2025人教A版高中数学选择性必修第三册强化练习题（含解析）--7.4.2　超几何分布

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2025人教A版高中数学选择性必修第三册
7.4.2　超几何分布
基础过关练
题组一　超几何分布及其概率计算
1.(2024山东潍坊临朐一中开学考试)一个袋中有6个同样大小的黑球,编号分别为1,2,3,4,5,6,还有4个同样大小的白球,编号分别为7,8,9,10,现从中任取4个球,下列变量X服从超几何分布的是(　　)
A.X表示取出的最大号码
B.X表示取出的最小号码
C.取出一个黑球记2分,取出一个白球记1分,X表示取出的4个球的总得分
D.X表示取出的黑球个数
2.(2023河南平顶山第一中学期中)甲同学参加青年志愿者的选拔,选拔以现场答题的方式进行.已知在备选的8道试题中,甲能答对其中的4道题,规定每次考试都从备选题中随机抽出4道题进行测试,设甲答对的试题数为X,则X=3的概率为(　　)
A.
3.(2022北京师范大学第二附属中学期中)设10件产品中有3件次品,现从中抽取5件,则表示(　　)
A.5件产品中有3件次品的概率
B.5件产品中有2件次品的概率
C.5件产品中有2件正品的概率
D.5件产品中至少有2件次品的概率
4.(2024江苏淮安六校联考)一个袋中装有4个红球,3个黑球,小明从袋中随机取4个球,设取到一个红球得2分,取到一个黑球得1分,则小明得分大于6分的概率是(　　)
A.
5.(2024广西钦州一中期中)从一批含有13件正品、2件次品的产品中,不放回地任取3件,设取得的次品数为X,则P(X<1)=　　　　.
6.(2023北京东城期末)某单位组织知识竞赛,按照比赛规则,每位参赛者从5道备选题中随机抽取3道题作答.假设在5道备选题中,甲答对每道题的概率都是,且每道题答对与否互不影响,则甲恰好答对其中2道题的概率为　　　　;若乙能答对其中3道题且另外2道题不能答对,则乙恰好答对2道题的概率为　　　　.
7.(教材习题改编)在10件产品中,有3件一等品,4件二等品,3件三等品,从这10件产品中任取3件.
(1)设取出的3件产品中一等品的件数为X,求X的分布列;
(2)求取出的3件产品中一等品的件数多于二等品的件数的概率.
题组二　超几何分布的期望与方差
8.(2024河南许昌期中)某直播间的主播有男性5人,女性3人,现随机抽取两人排晚班,则其中男性人数的期望为(　　)
A.
9.(多选题)(2024河南南阳六校期末)在一个袋中装有除颜色外其余完全一样的3个黑球,3个白球,现从中任取4个球,设这4个球中黑球的个数为X,则(　　)
A.X服从二项分布　　　　B.X的最小值为1
C.P(X=2)=　　　　D.E(X)=2
10.(2024湖南株洲期末)在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现在6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示.
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率;
(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者的人数,求X的分布列及数学期望、方差.
11.(2024河南安阳期中)智能制造离不开精密的零件,某车间生产了一批精密零件,已知每箱有10个零件,某工厂质检人员需要开箱随机检查零件质量.
(1)已知某箱零件中有2个次品,从中随机抽取3个零件检查,设随机变量X为次品个数,求E(X);
(2)根据历年数据统计该车间生产的零件中,每箱有0个,1个,2个次品的概率分别为0.6,0.3,0.1,每箱随机检查3个零件,若发现有次品,则质检不合格,从某批次的产品中,任选一箱,求检测合格的概率.
