2025人教A版高中数学选择性必修第三册强化练习题（含解析）--7.4.1　二项分布

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2025人教A版高中数学选择性必修第三册
7.4　二项分布与超几何分布
7.4.1　二项分布
基础过关练
题组一　n重伯努利试验
1.下列说法正确的是(　　)
A.n重伯努利试验的每次试验结果可以多于两种
B.n重伯努利试验的各次试验结果可以不独立
C.n重伯努利试验中,每次试验“成功”的概率可以不同
D.一次伯努利试验中,事件A发生的次数X服从两点分布
2.下列事件:①运动员甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”;②甲、乙两名运动员各射击一次,“甲射中10环”与“乙射中9环”;③甲、乙两名运动员各射击一次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”;④在相同的条件下,甲射击10次,5次击中目标.其中是n重伯努利试验的个数为(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
题组二　二项分布的概率及分布列计算
3.(多选题)(教材习题改编)某同学投篮1次,投中的概率是0.8,他连续投篮4次,且他每次投篮互不影响,则下列四个选项中,正确的是(　　)
A.他第3次投中的概率是0.8
B.他恰投中3次的概率是0.83×0.2
C.他至少投中1次的概率是1-0.24
D.他恰好有连续2次投中的概率为3×0.83×0.2
4.(2024河南焦作期末)今年冬天,“北上滑雪”成为热门的度假方式,某滑雪场通过调查了解到有的游客是第一次滑雪,其他游客以前滑过雪,则从所有游客中任选四人,其中恰有两人是第一次滑雪的概率为(　　)
A. C.
5.(2023湖南长沙麓山国际实验学校开学考试)在平面直角坐标系中,位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动:质点每次移动一个单位,移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是,则质点P移动6次后位于点(2,4)的概率为(　　)
A. C.
6.在n次独立重复试验(伯努利试验)中,若每次试验中事件A发生的概率都为p,则事件A发生的次数X服从二项分布B(n,p),事实上,在伯努利试验中,另一个随机变量的实际应用也很广泛,即事件A首次发生时试验进行的次数Y,显然P(Y=k)=p(1-p)k-1,k=1,2,3,…,我们称Y服从“几何分布”,经计算得E(Y)=.据此,若随机变量X服从二项分布B,且相应的“几何分布”的数学期望E(Y)A.6　　　　B.18　　　　C.36　　　　D.37
7.(2024浙江宁波期末)有一枚质地不均匀的游戏币,若随机抛掷它两次均得到正面向上的概率是均得到反面向上的概率的4倍,则随机抛掷它两次得到正面向上、反面向上各一次的概率为　　　　.
8.(2023湖南邵阳期末)甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响,每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响.
(1)若甲连续射击,命中为止,求甲恰好射击3次结束射击的概率;
(2)若乙连续射击,直至命中2次为止,求乙恰好射击3次结束射击的概率.
9.(2023陕西宝鸡长岭中学检测)在某公司的一次招聘中,应聘者要进行A,B,C三个独立项目的测试,通过其中的两个或三个即可被录用.已知甲、乙、丙三人通过A,B,C每个项目测试的概率都是.
(1)求甲恰好通过两个项目测试的概率;
(2)设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X,求X的分布列.
题组三　二项分布的期望与方差
10.(2023河北唐山乐亭第一中学月考)已知随机变量X~B(n,p),随机变量Y=3X+1,且E(Y)=7,D(Y)=12,则p=(　　)
A.
11.(2024辽宁辽阳期末)在一个布袋中装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球,从中有放回地随机摸取3次,每次摸一个球,记摸出白球的个数为X.若E(X)=,则P(X=2)=　　　　.
12.(2024河南郑州期中)已知甲射击命中的概率为,且每次射击命中得3分,未命中得0分,每次射击相互独立,设甲10次射击的总得分为随机变量X,则D(X)=　　　　.
13.(2024江苏南通如皋教学质量调研)会员足够多的某知名咖啡店,男会员占60%,女会员占40%.现对会员进行服务质量满意度调查.根据调查结果得知,男会员对服务质量满意的概率为,女会员对服务质量满意的概率为.
(1)随机选取一名会员,求其对服务质量满意的概率;
(2)从会员中随机抽取3人,记抽取的3人中,对服务质量满意的人数为X,求X的分布列和数学期望.
