2025人教A版高中数学选择性必修第三册强化练习题（含解析）--7.2 离散型随机变量及其分布列
文档属性
| 名称 | 2025人教A版高中数学选择性必修第三册强化练习题（含解析）--7.2 离散型随机变量及其分布列 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 304.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-12-23 09:15:34 | ||
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文档简介
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2025人教A版高中数学选择性必修第三册
7.2 离散型随机变量及其分布列
基础过关练
题组一 随机变量的概念及离散型随机变量的取值
1.对一批产品逐个进行检测,第一次检测到次品前已检测的产品个数为X,则X=k表示的试验结果为( )
A.第(k-1)次检测到正品,第k次检测到次品
B.第k次检测到正品,第(k+1)次检测到次品
C.前(k-1)次检测到正品,第k次检测到次品
D.前k次检测到正品,第(k+1)次检测到次品
2.(2023广东广州从化期中)袋中有形状、大小相同的5个球,分别标有1,2,3,4,5五个号码,现有放回地依次取出两个球,设两个球的号码之和为随机变量X,则X的可能取值的个数是( )
A.25 B.10
C.9 D.5
3.袋中装有10个红球,5个黑球,每次随机抽取一个球,若取到黑球,则放回袋中,直到取到红球为止,若抽取的次数为X,则表示“放回袋中5次”的事件为( )
A.X=4 B.X=5
C.X=6 D.X≤4
4.(易错题)某人进行射击,共有5发子弹,击中目标或子弹打完就停止射击,射击次数为ξ,则“ξ=5”表示的试验结果是( )
A.第5次击中目标
B.第5次未击中目标
C.前4次均未击中目标
D.第4次击中目标
5.已知4支钢笔的单价分别为10元、20元、30元、40元,从中任取2支,若以Y表示取到的钢笔的较高单价(单位:元),则Y的所有可能取值为 .
题组二 离散型随机变量的分布列
6.(教材习题改编)甲、乙两名篮球运动员每次投篮的命中率分别为0.8,0.7,他们各自投篮一次,设两人命中总次数为X,则X的分布列为( )
A.
X 0 1 2
P 0.08 0.14 0.78
B.
X 0 1 2
P 0.06 0.24 0.70
C.
X 0 1 2
P 0.06 0.56 0.38
D.
X 0 1 2
P 0.06 0.38 0.56
7.(2024重庆渝东九校期中)某学校的高二年级有5名数学老师,其中男老师3人,女老师2人.
(1)如果任选3人参加校级技能大赛,所选3人中女老师的人数为X,求X的分布列;
(2)如果依次抽取2人参加市级技能大赛,求在第1次抽到男老师的条件下,第2次抽到男老师的概率.
8.(2024安徽六安一中期中)某商场为了促销,规定顾客购买满500元商品即可抽奖,最多有3次抽奖机会,每次抽中,可依次获得10元,30元,50元奖金,若没有抽中,则停止抽奖.顾客每次抽中后,可以选择带走所有奖金,结束抽奖;也可选择继续抽奖,若没有抽中,则连同前面所得奖金全部归零,结束抽奖.小李购买了500元商品并参与了抽奖活动,已知他每次抽中的概率依次为,如果第一次抽中后选择继续抽奖的概率为,第二次抽中后选择继续抽奖的概率为,且每次是否抽中互不影响.
(1)求小李第一次抽中且所得奖金归零的概率;
(2)设小李所得奖金总数为随机变量X,求X的分布列.
题组三 离散型随机变量分布列的性质
9.(2024江西师大附中期末)设随机变量X的分布列为P(X=i)=a,i=1,2,3,则a=( )
A.
10.(2022安徽亳州期末)若离散型随机变量ξ的可能取值为1,2,3,…,n,且ξ取每一个值的概率相同,P(2<ξ<5)=0.2,则n=( )
A.4 B.6 C.9 D.10
11.若离散型随机变量X的分布列为
X 0 1
P 6a2-a 3-7a
则常数a的值为( )
A.
C. D.1或
12.(2024安徽阜阳一中月考)设随机变量X的概率分布列为
X 1 2 3 4
P a
则P(|X-3|=1)= .
