2025人教A版高中数学选择性必修第三册强化练习题（含解析）--7.1.2 全概率公式
文档属性
| 名称 | 2025人教A版高中数学选择性必修第三册强化练习题（含解析）--7.1.2 全概率公式 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 290.9KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-12-23 09:15:12 | ||
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文档简介
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2025人教A版高中数学选择性必修第三册
7.1.2 全概率公式
基础过关练
题组一 全概率公式
1.(2023江苏苏州期中)已知某班讲台上有左、右两盒粉笔,左盒中有20支白色粉笔、5支黄色粉笔,右盒中有5支红色粉笔、6支黄色粉笔、4支蓝色粉笔.某位老师从这两盒中取粉笔,取自左盒的概率为40%,取自右盒的概率为60%.若该老师从这两盒中任取一支,则取到黄色粉笔的概率为( )
A.0.275 B.0.28 C.0.32 D.0.6
2.(教材习题改编)已知某医院仓库中有10盒同样规格的X光片,其中甲、乙、丙三厂生产的盒数分别为5,3,2,且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率分别为.现从这10盒中任取一盒,再从这盒中任取一张X光片,则取得的X光片是次品的概率为( )
A.0.08 B.0.1 C.0.15 D.0.2
3.(2024江西新余期末)长时间玩手机可能影响视力.据调查,某校大约有30%的学生近视,而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1小时,这些人的近视率约为60%,现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意选取一名学生,则他近视的概率为( )
A.
4.(2024安徽六安一中期中)甲口袋中有3个红球,2个白球和5个黑球,乙口袋中有3个红球,3个白球和4个黑球,先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋,用事件A1,A2和A3分别表示从甲口袋取出的球是红球,白球和黑球;再从乙口袋中随机取出一球,用事件B表示从乙口袋取出的球是红球,则下列结论中正确的是( )
A.P(B|A2)= B.事件A1和B相互独立
C.P(B)=
5.(2024广东东莞期中)已知某地市场上供应的灯泡中,70%产自甲厂,30%产自乙厂,甲厂产品的合格率是90%,乙厂产品的合格率是80%,则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是 .
6.(2024吉林BEST合作体期末)某学校在甲、乙、丙三个地区进行新生录取,三个地区的录取比例分别为.现从这三个地区随机抽取一个人,此人被录取的概率是 .
7.(2024江苏苏州期中)某工厂有三个车间生产同一种通讯器材,第1个车间生产该通讯器材的优等品率为6%,第2和第3个车间生产该通讯器材的优等品率均为5%,生产出来的产品混放在同一个仓库里.已知第1,2,3车间生产的通讯器材的数量分别占总数的25%,30%,45%.
(1)现从仓库中任取一个通讯器材,则它是优等品的概率是多少
(2)如果取到的通讯器材是优等品,计算它是第i(i=1,2,3)个车间生产的概率.
题组二 贝叶斯公式*
8.(2023湖北武昌实验中学适应性考试)已知某公路上经过的汽车只有货车和客车,且货车与客车的数量之比为2∶1,货车中途停车修理的概率为0.02,客车中途停车修理的概率为0.01.现有一辆汽车中途停车修理,则该汽车是货车的概率为( )
A.0.4 B.0.6 C.0.7 D.0.8
9.(2023湖北武汉问津教育联合体质量检测)某货车为乡村小学运送书籍,共10箱,其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书.到目的地时发现丢失一箱,但不知丢失的是哪一箱.现从剩下的9箱中任意打开2箱,结果都是英语书,则丢失的一箱也是英语书的概率为( )
A.
10.(多选题)(2024湖南长沙雅礼中学月考)英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著,根据贝叶斯统计理论,随机事件A、B存在如下关系,P(A|B)=.某高校有甲、乙两家餐厅,王同学第一天去甲、乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6,如果他第一天去甲餐厅,那么第二天去甲餐厅的概率为0.6;如果他第一天去乙餐厅,那么第二天去甲餐厅的概率为0.5.则下列说法正确的是( )
A.他第二天去甲餐厅的概率为0.54
B.他第二天去乙餐厅的概率为0.44
C.若他第二天去了甲餐厅,则他第一天去乙餐厅的概率为
D.若他第二天去了乙餐厅,则他第一天去甲餐厅的概率为
11.(2023天津塘沽一中月考)已知某人从甲地到乙地乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.2,0.4,0.4,乘火车迟到的概率为0.4,乘轮船迟到的概率为0.3,乘飞机迟到的概率为0.5,则这个人迟到的概率是 ;如果这个人迟到了,那么他乘轮船的概率是 .