能力提升练
题组一　二项分布的概率与分布列
1.(2023河北邢台第二中学月考)在某次国际围棋比赛中,甲、乙两人进入最后决赛.比赛采取五局三胜制,即先胜三局的一方获得比赛冠军,比赛结束.假设每局比赛甲胜乙的概率都为,且各局比赛的胜负互不影响,则在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率为(　　)
A.
2.(2023湖北武汉第六中学月考)为响应国家鼓励青年创业的号召,小王开了两家店铺,每家店铺招收了两名员工.已知某节假日每名员工休假的概率均为,且是否休假互不影响.若一家店铺的员工全部休假,而另一家无人休假,则调剂1人到这家店铺,使得该店铺能够正常营业,否则该店就停业,则两家店铺在该节假日都能正常营业的概率为(　　)
A.
3.(多选题)(2024重庆缙云教育联盟月考)排球是一项深受人们喜爱的运动项目,排球比赛一般采用5局3胜制.在每局比赛中,发球方赢得此球后可得1分,并获得下一球的发球权,否则交换发球权,并且对方得1分.在决胜局(第五局)采用15分制,某队只有赢得至少15分,并领先对方2分为胜.现有甲、乙两队进行排球比赛,则下列说法正确的是(　　)
A.已知前三局比赛中甲已经赢两局,乙赢一局,若甲队最后赢得整场比赛,则甲队将以3∶1或3∶2的比分赢得比赛
B.若甲队每局比赛获胜的概率为,则甲队赢得整场比赛的概率也是
C.已知前三局比赛中甲已经赢两局,乙赢一局,且接下来两队赢得每局比赛的概率均为,则甲队最后赢得整场比赛的概率为
D.已知前四局比赛中甲、乙两队已经各赢两局,在决胜局(第五局)中,两队当前的得分为甲、乙各14分.若两队打了x(x≤4)个球后甲赢得整场比赛,则x的取值为2或4
题组二　二项分布的期望与方差
4.若X~B(3,p),其中0A.4　　　　B.
5.(2024广东梅州期末)在某独立重复试验中,事件A,B相互独立,且在一次试验中,事件A发生的概率为p,事件B发生的概率为1-p,其中p∈(0,1).若进行n次试验,记事件A发生的次数为X,事件B发生的次数为Y,事件AB发生的次数为Z,则下列说法正确的是(　　)
A.pE(X)=(1-p)E(Y) B.(1-p)D(X)=pD(Y)
C.E(Z)=D(Y) D.(D(Z))2=D(X)·D(Y)
6.(2024黑龙江大庆实验中学期中)某校在校庆期间举办羽毛球比赛,某班派出甲、乙两名单打主力,为了提高两位主力的能力,体育老师安排了为期一周的对抗训练,比赛规则如下:甲、乙两人每轮分别与体育老师打2局,当两人获胜局数不少于3局时,认为这轮训练过关;否则不过关.若甲、乙两人每局获胜的概率分别为p1,p2,且满足p1+p2=,每局之间相互独立.记甲、乙在n轮训练中训练过关的轮数为X,若E(X)=16,则从期望的角度来看,甲、乙两人训练的轮数至少为(　　)
A.27　　　　B.24　　　　C.32　　　　D.28
7.(2024河南南阳六校期末)为加强宪法学习宣传,弘扬宪法精神,某省总工会举办宪法闯关网络知识竞答活动.每轮共分两关,每关设有两题,闯每关时两题都要作答,只有第一关的两题均答对,才能闯第二关,否则本轮闯关失败.已知甲第一关每道题答对的概率均为,第二关每道题答对的概率均为,两关至少答对3题才可获得一次抽奖机会.
(1)求甲在一轮闯关中闯关失败的概率;
(2)记甲在一轮闯关中答对的题目数为X,请写出X的分布列,并求E(X);
(3)若每人可参加多轮闯关,且各轮之间相互独立,甲进行了5轮闯关,求他恰好获得3次抽奖机会的概率.
8.(2023河北衡水中学调研)某学校组织A,B,C,D,E五位同学参加某大学的测试活动,现有甲、乙两种不同的测试方案,每位同学随机选择其中一种方案进行测试,选择甲方案测试合格的概率为,选择乙方案测试合格的概率为,且每位同学测试的结果互不影响.
(1)若5位同学均选择甲方案测试,将测试合格的同学的人数记为X,求X的分布列及其方差;
(2)若测试合格的人数的期望不小于3,求选择甲方案进行测试的同学的可能人数.