题组四 两点分布
13.(多选题)(2023四川成都新津为明学校月考)下列选项中的随机变量服从两点分布的是( )
A.抛掷一个质地均匀的骰子,所得点数X
B.某射击手射击一次,击中目标的次数X
C.从装有除颜色外其余均相同的5个红球、3个白球的袋中任取1个球,设X=
D.某医生做一次手术,手术成功的次数X
14.(2024黑龙江齐齐哈尔期中)已知离散型随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=3-4P(X=1)=a,则a=( )
A. C.
15.已知袋中有5个白球和6个红球,从中摸出2个球,记X=则X的分布列为 .
能力提升练
题组一 离散型随机变量分布列的性质及其应用
1.(2024河北衡水武强中学期中)已知离散型随机变量X的分布列如下表:
X 0 1 2 3
P a 5a
若离散型随机变量Y=2X+1,则P(Y≥5)=( )
A.
2.(多选题)(2024浙江台金七校联盟期中)随机变量X的分布列如下:
X -1 0 1
P a b c
其中a,b,c成等差数列,则P(X=1)可以为( )
A.
3.已知随机变量X的分布列如表所示.
X -2 -1 0 1 2 3
P
若Y=X2,P(Y题组二 求离散型随机变量的分布列
4.设ξ为随机变量,从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条,当两条棱相交时,ξ=0;当两条棱平行时,ξ的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,ξ=1,则随机变量ξ的分布列为 .
5.在生物医学试验中,经常以果蝇作为试验对象,一个关有6只果蝇的笼子里,不慎混入了2只苍蝇(此时笼内共有8只蝇子,6只果蝇和2只苍蝇),只好将笼子打开一个小孔,让蝇子一只一只地往外飞,直到2只苍蝇都飞出,再关闭小孔.以X表示笼内还剩下的果蝇的只数,则P(X≥2)= .
6.(2024广东佛山段考)学生甲想加入校篮球队,篮球教练对其进行投篮测试.测试规则如下:①投篮分为两轮,每轮均有两次机会,第一轮在罚球线处,第二轮在三分线处;②若他在罚球线处投进第一球,则直接进入下一轮,若第一次没投进可以进行第二次投篮,投进则进入下一轮,否则不予录取;③若他在三分线处投进第一球,则直接录取,若第一次没投进可以进行第二次投篮,投进则录取,否则不予录取.已知学生甲在罚球线处投篮的命中率为,在三分线处投篮的命中率为.假设学生甲每次投进与否互不影响.
(1)求学生甲被录取的概率;
(2)在这次测试中,记学生甲投篮的次数为X,求X的分布列.
答案与分层梯度式解析
7.2 离散型随机变量及其分布列
基础过关练
1.D 2.C 3.C 4.C 6.D 9.A 10.D 11.A
13.BCD 14.C
1.D 由题意得X=k表示第一次检测到次品前已检测的产品个数为k,因此前k次检测到的都是正品,第(k+1)次检测到次品.
故选D.
2.C X的可能取值是2,3,4,5,6,7,8,9,10,共9个.故选C.
3.C “放回袋中5次”即前5次都是抽到黑球,第6次抽到了红球,所以X=6,故选C.
4.C 因为击中目标或子弹打完就停止射击,所以射击次数ξ=5说明前4次均未击中目标.故选C.
易错警示 由于停止射击的条件是“击中目标或子弹打完”,所以“ξ=5”与“ξ=4”不同,“ξ=4”的含义是“前3次未击中目标,第4次击中目标”,“ξ=5”的含义是“前4次均未击中目标”,与第5次是否击中目标没有关系.
5.答案 20,30,40
解析 记(10,20)表示取出的2支钢笔的单价分别为10元、20元,其余类推,则任取2支钢笔的单价的所有可能情况为(10,20),(10,30),(10,40),(20,30),(20,40),(30,40),故取到的钢笔的较高单价可能为20元、30元、40元,即Y的所有可能取值为20,30,40.
