2025人教A版高中数学选择性必修第三册强化练习题（含解析）--7.3.2　离散型随机变量的方差

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2025人教A版高中数学选择性必修第三册
7.3.2　离散型随机变量的方差
基础过关练
题组一　离散型随机变量的方差
1.(2024四川泸州调研)若随机变量X满足P(X=c)=1,其中c为常数,则D(X)=(　　)
A.0　　　　B.　　　　D.1
2.(2024江西赣州十八县市期中)已知随机变量X的分布列为
X 4 8 10
P 0.3 0.6 0.1
则D(X)=(　　)
A.7　　　　B.5　　　　C.4.8　　　　D.4.2
3.已知随机变量X的可能取值为0,1,2,若P(X=0)=,E(X)=1,则X的标准差为(　　)
A.
4.(多选题)(2024江苏盐城期中)已知离散型随机变量X的分布列如表所示,则(　　)
X -2 1 3
P 2a a
A.a=　　　　B.E(X)=0
C.D(X)=
题组二　离散型随机变量的方差的性质
5.(2024浙江G5联盟期中)设随机变量X的方差D(X)=1,则D(2X-1)=(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
6.(多选题)(2024天津河东期中)已知随机变量X的分布列如表:
X 0 1 2
P 0.4 a b
若E(X)=1,离散型随机变量Y满足Y=2X-1,则(　　)
A.a=0.2　　　　B.b=0.4
C.E(Y)=2　　　　D.D(Y)=3.2
7.(多选题)(2024广东茂名期中)若随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=,记X的均值和方差分别为E(X)和D(X),则下列结论正确的是(　　)
A.E(X)=　　　　B.E(5X+3)=6
C.D(X)=
8.(2022河南洛阳期中)袋中有20个大小形状完全相同的球,其中记上0号的有10个,记上n(n=1,2,3,4)号的有n个.现从袋中任取一球,用X表示所取到的球的标号.
(1)求X的分布列、均值和方差;
(2)若Y=aX+b,E(Y)=1,D(Y)=11,试求a,b的值.
能力提升练
题组一　离散型随机变量的方差
1.(2022浙江宁波十校期末联考)将3只不同的小球放入3个不同的盒子中,盒子的容量不限,且每个小球放入各盒子的概率相等.记X为放入后所剩空盒的个数,Y为放入后不空盒子的个数,则(　　)
A.E(X)=E(Y),D(X)=D(Y)
B.E(X)=E(Y),D(X)≠D(Y)
C.E(X)≠E(Y),D(X)=D(Y)
D.E(X)≠E(Y),D(X)≠D(Y)
2.(多选题)(2023中学生标准学术能力诊断测试)已知p1,p2∈(0,1),随机变量X,Y的分布列如下表所示:
X -1 0 1
P
Y -1 0 1
P
下列说法中正确的是(　　)
A.若p1<且p2<,则E(X)>E(Y)
B.若p1E(Y)
C.若p2D(Y)
D.若p1<D(Y)
3.(2024广东深圳高级中学期中)已知随机变量ξ的分布列为
ξ -2 0 1 2
P x y
则x+y=　　　,若E(2ξ)=1,则D(ξ)=　　　.
4.(2024湖南长沙适应性考试)为弘扬中华优秀传统文化,营造良好的文化氛围,增强文化自觉和文化自信,某区组织开展了中华优秀传统文化知识竞答活动,该活动有单人赛和PK赛,每人只能参加其中的一项.据统计,中小学生参与该项知识竞答活动的人数共计4.8万,其中获奖学生(单位:人)情况统计如下:
组别 单人赛 PK赛获奖
一等奖 二等奖 三等奖
中学组 40 40 120 100
小学组 32 58 210 100
(1)从获奖学生中随机抽取1人,若已知抽到的学生获得一等奖,求抽到的学生来自中学组的概率;
(2)从中学组和小学组获奖者中各随机抽取1人,以X表示这2人中PK赛获奖的人数,求X的分布列和数学期望;
(3)从获奖学生中随机抽取3人,设这3人中来自中学组的人数为ξ,来自小学组的人数为η,试判断D(ξ)与D(η)的大小关系.
题组二　离散型随机变量的均值与方差的实际应用
5.(2024江苏宿迁期末)在做某次数学考试的多选题时,考生通常有以下两种策略:
策略A:为避免有选错的得0分,在四个选项中只选出一个自己最有把握的选项,将多选题当作“单选题”来做,选对得2分;
策略B:争取得5分,选出自己认为正确的全部选项,漏选得2分,全部选对得5分.
本次考试前,某同学通过模拟训练得出其在两种策略下作答第11,12题的情况如下表:
策略 概率 每题耗时 /分钟
第11题 第12题
A 选对选项 0.8 0.5 3
B 部分选对 0.6 0.2 6
全部选对 0.3 0.7
已知该同学作答两题的状态互不影响,但这两题总耗时若超过10分钟,其他题目会因为时间紧张而少得1分.