题组三　二项分布的性质及其应用
9.(2024山西太原期末)一年之计在于春,一日之计在于晨,春天是播种的季节,是希望的开端.某种植户对一块地的n个坑进行播种,每个坑播种3粒种子,已知每粒种子发芽的概率均为,且每粒种子是否发芽相互独立.对每一个坑而言,至少有两粒种子发芽时,不需要进行补种,否则要补种,则当n=　　　　时,有3个坑要补种的概率最大,最大概率为　　　　.
10.(2024福建福州期末)某中学招聘教师分笔试和面试两个环节,主考官要求应聘者从笔试备选题和面试备选题中分别随机抽取10道题,并独立完成所抽取的20道题,每道题答对得10分,答错扣1分.甲答对每道笔试题的概率为,答对每道面试题的概率为,且每道题答对与否互不影响,则甲得　　　　分的概率最大.
答案与分层梯度式解析
7.4　二项分布与超几何分布
7.4.1　二项分布
基础过关练
1.D 2.A 3.AC 4.C 5.B 6.D 10.B
1.D　n重伯努利试验的每次试验只有两个相互独立的结果,因此A,B错误;n重伯努利试验中,每次试验“成功”的概率相同,因此C错误;易知D正确.故选D.
2.A　①和③符合互斥事件的概念,是互斥事件,不独立,不是n重伯努利试验;②是相互独立事件,但事件发生的概率不一定相同,不是n重伯努利试验;④是10次独立重复试验,是n重伯努利试验.所以只有④符合题意,故选A.
3.AC　对于A选项,投篮1次,投中的概率为0.8,所以第3次投中的概率为0.8,故A正确;对于B选项,恰投中3次的概率为×0.83×0.2=4×0.83×0.2,故B错误;对于C选项,至少投中1次的对立事件为一次都没有投中,所以至少投中1次的概率为1-0.24,故C正确;对于D选项,恰好有连续2次投中的概率为2×0.82×0.2+0.82×0.22,故D错误.故选AC.
4.C　由已知得恰有两人是第一次滑雪的概率为P=.故选C.
5.B　由题可得,质点P必须向右移动2次,向上移动4次才能在移动6次后位于点(2,4),
故所求概率为.故选B.
6.D　由题可知,p=,
因为E(Y)36,因此n的最小值为37.故选D.
7.答案　
解析　设随机抛掷该游戏币一次,得到正面向上的概率为p(0故随机抛掷它两次得到正面向上、反面向上各一次的概率为.
8.解析　(1)记“甲恰好射击3次结束射击”为事件A1,
则P(A1)=.
(2)记“乙恰好射击3次结束射击”为事件A2,
则P(A2)=.
9.解析　(1)甲恰好通过两个项目测试的概率为.
(2)因为甲、乙、丙三人被录用的概率均为,所以可看作3重伯努利试验,
甲、乙、丙三人中被录用的人数X服从二项分布,即X~B,
所以P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
P(X=3)=.
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
10.B　因为X~B(n,p),
所以E(X)=np,D(X)=np(1-p),
因为Y=3X+1,所以E(Y)=3E(X)+1=3np+1=7,所以np=2,
又D(Y)=9D(X)=9np(1-p)=12,即18(1-p)=12,所以p=.故选B.
11.答案　
解析　由题意知X~B,因为E(X)=,所以3×,解得m=1,所以,
因此P(X=2)=.
12.答案　20
解析　设命中的次数为Y,则Y~B,所以D(Y)=10×,由已知得X=3Y,所以D(X)=D(3Y)=32D(Y)=9×=20.
13.解析　(1)记事件A1:会员为男会员,A2:会员为女会员,事件C:对服务质量满意,
则由题可知,P(A1)=,
所以P(C)=P(A1)·P(C|A1)+P(A2)·P(C|A2)=.
(2)由题设及(1)知X~B,
P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
P(X=3)=,
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
E(X)=3×.
能力提升练
1.C 2.D 3.AD 4.C 5.C 6.A
1.C　记甲以3∶0获得冠军为事件A,甲以3∶1获得冠军为事件B,易知A与B互斥,
P(A)=,
所以在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率P=P(A)+P(B)=,故选C.
方法总结　比赛型问题是一类常见的概率问题,对于此类问题,要注意仔细研究比赛规则,然后从最后一局开始分析,看最后一局的胜负能否确定,再分析前几局比赛的胜负情况.
2.D　设两家店铺不都能正常营业为事件A.易知四人同时休假的概率为,有三个人同时休假的概率为,所以P(A)=,所以两家店铺在该节假日都能正常营业的概率为1-P(A)=.