6.D 由题意可得,X的可能取值为0,1,2,
P(X=0)=(1-0.8)×(1-0.7)=0.06,
P(X=1)=(1-0.8)×0.7+0.8×(1-0.7)=0.38,
P(X=2)=0.8×0.7=0.56,
故X的分布列为
X 0 1 2
P 0.06 0.38 0.56
故选D.
7.解析 (1)由题可知X的所有可能取值为0,1,2,
P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
(2)设第1次抽到男老师为事件A,第2次抽到男老师为事件B,则第1次和第2次都抽到男老师为事件AB,
则n(A)==6,
所以P(B|A)=.
技巧点拨 求离散型随机变量的概率分布的关键是搞清离散型随机变量X取每一个值时对应的随机事件,然后利用古典概型、排列组合等知识求出X取每个值时的概率即可.
8.解析 (1)记小李第i次抽中为事件Ai(i=1,2,3),则有P(A1)=,且A1,A2,A3两两相互独立,记小李第一次抽中且所得奖金归零为事件A,则P(A)=P(A1.
(2)由题意可知X的可能取值为0,10,40,90,
结合(1)得P(X=0)=P(A)+,
P(X=10)=,
P(X=40)=,
P(X=90)=,
所以X的分布列为
X 0 10 40 90
P
9.A 由题意得P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=a=1,解得a=.故选A.
10.D 因为P(2<ξ<5)=P(ξ=3)+P(ξ=4)==0.2,所以n=10.故选D.
11.A 由离散型随机变量分布列的性质知,
,故选A.
易错警示 本题不仅要注意每一个可能值对应随机事件的概率均在区间[0,1]内,还要注意分布列中各概率之和为1.
12.答案
解析 ∵随机变量取各个值的概率之和等于1,
∴a=1-,
∴P(|X-3|=1)=P(X=2或X=4)=.
13.BCD
14.C ∵离散型随机变量X服从两点分布,
∴P(X=0)+P(X=1)=1,∴P(X=1)=1-a,
∵P(X=0)=3-4P(X=1)=a,
∴3-4(1-a)=a,解得a=.故选C.
15.答案
X 0 1
P
解析 由题意得,P(X=0)=,
P(X=1)=.
所以X的分布列为
X 0 1
P
能力提升练
1.A 由分布列的性质可知a+=1,解得a=,
由Y=2X+1,Y≥5,可得X≥2,由题表可知P(X≥2)=.故选A.
2.ABC 由已知得a+b+c=1①,且a,b,c∈[0,1].
∵a,b,c成等差数列,∴2b=a+c,②
联立①②,得b=,∴0≤c≤,
∵P(X=1)=c,
∴结合选项知c可以为,故选ABC.
3.答案 (4,9]
解析 由随机变量X的分布列知,Y的可能取值为0,1,4,9,
且P(Y=0)=,
P(Y=4)=.
可得Y的分布列如表所示.
Y 0 1 4 9
P
∵P(Y∴实数x的取值范围是(4,9].
4.答案
ξ 0 1
P
解析 ξ的可能取值为0,1,.
若两条棱相交,则交点必在正方体的顶点处,过任意一个顶点的棱有3条,所以P(ξ=0)=.
若两条棱平行,则它们之间的距离为1或,
而距离为的棱共有6对,故P(ξ=.
于是P(ξ=1)=1-P(ξ=0)-P(ξ=.
所以随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1
P
技巧点拨 如果求随机变量取某个值时的概率比较烦琐,那么可先求出随机变量取其他值时的概率,再利用分布列的性质求解.
5.答案
解析 记“笼内还剩下k只果蝇”为事件Ak(k=0,1,2,3,…,6),由题意可知,当事件Ak发生时,共飞走(8-k)只蝇子,第(8-k)只飞出的是苍蝇,且在前(7-k)只飞出的蝇子中有1只是苍蝇,所以P(Ak)=,故P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-P(A0)-P(A1)=1-.
6.解析 (1)记事件Ai表示“甲在罚球线处投篮,第i次投进”(i=1,2),事件Bi表示“甲在三分线处投篮,第i次投进”(i=1,2),则P(A1)=P(A2)=,
所以学生甲被录取的概率P=P(A1B1)+P(A1A2)·P(B1+.