能力提升练
题组　超几何分布的应用
1.(多选题)(2024浙江台金七校联盟期中)一个不透明的口袋中有8个大小相同的球,其中红球5个,白球2个,黑球1个,则下列选项正确的有(　　)
A.从该口袋中任取3个球,设取出的红球个数为ξ,则数学期望E(ξ)=
B.每次从该口袋中任取一个球,记录下颜色后放回口袋,先后取了3次,设取出的红球次数为η,则方差D(η)=
C.从该口袋中任取3个球,设取出的球的颜色有X种,则数学期望E(X)=
D.每次从该口袋中任取一个球,不放回,拿出红球即停,设拿出的白球的个数为Y,则数学期望E(Y)=
2.(2023湖北武汉期末)有40件产品,其中有10件次品,从中不放回地抽18件产品,最可能抽到的次品数是　　　　.
3.(2024浙江宁波三锋教研联盟期中)袋中有大小相同的小球10个,其中黑球3个,红球n个,白球(7-n)个,n∈N*.从中任取2个球,至少有1个红球的概率为.
(1)任取3个球,求取出的球中恰有2个球同色的概率;
(2)任取2个球,取到1个红球得2分,取到1个白球得0分,取到1个黑球得-1分,求总得分X的概率分布列及数学期望E(X).
4.(2023重庆巴蜀中学月考)已知外形完全一样的某品牌电子笔6支装一盒,每盒中最多有一支次品,每盒电子笔有次品的概率为.
(1)现有一盒电子笔,抽出两支进行检测.
①求抽出的两支均是正品的概率;
②已知抽出的两支是正品,求剩余产品中有次品的概率;
(2)已知甲、乙两盒电子笔中均有次品,由于某种原因将两盒电子笔完全混在一起,现随机选3支电子笔进行检测,记ξ为选出的3支电子笔中的次品数,求ξ的期望和方差.
5.(2024山东滨州期中)某商场举行有奖促销活动,凡10月13日当天消费超过400元(含400元)的顾客均可抽奖一次,抽奖箱里有6个除颜色外完全相同的小球(其中红球有3个,白球有3个),抽奖方案有两种,顾客可自行选择其中的一种方案.
方案一:从抽奖箱中一次性摸出2个球,若摸出2个红球,则打6折;若摸出1个红球,则打8折;若没有摸出红球,则不打折.
方案二:从抽奖箱中有放回地每次摸取1个球,连摸2次,每摸到1次红球,立减100元.
(1)若小方、小红各消费了400元,且均选择方案一,试求他们中有一人享受6折优惠的概率;
(2)若小勇消费恰好满600元,试比较说明小勇选择哪种方案更划算.
6.(2024广东东莞模拟)某单位进行招聘面试,已知参加面试的N名学生全都来自A,B,C三所学校,其中来自A校的学生人数为n(n>1).该单位随机给每个面试人员安排了一个面试号码k(k=1,2,3,…,N),按面试号码k由小到大的顺序依次进行面试,每人面试5分钟,面试完成后自行离场.
(1)求面试号码为2的学生来自A校的概率;
(2)若N=40,n=10,且B,C两所学校参加面试的学生人数之比为1∶2,求A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试(A校所有参加面试的学生完成面试后,B,C两校都还有学生未完成面试)的概率;
(3)记随机变量X表示最后一名A校学生完成面试所用的时长(从A校第1名学生开始面试到最后1名学生完成面试所用的时间),E(X)是X的数学期望,证明:E(X)=.
答案与分层梯度式解析
7.4.2　超几何分布
基础过关练
1.D 2.D 3.B 4.A 8.C 9.BCD
1.D　从10个球中任取4个球,是不放回抽样,满足超几何分布的试验,但对于随机变量的取值,只有选项D是其中一类元素(黑球)的个数,符合超几何分布的定义,选项A、B、C中随机变量的取值均不符合超几何分布的定义,因此选项A、B、C错误.故选D.
2.D　P(X=3)=.故选D.
3.B　对于A,5件产品中有3件次品的概率为,故A不符合题意;对于B,5件产品中有2件次品的概率为,故B符合题意;对于C,5件产品中有2件正品的概率为,故C不符合题意;对于D,5件产品中至少有2件次品的概率为,故D不符合题意.故选B.
4.A　记小明的得分为X分,则X的可能取值为5,6,7,8,
且P(X=7)=,
P(X=8)=,
所以P(X>6)=P(X=7)+P(X=8)=.