(1)若该同学此次考试决定用以下方案:第11题采用策略B,第12题采用策略A,设他这两题得分之和为X,求X的分布列、均值及方差;
(2)若该同学期望得到高分,请你替他设计答题方案.
6.(2023江苏南京外国语学校期中)为回馈顾客,某购物商场拟通过摸球兑奖的方式对500位顾客进行奖励.规定:每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球(球的大小、形状完全相同),球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.
(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为40元,其余3个所标的面值均为20元,设顾客所获的奖励额为X元,求X的分布列及数学期望;
(2)商场对奖励总额的预算是30 000元,并规定袋中的4个球由标有面值为20元和40元的两种球共同组成,或标有面值为15元和45元的两种球共同组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由.
提示:袋中的4个球由标有面值为a元和b元的两种球共同组成,即袋中的4个球所标的面值“既有a元又有b元”.
答案与分层梯度式解析
7.3.2　离散型随机变量的方差
基础过关练
1.A 2.D 3.C 4.ABD 5.D 6.ABD 7.AB
1.A　因为随机变量X满足P(X=c)=1,其中c为常数,
所以E(X)=c×1=c,因此D(X)=(c-c)2×1=0.故选A.
2.D　由已知得E(X)=4×0.3+8×0.6+10×0.1=7,
所以D(X)=(4-7)2×0.3+(8-7)2×0.6+(10-7)2×0.1=4.2.故选D.
3.C　设P(X=1)=p,则P(X=2)=-p.
由E(X)=0×=1,得p=,所以D(X)=(0-1)2×,
所以X的标准差为.故选C.
4.ABD　对于A,由分布列的性质可得3a+=1,解得a=,因此A正确;
对于B,E(X)=-2×=0,因此B正确;
对于C,D(X)=(-2)2×,因此C错误;
对于D,P,因此D正确.故选ABD.
5.D　由D(X)=1可得D(2X-1)=22D(X)=4,故选D.
6.ABD　由分布列的性质,可得0.4+a+b=1,则a+b=0.6①,
因为E(X)=1,所以0×0.4+1×a+2×b=1,即a+2b=1②,
联立①②解得a=0.2,b=0.4,
所以D(X)=(0-1)2×0.4+(1-1)2×0.2+(2-1)2×0.4=0.8,
因为Y=2X-1,所以E(Y)=E(2X-1)=2E(X)-1=1,D(Y)=D(2X-1)=4D(X)=4×0.8=3.2.故选ABD.
7.AB　∵随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=,
∴E(X)=0×,因此A正确;
E(5X+3)=5E(X)+3=5×+3=6,因此B正确;
D(X)=,因此C错误;
D(5X+3)=25D(X)=25×=6,因此D错误.故选AB.
技巧点拨　解决两点分布的均值与方差问题,还可直接利用结论求解:若成功的概率为p,则E(X)=p,D(X)=p(1-p).
8.解析　(1)由题易知,X的可能取值为0,1,2,3,4,
P(X=0)=,
故X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
E(X)=0×=1.5.
所以D(X)=(0-1.5)2×=2.75.
(2)由Y=aX+b知D(Y)=a2D(X),即a2×2.75=11,解得a=±2.
又E(Y)=aE(X)+b,
所以当a=2时,有1=2×1.5+b,解得b=-2,
当a=-2时,有1=-2×1.5+b,解得b=4,
所以
能力提升练
1.C　由题意得X的可能取值为0,1,2,
P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
∴E(X)=0×,
∴D(X)=.
Y的可能取值为1,2,3,
P(Y=1)=P(X=2)=,
P(Y=2)=P(X=1)=,
P(Y=3)=P(X=0)=,
∴E(Y)=1×,
∴D(Y)=,
∴E(X)≠E(Y),D(X)=D(Y).故选C.
2.AC　依题意得E(X)=-1×,则E(X)-E(Y)==1-(p1+p2),
又E(X2)=(-1)2×,
所以D(X)=E(X2)-(E(X))2=,
所以D(X)-D(Y)==(p2-p1)(p2+p1-1).
对于A,因为p1<且p2<,所以p1+p2<1,所以E(X)-E(Y)>0,所以E(X)>E(Y),故A正确;对于B,根据p10,即D(X)-D(Y)>0,即D(X)>D(Y),故C正确;对于D,因为p1<0,但是无法确定p1+p2与1的大小关系,即无法判断p1+p2-1的正负,故无法确定D(X)与D(Y)的大小关系,故D错误.故选AC.
3.答案　
解析　由分布列的性质可得x++y=1,则x+y=.
易得E(ξ)=-2x+0++2y,又E(2ξ)=1,
∴2=1,得y-x=,与x+y=联立,解得x=.
∴E(ξ)=-2×,
∴D(ξ)=.
4.解析　(1)设事件A表示抽到的学生获得一等奖,事件B表示抽到的学生来自中学组,
由题中表格知P(AB)=,
故P(B|A)=,
故所求概率为.
(2)由题意得,X的可能取值为0,1,2,
P(X=0)=,
X的分布列如下:
X 0 1 2
P
所以E(X)=0×.
