2025人教A版高中数学选择性必修第三册强化练习题（含解析）--7.3.1　离散型随机变量的均值

中小学教育资源及组卷应用平台
2025人教A版高中数学选择性必修第三册
7.3　离散型随机变量的数字特征
7.3.1　离散型随机变量的均值
基础过关练
题组一　离散型随机变量的均值
1.(2023安徽宿州泗县第二中学月考)已知随机变量X服从两点分布,且E(X)=0.7,则其成功的概率为(　　)
A.0　　　　B.1　　　　C.0.3　　　　D.0.7
2.(2024江苏常州联盟校期中)设随机变量X的分布列为P(X=i)=,i=1,2,3,则X的数学期望E(X)=(　　)
A.
C.
3.(2024福建福州二中期中)从装有6个白球,2个红球的容器中逐个不放回地摸取小球.若每取出1个红球得2分,每取出1个白球得1分.按照规则从容器中任意抽取2个球,所得分数的期望为(　　)
A.
4.甲、乙、丙三人各打靶一次,若甲打中的概率为,乙、丙打中的概率均为(0A.
5.对某种型号的仪器进行质量检测,每台仪器最多可检测3次,一旦发现问题,则停止检测,否则检测3次.若该仪器在一次检测中出现问题的概率为0.2,设检测次数为X,则X的数学期望为　　　　.
6.(教材习题改编)设离散型随机变量X的可能取值为1,2,3,4,P(X=k)=ak+b(k=1,2,3,4),且X的均值E(X)=3,则a+b=　　　　.
7.(2024陕西渭南期末)某校举行围棋友谊赛,甲、乙两名同学进行冠亚军决赛,每局比赛甲获胜的概率是,乙获胜的概率是,规定:每一局比赛中胜方记1分,负方记0分,先得3分者获胜,比赛结束.
(1)求进行3局比赛决出冠亚军的概率;
(2)若甲以2∶1领先乙,记X表示比赛结束时还需要进行的局数,求X的分布列及数学期望.
题组二　离散型随机变量的均值的性质
8.(2024福建福州期中)已知随机变量X的概率分布列如表:
X 1 2 4
P 0.4 a 0.3
则E(5X+4)=(　　)
A.1　　　　B.2.2　　　　C.11　　　　D.15
9.(多选题)已知随机变量X的分布列如下,且E(X)=6.3,则下列结论正确的是(　　)
X 4 a 9
P 0.5 0.1 b
A.a=7 　　　　B.b=0.4
C.E(aX)=44.1 　　　　D.E(bX+a)=2.62
题组三　均值的实际应用
10.某公司参加两个项目的招标,A项目招标成功的概率为0.6,B项目招标成功的概率为0.4,每个项目招标成功可获利20万元,招标不成功将损失2万元,则该公司在这两个项目的招标中获利的期望(单位:万元)为(　　)
A.17.5　　　　B.18 　　　　C.18.5　　　　D.19
11.(2023湖南岳阳第一中学入学考试)甲、乙两人进行乒乓球比赛,每人各局取胜的概率均为,现采用五局三胜制,胜3局者赢得全部奖金800元.若前两局比赛均为甲胜,此时因某种原因比赛中止,为使奖金分配合理,则乙应得的奖金为(　　)
A.700元　　　　B.600元　　　　C.200元　　　　D.100元
12.(2024山东淄博实验中学月考)某次数学考试的第9题至第11题为多项选择题,已知每题有四个选项,选项中有2个或3个选项符合题目要求.正确选项是3项的,全部选对得6分,选对2个得4分,选对1个得2分,有选错的得0分;正确选项是2项的,全部选对得6分,选对1个得3分,有选错的得0分.甲考生参加此次数学考试,考前该考生统计了8套该类型数学考卷的答案,分布如下:
第9 题 第10 题 第11 题 第9 题 第10 题 第11 题
第1套 AC ABD BCD 第5套 AC BC ABD
第2套 ACD BC ABD 第6套 ABD AC BCD
第3套 AD ACD BC 第7套 AD ACD BD
第4套 CD AC ACD 第8套 BD ACD ABC
(1)根据这8套数学考卷多项选择题的答案分布,用频率估计概率,求一个多项选择题有2个选项是正确选项的概率;
(2)甲考生在此次考试中发现某题能确定选项C肯定正确,其他选项都不确定是否正确,为使他此题得分X的数学期望最高,请你帮他从以下三种方案中选一种,并说明理由.