12.(2024河南安阳模拟)李老师购买了一箱苹果,将其分为两份,第1份占总数的40%,坏果率为5%,第2份占总数的60%,坏果率为4%.若李老师分苹果之前随机拿了一个发现是坏果后放回,则该苹果被分到第1份中的概率为 .
13.(2023河北保定六校联考)作为一种益智游戏,中国象棋具有悠久的历史,中国象棋的背后体现的是博大精深的中华文化.某地举办了一次地区性的中国象棋比赛,小明作为选手参加.除小明外的其他参赛选手中,一、二、三类棋手的人数之比为5∶7∶8,小明与一、二、三类棋手比赛获胜的概率分别为0.6,0.5,0.4.
(1)从参赛选手中随机抽取一位棋手与小明比赛,求小明获胜的概率;
(2)如果小明获胜,求与小明比赛的棋手分别为一、二、三类棋手的概率.
答案与分层梯度式解析
7.1.2 全概率公式
基础过关练
1.C 2.A 3.B 4.C 8.D 9.B 10.AC
1.C 用A表示取自左盒,用B表示取自右盒,用C表示取到黄色粉笔,则P(A)=0.4,P(B)=0.6,P(C|A)=0.2,P(C|B)=0.4,所以P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=0.4×0.2+0.6×0.4=0.32.
故选C.
2.A 用事件A1,A2,A3分别表示取得的X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的,用事件B表示取得的X光片是次品,则P(A1)=,
所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)·P(B|A3)==0.08.
故选A.
3.B 令事件A1=“该校学生每天玩手机的时间超过1 h”,事件A2=“该校学生每天玩手机的时间不超过1 h”,事件B=“从该校任意选取一名学生,此学生近视”,
则Ω=A1∪A2,且A1,A2互斥,P(A1)=0.2,P(A2)=0.8,P(B|A1)=0.6,P(B)=0.3,
依题意得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.2×0.6+0.8×P(B|A2)=0.3,解得P(B|A2)=,
所以所求概率为.
故选B.
4.C 由题意得P(A1)=,所以A错误;
P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=,因此C正确;
因为P(B)≠P(B|A1),所以事件A1与事件B不相互独立,因此B错误;
P(A1|B)=,因此D错误.
故选C.
5.答案 0.87
解析 从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是70%×90%+30%×80%=0.87.
6.答案
解析 设事件A1,A2,A3分别表示此人选自甲、乙、丙地区,事件B表示此人被录取,
则P(A1)=P(A2)=P(A3)=,
∴P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=.
7.解析 设 Ai=“通讯器材为第 i个车间生产”( i=1,2,3 ),B=“任取一个通讯器材为优等品”,则P(A1)=0.25,P(A2)=0.3,P(A3)=0.45,P(B|A1)=0.06,P(B|A2)=P(B|A3)=0.05.
(1)由全概率公式,得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)·P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05=0.052 5,
因此现从仓库中任取一个通讯器材,它是优等品的概率是0.052 5.
(2)“如果取到的通讯器材是优等品,计算它是第 i(i=1,2,3)个车间生产的概率”,就是计算在 B 发生的条件下,事件 Ai 发生的概率.
P(A1|B)=,
同理有 P(A2|B)=,
如果取到的通讯器材是优等品,那么它是第1个车间生产的概率为,它是第2个车间生产的概率为,它是第3个车间生产的概率为.
8.D 设事件A1表示“经过的是货车”,A2表示“经过的是客车”,B表示“汽车中途停车修理”,则B=A1B∪A2B,由题意得,P(A1)=,P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.01,由贝叶斯公式得,
P(A1|B)=
==0.8.
9.B 用A表示“丢失一箱后任取2箱都是英语书”,B1表示“丢失的一箱为英语书”,B2表示“丢失的一箱为数学书”,B3表示“丢失的一箱为语文书”,则P(B1)=,由全概率公式得P(A)=.
