t)7=a0+a1t+a2t2+…+a9t9,令t=0,得a0=2,令t=1,得a0+a1+a2+…+a9=10 935,令t=-1,得a0-a1+a2-…-a9=-1,
所以a0+a2+a4+a6+a8==5 467,所以a2+a4+a6+a8=5 467-a0=5 467-2=5 465.故选D.
6.D 令x=0,可得(-2)5=a0,所以a0=-32,
设f(x)=(3x-2)5,g(x)=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,
则f '(x)=3×5×(3x-2)4,
g'(x)=5a5x4+4a4x3+3a3x2+2a2x+a1,
所以3×5×(3x-2)4=5a5x4+4a4x3+3a3x2+2a2x+a1,
令x=1,可得15=a1+2a2+3a3+4a4+5a5,
所以a0+a1+2a2+3a3+4a4+5a5=-32+15=-17.
故选D.
7.BC 令t=1-x,则x=1-t,所以(2-t)7=a0+a1t+a2t2+…+a7t7.
对于A,令t=0,得a0=(2-0)7=27=128,因此A错误;
对于B,(2-t)7的展开式的通项为Tr+1=27-rtr,r=0,1,…,7,
令r=6,则a6=(-1)6·2=14,因此B正确;
对于C,令t=1,得a0+a1+a2+…+a7=(2-1)7=1①,因此C正确;
对于D,令t=-1,得a0-a1+a2-…-a7=(2+1)7=37②,
由①②得a1+a3+a5+a7==-1 093,因此D错误.故选BC.
8.答案 -21
解析 因为(x-2y+z)7=[(x-2y)+z]7,所以展开式中含z2的项为×(1-2)5×12=-21.
9.答案 2;136
解析 在x4+x8=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a8(x-1)8中,令x=1,可得a0=2,
令x=0,可得a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7+a8=0,①
令x=2,可得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=272,②
由①②可得a1+a3+a5+a7=136.
10.解析 (1)选①,由题意得=22,即(n+7)·(n-6)=0,得n=6(负值舍去).
选②,令x=1,可得展开式中所有项的系数之和为0.
由-0=2n=64,得n=6.
选③,,r=0,1,…,n,
因为展开式中的常数项为第三项,所以得n=6.
由n=6得展开式的二项式系数最大为,
则展开式中二项式系数最大的项为T4=.
(2)由(1)知n=6,.
因为0≤r≤6,r∈N,∈Z,
所以r=0,2,4,6,
则有理项为T1=x-6=x-6.
(3)在=0,
所以展开式中所有项的系数之和为0.
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