方案一:就只选择选项C;
方案二:除选项C外,再随机选择一个选项;
方案三:除选项C外,再随机选择两个选项.
能力提升练
题组一　离散型随机变量的均值
1.(2024安徽淮南期中)如图,某考古队在考察一古墓时,发现古墓外面是一个正方形复杂空间,且有4个形状、大小均相同的入口1,2,3,4,其中只有1个入口可以打开,其他的都是关闭的.现让一个机器狗从点O出发探路,从4条路线中任选一条寻找可以打开的入口,找到后直接进入古墓,若未找到,则沿原路返回到出发点,继续重新寻找.若该机器狗是有记忆的,它在出发点选择各条路线的尝试均不多于1次,且每次选哪条路线是等可能的,则它能够进入古墓的总尝试次数的数学期望是(　　)
A.
2.(2024广东清远期中)某皮划艇训练小组有7人,其中4人会划左桨,5人会划右桨,现选4人参加比赛,2人划左桨,2人划右桨,设选中的人中既会划左桨又会划右桨的人数为X,则E(X)=(　　)
A.
3.(多选题)(2024重庆期中)设随机变量X表示从1到n这n个整数中随机抽取的一个整数,Y表示从1到X这X个整数中随机抽取的一个整数,则下列说法正确的是(　　)
A.当n=3时,P(X=2,Y=1)=
B.当n=4时,P(X+Y=4)=
C.当n=k(k≥2,k∈N*)时,P(X=k,Y=1)=
D.当n=2时,Y的均值为
4.(2024浙江温州期末)某袋中装有除颜色外完全相同的黑球和白球共5个.从袋中随机取出3个球,已知取出的3个球全为黑球的概率为,若记取出的3个球中黑球的个数为X,则E(X)=　　　　.
5.(2023辽南协作校期末)游乐场某游戏设备是一个圆盘,圆盘被分成红色和绿色两个区域,圆盘上有一个可以绕中心旋转的指针,且指针受电子程序控制,前后两次停在相同区域的概率为,停在不同区域的概率为,某游客连续转动指针三次,记指针停在绿色区域的次数为X,若开始时指针停在红色区域,则E(X)=　　　　.
6.(2024湖南郴州期中)“学习强国”学习平台软件主要设有“阅读文章”“视听学习”两个学习模块和“每日答题”“每周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题模块,还有“四人赛”“双人对战”两个比赛模块.“四人赛”积分规则为首局第一名积3分,第二、三名积2分,第四名积1分;第二局第一名积2分,其余名次积1分;每日仅前两局得分.“双人对战”积分规则为第一局获胜积2分,失败积1分,每日仅第一局得分.某人在一天的学习过程中,完成“四人赛”和“双人对战”.已知这个人参与“四人赛”获得各名次的概率均为,参与“双人对战”获胜的概率为,且每次答题相互独立.
(1)求这个人在一天的“四人赛”中积4分的概率;
(2)设这个人在一天的“四人赛”和“双人对战”中累计积分为ξ分,求ξ的分布列和E(ξ).
题组二　均值的实际应用
7.(2022河南郑州期中)某糕点房推出一类新品蛋糕,已知每个蛋糕的成本价为4元,售价为8元.受保质期的影响,当天没有销售完的部分只能销毁.经过长期的调研,糕点房统计了该新品的日需求量.现将近一个月(30天)的日需求量展示如下:
日需求量x/个 20 30 40 50
天数 5 10 10 5
(1)从这30天中任取2天,求这两天的日需求量均为40个的概率;
(2)以表中对应的频率作为概率,根据分布列求出该糕点房一天制作35个这类蛋糕时,对应的利润的期望为元.现有员工建议扩大生产至一天45个,记生产45个时对应的利润为Y元,试求Y的分布列及数学期望E(Y),并以此判断此建议该不该被采纳.
8.(2023山东师范大学附属中学期中)某环保机器制造商为响应“碳达峰、碳中和”的号召,对一次购买2台机器的客户推出了两种超过机器保修期后5年内的延保维修方案:
方案一:交纳延保金5 000元,在延保的5年内可免费维修2次,超过2次每次收取维修费1 000元.