由贝叶斯公式可知P(B1|A)=.故选B.
10.AC 设A1为第一天去甲餐厅,A2为第二天去甲餐厅,B1为第一天去乙餐厅,B2为第二天去乙餐厅,
所以P(A1)=0.4,P(B1)=0.6,P(A2|A1)=0.6,P(A2|B1)=0.5,
所以P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)=0.4×0.6+0.6×0.5=0.54,选项A正确;
因为A2与B2互为对立事件,所以P(B2)=1-P(A2)=0.46,选项B不正确;
因为P(A2|B1)==0.5,
所以P(A2)P(B1|A2)=0.3,
所以P(B1|A2)=,选项C正确;
P(A1|B2)=,选项D不正确.故选AC.
11.答案 0.4;0.3
解析 用事件A,B,C分别表示“这个人乘火车、轮船、飞机”,用事件D表示“这个人迟到”,
则P(A)=0.2,P(B)=0.4,P(C)=0.4,P(D|A)=0.4,P(D|B)=0.3,P(D|C)=0.5,所以P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)=0.2×0.4+0.4×0.3+0.4×0.5=0.4.
由贝叶斯公式得,P(B|D)==0.3.
12.答案
解析 设事件B为“拿的苹果是坏果”,Ai(i=1,2)为“拿的苹果来自第i份”,
则P(A1)=0.4,P(B|A1)=0.05,P(A2)=0.6,P(B|A2)=0.04,
所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.4×0.05+0.6×0.04=0.044,
因此所求概率为P(A1|B)=.
13.解析 设Ai=“小明与第i类棋手相遇(i=1,2,3)”,B=“小明获胜”,则P(A1)=0.25,P(A2)=0.35,P(A3)=0.4,P(B|A1)=0.6,P(B|A2)=0.5,P(B|A3)=0.4.
(1)P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)·P(B|A3)=0.25×0.6+0.35×0.5+0.4×0.4=0.485,
故从参赛选手中随机抽取一位棋手与小明比赛,则小明获胜的概率为0.485.
(2)P(A1|B)=,
P(A2|B)=,
P(A3|B)=,
因此如果小明获胜,那么与小明比赛的棋手为一类棋手的概率为,为二类棋手的概率为,为三类棋手的概率为.
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7.1.2 全概率公式
基础过关练
题组一 全概率公式
1.(2023江苏苏州期中)已知某班讲台上有左、右两盒粉笔,左盒中有20支白色粉笔、5支黄色粉笔,右盒中有5支红色粉笔、6支黄色粉笔、4支蓝色粉笔.某位老师从这两盒中取粉笔,取自左盒的概率为40%,取自右盒的概率为60%.若该老师从这两盒中任取一支,则取到黄色粉笔的概率为( )
A.0.275 B.0.28 C.0.32 D.0.6
2.(教材习题改编)已知某医院仓库中有10盒同样规格的X光片,其中甲、乙、丙三厂生产的盒数分别为5,3,2,且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率分别为.现从这10盒中任取一盒,再从这盒中任取一张X光片,则取得的X光片是次品的概率为( )
A.0.08 B.0.1 C.0.15 D.0.2
3.(2024江西新余期末)长时间玩手机可能影响视力.据调查,某校大约有30%的学生近视,而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1小时,这些人的近视率约为60%,现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意选取一名学生,则他近视的概率为( )
A.
4.(2024安徽六安一中期中)甲口袋中有3个红球,2个白球和5个黑球,乙口袋中有3个红球,3个白球和4个黑球,先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋,用事件A1,A2和A3分别表示从甲口袋取出的球是红球,白球和黑球;再从乙口袋中随机取出一球,用事件B表示从乙口袋取出的球是红球,则下列结论中正确的是( )
A.P(B|A2)= B.事件A1和B相互独立
C.P(B)=
5.(2024广东东莞期中)已知某地市场上供应的灯泡中,70%产自甲厂,30%产自乙厂,甲厂产品的合格率是90%,乙厂产品的合格率是80%,则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是 .
6.(2024吉林BEST合作体期末)某学校在甲、乙、丙三个地区进行新生录取,三个地区的录取比例分别为.现从这三个地区随机抽取一个人,此人被录取的概率是 .