(3)由题设知ξ+η=3,所以D(ξ)=D(3-η)=(-1)2·D(η)=D(η).
5.解析　(1)设事件B1=“第11题得0分”,事件B2=“第11题得2分”,事件B3=“第11题得5分”,事件A1=“第12题得0分”,事件A2=“第12题得2分”,则P(B1)=0.1,P(B2)=0.6,P(B3)=0.3,P(A1)=0.5,P(A2)=0.5,
由题意可知,X的可能取值为0,2,4,5,7,
P(X=0)=P(B1A1)=0.1×0.5=0.05,
P(X=2)=P(B1A2+B2A1)=0.1×0.5+0.6×0.5=0.35,P(X=4)=P(B2A2)=0.6×0.5=0.3,
P(X=5)=P(B3A1)=0.3×0.5=0.15,
P(X=7)=P(B3A2)=0.3×0.5=0.15,
所以X的分布列为
X 0 2 4 5 7
P 0.05 0.35 0.3 0.15 0.15
所以E(X)=0×0.05+2×0.35+4×0.3+5×0.15+7×0.15=3.7,
D(X)=(0-3.7)2×0.05+(2-3.7)2×0.35+(4-3.7)2×0.3+(5-3.7)2×0.15+(7-3.7)2×0.15=3.61.
(2)依题意得,该同学的答题方案有如下四种:
方案1:第11题采用策略B,第12题采用策略A;
方案2:第11题和第12题均采用策略B;
方案3:第11题和第12题均采用策略A;
方案4:第11题采用策略A,第12题采用策略B.
由(1)知该同学采用方案1时的期望为E(X)=3.7.
设该同学采用方案2时第11题和第12题的总得分为随机变量Y,则Y的可能取值为0,2,4,5,7,10,
P(Y=0)=0.1×0.1=0.01,
P(Y=2)=0.1×0.2+0.6×0.1=0.08,
P(Y=4)=0.6×0.2=0.12,
P(Y=5)=0.3×0.1+0.1×0.7=0.1,
P(Y=7)=0.6×0.7+0.3×0.2=0.48,
P(Y=10)=0.3×0.7=0.21,
故Y的分布列为
Y 0 2 4 5 7 10
P 0.01 0.08 0.12 0.1 0.48 0.21
所以E(Y)=0×0.01+2×0.08+4×0.12+5×0.1+7×0.48+10×0.21=6.6.因为这两题总耗时超过10分钟,所以后面的题得分少1分,相当于得分均值为6.6-1=5.6,且5.6>3.7,故不选方案1.
易知采用方案3时第11题和第12题总得分的期望值一定小于4,故不选方案3.
设该同学采用方案4时第11题和第12题的总得分为随机变量Z,则Z的可能取值为0,2,4,5,7,
P(Z=0)=0.2×0.1=0.02,
P(Z=2)=0.2×0.2+0.8×0.1=0.12,
P(Z=4)=0.8×0.2=0.16,
P(Z=5)=0.2×0.7=0.14,
P(Z=7)=0.8×0.7=0.56,故Z的分布列为
Z 0 2 4 5 7
P 0.02 0.12 0.16 0.14 0.56
所以E(Z)=0×0.02+2×0.12+4×0.16+5×0.14+7×0.56=5.5,5.6>5.5,故不选方案4.
所以该同学应采用方案2:第11题和第12题均采用策略B.
6.解析　(1)由题意得X的可能取值为40,60,
P(X=40)=.
所以X的分布列为
X 40 60
P
E(X)=40×=50.
(2)根据商场的预算,每个顾客的平均奖励额为30 000÷500=60(元),
所以可先寻找使期望为60的可能方案.
①当球标有的面值为20元和40元时,
若选择“20,20,20,40”的面值设计,由(1)知期望为50;
若选择“40,40,40,20”的面值设计,因为60元是面值之和的最小值,所以期望不可能为60.
因此可能的面值设计是“20,20,40,40”,
设此方案中顾客所获的奖励额为X1元,则X1的可能取值为40,60,80,
P(X1=40)=,
P(X1=60)=,
P(X1=80)=.
所以E(X1)=40×=60,
所以D(X1)=(40-60)2×.
②当球标有的面值为15元和45元时,同理可排除“15,15,15,45”和“45,45,45,15”的面值设计,
所以可能的面值设计是“15,15,45,45”,
设此方案中顾客所获的奖励额为X2元,则X2的可能取值为30,60,90,
P(X2=30)=,
P(X2=60)=,
P(X2=90)=.
所以E(X2)=30×=60,
所以D(X2)=(30-60)2×=300.
因为E(X1)=E(X2),D(X1)所以两种方案奖励额的期望都符合要求,
但面值设计方案为“20,20,40,40”的奖励额的方差要比面值设计方案为“15,15,45,45”的奖励额的方差小,
所以应该选择面值设计方案“20,20,40,40”,即标有面值为20元和40元的球各2个.
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