3.AD　对于选项A,因为前三局比赛中甲已经赢两局,乙赢一局,所以若甲队最后赢得整场比赛,则甲队将以3∶1或3∶2的比分赢得比赛,因此A正确;
对于选项B,甲队赢得整场比赛的概率P1=,因此B错误;
对于选项C,若甲队以3∶1的比分赢得比赛,则第4局甲赢,若甲队以3∶2的比分赢得比赛,则第4局乙赢,第5局甲赢,所以甲队最后赢得整场比赛的概率P2=,因此C错误;
对于选项D,由已知得甲接下来可以以16∶14或17∶15赢得比赛,则x的取值为2或4,因此D正确.故选AD.
4.C　由题意得E(X)=3p,D(X)=3p(1-p),
∴E(2X)=2E(X)=6p,D(2X+1)=4D(X)=12p(1-p),∴E(2X)·D(2X+1)=72(p2-p3).
设f(x)=72(x2-x3)(0则f '(x)=72(2x-3x2)=72x(2-3x).
当00, f(x)单调递增;
当∴f(x)在x=处取得极大值,也是最大值,
∴f(x)max=f ,即E(2X)·D(2X+1)的最大值为.故选C.
5.C　对于选项A,因为E(X)=np,E(Y)=n(1-p),所以pE(X)≠(1-p)E(Y),因此A错误;
对于选项B,因为D(X)=np(1-p),D(Y)=n(1-p)p,所以(1-p)D(X)≠pD(Y),因此B错误;
对于选项C,因为A,B独立,所以P(AB)=p(1-p),所以E(Z)=np(1-p)=D(Y),因此C正确;
对于选项D,因为D(Z)=np(1-p)[1-p(1-p)],D(X)·D(Y)=n2p2(1-p)2,所以(D(Z))2≠D(X)·D(Y),因此D错误.故选C.
6.A　不妨设每轮训练过关的概率为p,
则p=·(1-p2)·p2+p1··(1-p1)=-3p1p2,
易得0易知函数y=-3x2+x的图象开口向下,对称轴方程为x=,所以当x=时,y取最大值,
所以0<-3p1p2≤-3×,
因为每局之间相互独立,所以X~B(n,p),
因此E(X)=np=n-3p1p2=16,
故n==27,
则甲、乙两人训练的轮数至少为27.故选A.
7.解析　(1)由已知可得,甲在一轮闯关中闯关失败的概率P=1-.
(2)由题设可知,X的所有可能取值为0,1,2,3,4,
P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
P(X=3)=,
P(X=4)=,
则X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
∴E(X)=0×.
(3)由(2)及条件知每一轮闯关获得抽奖机会的概率为P(X=3)+P(X=4)=.
设5轮闯关获得抽奖机会的次数为Y,则Y~B,
∴P(Y=3)=,故甲恰好获得3次抽奖机会的概率为.
8.解析　(1)由题意得X~B,
P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
P(X=3)=,
P(X=4)=,
P(X=5)=.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4 5
P
方差D(X)=5×.
(2)设选择甲方案测试的同学人数为n,则选择乙方案测试的同学人数为5-n,通过甲方案测试合格的同学人数为ξ,通过乙方案测试合格的同学人数为η.
当n=0时,所有同学均选择乙方案测试,则η~B,所以E(ξ+η)=E(η)=5×<3,与题意不符;
当n=5时,所有同学均选择甲方案测试,则ξ~B,所以E(ξ+η)=E(ξ)=5×>3,符合题意;
当n=1,2,3,4时,ξ~B,所以E(ξ+η)=E(ξ)+E(η)=,令≥3,解得n≥3,所以n=3或n=4时,符合题意.
综上,当选择甲方案进行测试的同学的人数为3或4或5时,测试合格的人数的期望不小于3.
9.答案　5或6;
解析　对一个坑而言,要补种的概率P=,
则有3个坑要补种的概率为.
要使最大,
只需
解得5≤n≤6,因为n∈N*,所以n=5或n=6.
当n=5时,,
当n=6时,,
所以当n=5或n=6时,有3个坑要补种的概率最大,最大概率为.
10.答案　112
解析　设甲答对x道笔试题和y道面试题的概率最大,
由题意可知,P(x)=,
要使最大,则需满足
解得≤x≤,
又因为x∈N,所以x=7,
易知y=5时,P(y)最大,所以甲得(7+5)×10-(10-7+10-5)×1=112分的概率最大.
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