7.(2024江苏苏州期中)某工厂有三个车间生产同一种通讯器材,第1个车间生产该通讯器材的优等品率为6%,第2和第3个车间生产该通讯器材的优等品率均为5%,生产出来的产品混放在同一个仓库里.已知第1,2,3车间生产的通讯器材的数量分别占总数的25%,30%,45%.
(1)现从仓库中任取一个通讯器材,则它是优等品的概率是多少
(2)如果取到的通讯器材是优等品,计算它是第i(i=1,2,3)个车间生产的概率.
题组二 贝叶斯公式*
8.(2023湖北武昌实验中学适应性考试)已知某公路上经过的汽车只有货车和客车,且货车与客车的数量之比为2∶1,货车中途停车修理的概率为0.02,客车中途停车修理的概率为0.01.现有一辆汽车中途停车修理,则该汽车是货车的概率为( )
A.0.4 B.0.6 C.0.7 D.0.8
9.(2023湖北武汉问津教育联合体质量检测)某货车为乡村小学运送书籍,共10箱,其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书.到目的地时发现丢失一箱,但不知丢失的是哪一箱.现从剩下的9箱中任意打开2箱,结果都是英语书,则丢失的一箱也是英语书的概率为( )
A.
10.(多选题)(2024湖南长沙雅礼中学月考)英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著,根据贝叶斯统计理论,随机事件A、B存在如下关系,P(A|B)=.某高校有甲、乙两家餐厅,王同学第一天去甲、乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6,如果他第一天去甲餐厅,那么第二天去甲餐厅的概率为0.6;如果他第一天去乙餐厅,那么第二天去甲餐厅的概率为0.5.则下列说法正确的是( )
A.他第二天去甲餐厅的概率为0.54
B.他第二天去乙餐厅的概率为0.44
C.若他第二天去了甲餐厅,则他第一天去乙餐厅的概率为
D.若他第二天去了乙餐厅,则他第一天去甲餐厅的概率为
11.(2023天津塘沽一中月考)已知某人从甲地到乙地乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.2,0.4,0.4,乘火车迟到的概率为0.4,乘轮船迟到的概率为0.3,乘飞机迟到的概率为0.5,则这个人迟到的概率是 ;如果这个人迟到了,那么他乘轮船的概率是 .
12.(2024河南安阳模拟)李老师购买了一箱苹果,将其分为两份,第1份占总数的40%,坏果率为5%,第2份占总数的60%,坏果率为4%.若李老师分苹果之前随机拿了一个发现是坏果后放回,则该苹果被分到第1份中的概率为 .
13.(2023河北保定六校联考)作为一种益智游戏,中国象棋具有悠久的历史,中国象棋的背后体现的是博大精深的中华文化.某地举办了一次地区性的中国象棋比赛,小明作为选手参加.除小明外的其他参赛选手中,一、二、三类棋手的人数之比为5∶7∶8,小明与一、二、三类棋手比赛获胜的概率分别为0.6,0.5,0.4.
(1)从参赛选手中随机抽取一位棋手与小明比赛,求小明获胜的概率;
(2)如果小明获胜,求与小明比赛的棋手分别为一、二、三类棋手的概率.
答案与分层梯度式解析
7.1.2 全概率公式
基础过关练
1.C 2.A 3.B 4.C 8.D 9.B 10.AC
1.C 用A表示取自左盒,用B表示取自右盒,用C表示取到黄色粉笔,则P(A)=0.4,P(B)=0.6,P(C|A)=0.2,P(C|B)=0.4,所以P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=0.4×0.2+0.6×0.4=0.32.
故选C.
2.A 用事件A1,A2,A3分别表示取得的X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的,用事件B表示取得的X光片是次品,则P(A1)=,
所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)·P(B|A3)==0.08.
故选A.
3.B 令事件A1=“该校学生每天玩手机的时间超过1 h”,事件A2=“该校学生每天玩手机的时间不超过1 h”,事件B=“从该校任意选取一名学生,此学生近视”,
则Ω=A1∪A2,且A1,A2互斥,P(A1)=0.2,P(A2)=0.8,P(B|A1)=0.6,P(B)=0.3,
依题意得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.2×0.6+0.8×P(B|A2)=0.3,解得P(B|A2)=,
所以所求概率为.