方案二:交纳延保金6 230元,在延保的5年内可免费维修4次,超过4次每次收取维修费t元.
制造商为制订收费标准,搜集并整理了200台这种机器超过保修期后5年内维修的次数,统计得到下表.
维修次数 0 1 2 3
机器台数 20 40 80 60
以这200台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率,用X表示2台机器超过保修期后5年内共需维修的次数.
(1)求X的分布列;
(2)以所需延保金与维修费用之和的均值为决策依据,为使选择方案二对客户更合算,应把t定在什么范围内
答案与分层梯度式解析
7.3　离散型随机变量的数字特征
7.3.1　离散型随机变量的均值
基础过关练
1.D 2.A 3.A 4.D 8.D 9.ABC 10.B 11.D
1.D　设成功的概率为p,则E(X)=0×(1-p)+1×p=p=0.7.故选D.
2.A　因为P(X=i)=,其中i=1,2,3,
所以E(X)=1×.故选A.
3.A　设得分为X,根据题意可知X可以取4,3,2.
则P(X=4)=,
则X的分布列为
X 4 3 2
P
所以得分的期望为E(X)=4×.故选A.
4.D　依题意,甲、乙、丙都打中的概率P=,解得t=3(负值舍去),所以乙打中的概率为.
由题意可得,ξ的可能取值为0,1,2,
且P(ξ=0)=,
P(ξ=1)=,
P(ξ=2)=,
所以E(ξ)=0×.故选D.
5.答案　2.44
解析　由题意知,X的可能取值为1,2,3,
且P(X=1)=0.2,P(X=2)=0.8×0.2=0.16,P(X=3)=0.8×0.8=0.64,所以E(X)=1×0.2+2×0.16+3×0.64=2.44.
6.答案　
解析　依题意得(a+b)+(2a+b)+(3a+b)+(4a+b)=1,且E(X)=1·(a+b)+2·(2a+b)+3·(3a+b)+4·(4a+b)=3,
解得a=.
7.解析　(1)进行3局比赛甲获胜的概率P1=,
进行3局比赛乙获胜的概率P2=,
所以所求概率P=.
(2)X的可能取值为1,2,
P(X=1)=,
因此X的分布列为
X 1 2
P
故E(X)=1×.
8.D　由分布列的性质可得0.4+a+0.3=1,所以a=0.3,
因此E(X)=1×0.4+2×0.3+4×0.3=2.2,
所以E(5X+4)=5E(X)+4=5×2.2+4=15.故选D.
9.ABC　由分布列的性质得0.5+0.1+b=1,解得b=0.4,又E(X)=4×0.5+0.1a+9×0.4=6.3,∴a=7,
∴E(aX)=aE(X)=7×6.3=44.1,E(bX+a)=bE(X)+a=0.4×6.3+7=9.52.故选ABC.
10.B　记该公司在这两个项目的招标中获利X万元,则X的可能取值为40,18,-4,
P(X=40)=0.6×0.4=0.24,P(X=18)=0.62+0.42=0.52,P(X=-4)=0.4×0.6=0.24,
从而得E(X)=40×0.24+18×0.52-4×0.24=18,所以该公司在这两个项目的招标中获利的期望为18万元.故选B.
11.D　设甲应得的奖金为X元,则X的可能取值为800,0.
甲赢得比赛有3种情况:①第3局胜,甲赢的概率为;②第3局输,第4局胜,甲赢的概率为;③第3,4局输,第5局胜,甲赢的概率为.∴甲赢的概率为,
∴E(X)=800×=700,∴乙应得的奖金为800-700=100(元).
故选D.
12.解析　(1)这8套数学考卷多项选择题的24个答案中,有12个正确选项是2项的,
用频率估计概率,则一个多项选择题有2个选项是正确选项的概率为.
(2)由(1)知有2个选项是正确选项的概率为,3个选项是正确选项的概率为.
方案一:就只选择选项C,
甲得分X的可能取值为2,3,
P(X=2)=,故X的分布列为
X 2 3
P
所以E(X)=2×.
方案二:除选项C外,再随机选择一个选项,
甲得分X的可能取值为0,4,6,
P(X=0)=,
P(X=4)=,
P(X=6)=,故X的分布列为
X 0 4 6
P
所以E(X)=0×.
方案三:除选项C外,再随机选择两个选项,
甲得分X的可能取值为0,6,
P(X=0)=,故X的分布列为
X 0 6
P
所以E(X)=0×=1.