(2)X的可能取值为2,3,4,则
P(X=2)=P(,
P(X=3)=P(,
P(X=4)=P(,
所以X的分布列为
X 2 3 4
P
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2025人教A版高中数学选择性必修第三册
7.2 离散型随机变量及其分布列
基础过关练
题组一 随机变量的概念及离散型随机变量的取值
1.对一批产品逐个进行检测,第一次检测到次品前已检测的产品个数为X,则X=k表示的试验结果为( )
A.第(k-1)次检测到正品,第k次检测到次品
B.第k次检测到正品,第(k+1)次检测到次品
C.前(k-1)次检测到正品,第k次检测到次品
D.前k次检测到正品,第(k+1)次检测到次品
2.(2023广东广州从化期中)袋中有形状、大小相同的5个球,分别标有1,2,3,4,5五个号码,现有放回地依次取出两个球,设两个球的号码之和为随机变量X,则X的可能取值的个数是( )
A.25 B.10
C.9 D.5
3.袋中装有10个红球,5个黑球,每次随机抽取一个球,若取到黑球,则放回袋中,直到取到红球为止,若抽取的次数为X,则表示“放回袋中5次”的事件为( )
A.X=4 B.X=5
C.X=6 D.X≤4
4.(易错题)某人进行射击,共有5发子弹,击中目标或子弹打完就停止射击,射击次数为ξ,则“ξ=5”表示的试验结果是( )
A.第5次击中目标
B.第5次未击中目标
C.前4次均未击中目标
D.第4次击中目标
5.已知4支钢笔的单价分别为10元、20元、30元、40元,从中任取2支,若以Y表示取到的钢笔的较高单价(单位:元),则Y的所有可能取值为 .
题组二 离散型随机变量的分布列
6.(教材习题改编)甲、乙两名篮球运动员每次投篮的命中率分别为0.8,0.7,他们各自投篮一次,设两人命中总次数为X,则X的分布列为( )
A.
X 0 1 2
P 0.08 0.14 0.78
B.
X 0 1 2
P 0.06 0.24 0.70
C.
X 0 1 2
P 0.06 0.56 0.38
D.
X 0 1 2
P 0.06 0.38 0.56
7.(2024重庆渝东九校期中)某学校的高二年级有5名数学老师,其中男老师3人,女老师2人.
(1)如果任选3人参加校级技能大赛,所选3人中女老师的人数为X,求X的分布列;
(2)如果依次抽取2人参加市级技能大赛,求在第1次抽到男老师的条件下,第2次抽到男老师的概率.
8.(2024安徽六安一中期中)某商场为了促销,规定顾客购买满500元商品即可抽奖,最多有3次抽奖机会,每次抽中,可依次获得10元,30元,50元奖金,若没有抽中,则停止抽奖.顾客每次抽中后,可以选择带走所有奖金,结束抽奖;也可选择继续抽奖,若没有抽中,则连同前面所得奖金全部归零,结束抽奖.小李购买了500元商品并参与了抽奖活动,已知他每次抽中的概率依次为,如果第一次抽中后选择继续抽奖的概率为,第二次抽中后选择继续抽奖的概率为,且每次是否抽中互不影响.
(1)求小李第一次抽中且所得奖金归零的概率;
(2)设小李所得奖金总数为随机变量X,求X的分布列.
题组三 离散型随机变量分布列的性质
9.(2024江西师大附中期末)设随机变量X的分布列为P(X=i)=a,i=1,2,3,则a=( )
A.
10.(2022安徽亳州期末)若离散型随机变量ξ的可能取值为1,2,3,…,n,且ξ取每一个值的概率相同,P(2<ξ<5)=0.2,则n=( )
A.4 B.6 C.9 D.10
11.若离散型随机变量X的分布列为
X 0 1
P 6a2-a 3-7a
则常数a的值为( )
A.
C. D.1或
12.(2024安徽阜阳一中月考)设随机变量X的概率分布列为
X 1 2 3 4
P a
则P(|X-3|=1)= .