故选B.
4.C 由题意得P(A1)=,所以A错误;
P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=,因此C正确;
因为P(B)≠P(B|A1),所以事件A1与事件B不相互独立,因此B错误;
P(A1|B)=,因此D错误.
故选C.
5.答案 0.87
解析 从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是70%×90%+30%×80%=0.87.
6.答案
解析 设事件A1,A2,A3分别表示此人选自甲、乙、丙地区,事件B表示此人被录取,
则P(A1)=P(A2)=P(A3)=,
∴P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=.
7.解析 设 Ai=“通讯器材为第 i个车间生产”( i=1,2,3 ),B=“任取一个通讯器材为优等品”,则P(A1)=0.25,P(A2)=0.3,P(A3)=0.45,P(B|A1)=0.06,P(B|A2)=P(B|A3)=0.05.
(1)由全概率公式,得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)·P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05=0.052 5,
因此现从仓库中任取一个通讯器材,它是优等品的概率是0.052 5.
(2)“如果取到的通讯器材是优等品,计算它是第 i(i=1,2,3)个车间生产的概率”,就是计算在 B 发生的条件下,事件 Ai 发生的概率.
P(A1|B)=,
同理有 P(A2|B)=,
如果取到的通讯器材是优等品,那么它是第1个车间生产的概率为,它是第2个车间生产的概率为,它是第3个车间生产的概率为.
8.D 设事件A1表示“经过的是货车”,A2表示“经过的是客车”,B表示“汽车中途停车修理”,则B=A1B∪A2B,由题意得,P(A1)=,P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.01,由贝叶斯公式得,
P(A1|B)=
==0.8.
9.B 用A表示“丢失一箱后任取2箱都是英语书”,B1表示“丢失的一箱为英语书”,B2表示“丢失的一箱为数学书”,B3表示“丢失的一箱为语文书”,则P(B1)=,由全概率公式得P(A)=.
由贝叶斯公式可知P(B1|A)=.故选B.
10.AC 设A1为第一天去甲餐厅,A2为第二天去甲餐厅,B1为第一天去乙餐厅,B2为第二天去乙餐厅,
所以P(A1)=0.4,P(B1)=0.6,P(A2|A1)=0.6,P(A2|B1)=0.5,
所以P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)=0.4×0.6+0.6×0.5=0.54,选项A正确;
因为A2与B2互为对立事件,所以P(B2)=1-P(A2)=0.46,选项B不正确;
因为P(A2|B1)==0.5,
所以P(A2)P(B1|A2)=0.3,
所以P(B1|A2)=,选项C正确;
P(A1|B2)=,选项D不正确.故选AC.
11.答案 0.4;0.3
解析 用事件A,B,C分别表示“这个人乘火车、轮船、飞机”,用事件D表示“这个人迟到”,
则P(A)=0.2,P(B)=0.4,P(C)=0.4,P(D|A)=0.4,P(D|B)=0.3,P(D|C)=0.5,所以P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)=0.2×0.4+0.4×0.3+0.4×0.5=0.4.
由贝叶斯公式得,P(B|D)==0.3.
12.答案
解析 设事件B为“拿的苹果是坏果”,Ai(i=1,2)为“拿的苹果来自第i份”,
则P(A1)=0.4,P(B|A1)=0.05,P(A2)=0.6,P(B|A2)=0.04,
所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.4×0.05+0.6×0.04=0.044,
因此所求概率为P(A1|B)=.
13.解析 设Ai=“小明与第i类棋手相遇(i=1,2,3)”,B=“小明获胜”,则P(A1)=0.25,P(A2)=0.35,P(A3)=0.4,P(B|A1)=0.6,P(B|A2)=0.5,P(B|A3)=0.4.
(1)P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)·P(B|A3)=0.25×0.6+0.35×0.5+0.4×0.4=0.485,
故从参赛选手中随机抽取一位棋手与小明比赛,则小明获胜的概率为0.485.
(2)P(A1|B)=,
P(A2|B)=,
P(A3|B)=,
因此如果小明获胜,那么与小明比赛的棋手为一类棋手的概率为,为二类棋手的概率为,为三类棋手的概率为.
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