所以从得分X的数学期望最高的角度考虑,应该采用方案一.
能力提升练
1.D 2.D 3.BCD
1.D　设Y表示总尝试次数,则Y的所有可能取值为1,2,3,4.
P(Y=1)=,
所以E(Y)=1×.
2.D　由题意得,既会划左桨又会划右桨的有2人,只会划左桨的有2人,只会划右桨的有3人,
所以从7人中选4人参加比赛共有=31种选法.
易知X的可能取值为0,1,2.
当X=0时,有=3种选法,所以P(X=0)=.
当X=1时,有=18种选法,所以P(X=1)=.
当X=2时,有=10种选法,所以P(X=2)=.
所以E(X)=0×.故选D.
3.BCD　对于选项A,当n=3时,P(X=2)=,
则P(X=2,Y=1)=P(X=2)·P(Y=1|X=2)=,因此选项A错误;
对于选项B,当n=4时,因为X+Y=4,X≥Y,所以X=3,Y=1或X=2,Y=2,
所以P(X+Y=4)=P(X=3,Y=1)+P(X=2,Y=2)=,因此选项B正确;
对于选项C,当n=k(k≥2且k∈N*)时,P(X=k)=,
则P(X=k,Y=1)=,因此选项C正确;
对于选项D,当n=2时,Y的所有可能取值为1,2,
且P(Y=1)=P(X=1,Y=1)+P(X=2,Y=1)=,
P(Y=2)=P(X=2,Y=2)=,
则E(Y)=1×,因此选项D正确.故选BCD.
4.答案　
解析　设黑球的个数为n,由题意得,得n=3,
易知X的可能取值为1,2,3,
P(X=1)=,
则X的分布列如下:
X 1 2 3
P
所以E(X)=.
5.答案　
思路分析　开始时指针停在红色区域,连续转动指针三次,转动结果的树状图如下:
解析　X的可能取值为0,1,2,3.
P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
P(X=3)=,
所以E(X)=0×.
6.思路分析　
第二局得分 首局得分
1概率 为 2概率 为 3概率 为
1概率为 2 3 4
2概率为 3 4 5
“双人 对战” 得分 “四人赛”得分
2概率 为 3概率 为 4概率 为 5概率 为
1概率 为 3 4 5 6
2概率 为 4 5 6 7
解析　(1)若这个人积4分,则在“四人赛”中首局积3分,第二局积1分或首局积2分,第二局积2分,所以所求概率P=.
(2)ξ的可能取值为3,4,5,6,7.
P(ξ=3)=,
P(ξ=4)=,
P(ξ=5)=,
P(ξ=6)=,
P(ξ=7)=.
所以ξ的分布列为
ξ 3 4 5 6 7
P
E(ξ)=3×.
7.解析　(1)从这30天中任取2天,样本点的总数n=,
这两天的日需求量均为40个包含的样本点的个数m=,
∴这两天的日需求量均为40个的概率P=.
(2)由题意得Y的可能取值为-20,60,140,180,
P(Y=-20)=,
P(Y=140)=,
∴Y的分布列为
Y -20 60 140 180
P
E(Y)=-20×.
∵该糕点房一天制作35个这类蛋糕时,对应的利润的期望为元,且,
∴此建议不该被采纳.
8.解析　(1)X的可能取值为0,1,2,3,4,5,6.
P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
P(X=3)=,
P(X=4)=,
P(X=5)=,
P(X=6)=,
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4 5 6
P
(2)设方案一所需费用为Y1元,则X≤2时,Y1=5 000,X=3时,Y1=6 000,X=4时,Y1=7 000,X=5时,Y1=8 000,X=6时,Y1=9 000,
所以Y1的分布列为
Y1 5 000 6 000 7 000 8 000 9 000
P
所以E(Y1)=5 000×+6 000×+7 000×+8 000×+9 000×=6 860.
设方案二所需费用为Y2元,则X≤4时,Y2=6 230,X=5时,Y2=6 230+t,X=6时,Y2=6 230+2t,
所以Y2的分布列为
Y2 6 230 6 230+t 6 230+2t
P
所以E(Y2)=6 230×+(6 230+t)×+(6 230+2t)×=6 230+.
为使选择方案二对客户更合算,则E(Y2)21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)