题组四 两点分布
13.(多选题)(2023四川成都新津为明学校月考)下列选项中的随机变量服从两点分布的是( )
A.抛掷一个质地均匀的骰子,所得点数X
B.某射击手射击一次,击中目标的次数X
C.从装有除颜色外其余均相同的5个红球、3个白球的袋中任取1个球,设X=
D.某医生做一次手术,手术成功的次数X
14.(2024黑龙江齐齐哈尔期中)已知离散型随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=3-4P(X=1)=a,则a=( )
A. C.
15.已知袋中有5个白球和6个红球,从中摸出2个球,记X=则X的分布列为 .
能力提升练
题组一 离散型随机变量分布列的性质及其应用
1.(2024河北衡水武强中学期中)已知离散型随机变量X的分布列如下表:
X 0 1 2 3
P a 5a
若离散型随机变量Y=2X+1,则P(Y≥5)=( )
A.
2.(多选题)(2024浙江台金七校联盟期中)随机变量X的分布列如下:
X -1 0 1
P a b c
其中a,b,c成等差数列,则P(X=1)可以为( )
A.
3.已知随机变量X的分布列如表所示.
X -2 -1 0 1 2 3
P
若Y=X2,P(Y
4.设ξ为随机变量,从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条,当两条棱相交时,ξ=0;当两条棱平行时,ξ的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,ξ=1,则随机变量ξ的分布列为 .
5.在生物医学试验中,经常以果蝇作为试验对象,一个关有6只果蝇的笼子里,不慎混入了2只苍蝇(此时笼内共有8只蝇子,6只果蝇和2只苍蝇),只好将笼子打开一个小孔,让蝇子一只一只地往外飞,直到2只苍蝇都飞出,再关闭小孔.以X表示笼内还剩下的果蝇的只数,则P(X≥2)= .
6.(2024广东佛山段考)学生甲想加入校篮球队,篮球教练对其进行投篮测试.测试规则如下:①投篮分为两轮,每轮均有两次机会,第一轮在罚球线处,第二轮在三分线处;②若他在罚球线处投进第一球,则直接进入下一轮,若第一次没投进可以进行第二次投篮,投进则进入下一轮,否则不予录取;③若他在三分线处投进第一球,则直接录取,若第一次没投进可以进行第二次投篮,投进则录取,否则不予录取.已知学生甲在罚球线处投篮的命中率为,在三分线处投篮的命中率为.假设学生甲每次投进与否互不影响.
(1)求学生甲被录取的概率;
(2)在这次测试中,记学生甲投篮的次数为X,求X的分布列.
答案与分层梯度式解析
7.2 离散型随机变量及其分布列
基础过关练
1.D 2.C 3.C 4.C 6.D 9.A 10.D 11.A
13.BCD 14.C
1.D 由题意得X=k表示第一次检测到次品前已检测的产品个数为k,因此前k次检测到的都是正品,第(k+1)次检测到次品.
故选D.
2.C X的可能取值是2,3,4,5,6,7,8,9,10,共9个.故选C.
3.C “放回袋中5次”即前5次都是抽到黑球,第6次抽到了红球,所以X=6,故选C.
4.C 因为击中目标或子弹打完就停止射击,所以射击次数ξ=5说明前4次均未击中目标.故选C.
易错警示 由于停止射击的条件是“击中目标或子弹打完”,所以“ξ=5”与“ξ=4”不同,“ξ=4”的含义是“前3次未击中目标,第4次击中目标”,“ξ=5”的含义是“前4次均未击中目标”,与第5次是否击中目标没有关系.
5.答案 20,30,40
解析 记(10,20)表示取出的2支钢笔的单价分别为10元、20元,其余类推,则任取2支钢笔的单价的所有可能情况为(10,20),(10,30),(10,40),(20,30),(20,40),(30,40),故取到的钢笔的较高单价可能为20元、30元、40元,即Y的所有可能取值为20,30,40.
6.D 由题意可得,X的可能取值为0,1,2,
P(X=0)=(1-0.8)×(1-0.7)=0.06,
P(X=1)=(1-0.8)×0.7+0.8×(1-0.7)=0.38,
P(X=2)=0.8×0.7=0.56,
故X的分布列为
X 0 1 2
P 0.06 0.38 0.56
故选D.
7.解析 (1)由题可知X的所有可能取值为0,1,2,
P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
(2)设第1次抽到男老师为事件A,第2次抽到男老师为事件B,则第1次和第2次都抽到男老师为事件AB,
则n(A)==6,
所以P(B|A)=.
技巧点拨 求离散型随机变量的概率分布的关键是搞清离散型随机变量X取每一个值时对应的随机事件,然后利用古典概型、排列组合等知识求出X取每个值时的概率即可.
8.解析 (1)记小李第i次抽中为事件Ai(i=1,2,3),则有P(A1)=,且A1,A2,A3两两相互独立,记小李第一次抽中且所得奖金归零为事件A,则P(A)=P(A1.
(2)由题意可知X的可能取值为0,10,40,90,
结合(1)得P(X=0)=P(A)+,
P(X=10)=,
P(X=40)=,
P(X=90)=,
所以X的分布列为
X 0 10 40 90
P
9.A 由题意得P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=a=1,解得a=.故选A.
10.D 因为P(2<ξ<5)=P(ξ=3)+P(ξ=4)==0.2,所以n=10.故选D.
11.A 由离散型随机变量分布列的性质知,
,故选A.
易错警示 本题不仅要注意每一个可能值对应随机事件的概率均在区间[0,1]内,还要注意分布列中各概率之和为1.
12.答案
解析 ∵随机变量取各个值的概率之和等于1,
∴a=1-,
∴P(|X-3|=1)=P(X=2或X=4)=.
13.BCD
14.C ∵离散型随机变量X服从两点分布,
∴P(X=0)+P(X=1)=1,∴P(X=1)=1-a,
∵P(X=0)=3-4P(X=1)=a,
∴3-4(1-a)=a,解得a=.故选C.
15.答案
X 0 1
P
解析 由题意得,P(X=0)=,
P(X=1)=.
所以X的分布列为
X 0 1
P
能力提升练
1.A 由分布列的性质可知a+=1,解得a=,
由Y=2X+1,Y≥5,可得X≥2,由题表可知P(X≥2)=.故选A.
2.ABC 由已知得a+b+c=1①,且a,b,c∈[0,1].
∵a,b,c成等差数列,∴2b=a+c,②
联立①②,得b=,∴0≤c≤,
∵P(X=1)=c,
∴结合选项知c可以为,故选ABC.
3.答案 (4,9]
解析 由随机变量X的分布列知,Y的可能取值为0,1,4,9,
且P(Y=0)=,
P(Y=4)=.
可得Y的分布列如表所示.
Y 0 1 4 9
P
∵P(Y
4.答案
ξ 0 1
P
解析 ξ的可能取值为0,1,.
若两条棱相交,则交点必在正方体的顶点处,过任意一个顶点的棱有3条,所以P(ξ=0)=.
若两条棱平行,则它们之间的距离为1或,
而距离为的棱共有6对,故P(ξ=.
于是P(ξ=1)=1-P(ξ=0)-P(ξ=.
所以随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1
P
技巧点拨 如果求随机变量取某个值时的概率比较烦琐,那么可先求出随机变量取其他值时的概率,再利用分布列的性质求解.
5.答案
解析 记“笼内还剩下k只果蝇”为事件Ak(k=0,1,2,3,…,6),由题意可知,当事件Ak发生时,共飞走(8-k)只蝇子,第(8-k)只飞出的是苍蝇,且在前(7-k)只飞出的蝇子中有1只是苍蝇,所以P(Ak)=,故P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-P(A0)-P(A1)=1-.
6.解析 (1)记事件Ai表示“甲在罚球线处投篮,第i次投进”(i=1,2),事件Bi表示“甲在三分线处投篮,第i次投进”(i=1,2),则P(A1)=P(A2)=,
所以学生甲被录取的概率P=P(A1B1)+P(A1A2)·P(B1+.
(2)X的可能取值为2,3,4,则
P(X=2)=P(,
P(X=3)=P(,
P(X=4)=P(,
所以X的分布列为
X 2 3 4
P
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