5.答案　
解析　 由题意知X服从超几何分布,且X的可能取值为0,1,2,故P(X<1)=P(X=0)=.
6.答案　
解析　设甲能够答对X道题,则X~B,因此P(X=2)=;
若乙能答对其中3道题且另外2道题不能答对,则乙恰好答对2道题的概率为.
7.解析　(1)由于从10件产品中任取3件的结果数为,从10件产品中任取3件,其中恰有k件一等品的结果数为,那么从10件产品中任取3件,其中恰有k件一等品的概率为P(X=k)=,k=0,1,2,3,
∴随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
(2)设“取出的3件产品中一等品的件数多于二等品的件数”为事件A,“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1,“恰好取出2件一等品”为事件A2,“恰好取出3件一等品”为事件A3.
则事件A1,A2,A3彼此互斥,且A=A1∪A2∪A3,
P(A1)=,由(1)知P(A2)=P(X=2)=,
∴取出的3件产品中一等品的件数多于二等品的件数的概率为P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=.
8.C　设其中男性人数为X,则X的可能取值为0,1,2,
且P(X=0)=,
P(X=1)=,
则E(X)=0×.故选C.
9.BCD　依题意知随机变量X服从超几何分布,因此选项A错误;X的所有可能取值为1,2,3,所以X的最小值为1,因此选项B正确(X=2)=,因此选项C正确;E(X)==2,因此选项D正确.故选BCD.
10.解析　(1)记“接受甲种心理暗示的志愿者包含A1但不包含B1”为事件M,则P(M)=.
(2)由题意知X的所有可能取值为0,1,2,3,4,
则P(X=0)=,
P(X=2)=,
P(X=3)=,
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
因此E(X)=0×=2,
D(X)=.
11.解析　(1)由题意可知,随机变量X的可能取值有0,1,2,则P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
故E(X)=0×.
(2)记抽到的箱子有0个,1个,2个次品分别为事件A1,A2,A3,检测合格为事件B,
则P(A1)=0.6,P(A2)=0.3,P(A3)=0.1,
且P(B|A1)=1,P(B|A2)=,
由全概率公式可得P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+P(B|A3)P(A3)=.
所以检测合格的概率为.
能力提升练
1.ABD　对于选项A,从该口袋中任取3个球,取出的红球个数ξ的可能取值为0,1,2,3,
则P(ξ=0)=,
则E(ξ)=0×,因此A正确;
对于选项B,每次从该口袋中任取一个球,是红球的概率为,则η~B,
则方差D(η)=3×,因此B正确;
对于选项C,由已知得X的可能取值为1,2,3,
则P(X=1)=,则E(X)=1×=2,因此C错误;
对于选项D,由已知得Y的可能取值为0,1,2,
则P(Y=0)=,则E(Y)=0×,因此D正确.
故选ABD.
2.答案　4
解析　由题意知抽到的次品数服从超几何分布,
假设抽到次品数为n的概率最大,
则有≤n≤,
又n∈N,所以n=4.
即最可能抽到的次品数是4.
3.解析　由题意可知,从中任取2个球,至少有1个红球的概率为1-,解得n=5或n=14(舍去),
故袋中红球有5个,白球有2个.
(1)设事件A表示“取出的3个球中恰有2个球同色”,
则P(A)=.
(2)由题意可知,X的所有可能取值为-2,-1,0,1,2,4,
则P(X=-2)=,
P(X=0)=,
P(X=2)=,
所以X的概率分布列为
X -2 -1 0 1 2 4
P
所以E(X)=-2×.
4.解析　(1)①记事件A:该盒有次品,事件B:抽出的两支均是正品,
则P(A)=)=1,
∴P(B)=P(A)P(B|A)+P(,故抽出的两支均是正品的概率为.
②P(A|B)=,故剩余产品中有次品的概率为.
(2)由题意知,两盒电子笔中共有10支正品,2支次品,∴ξ的可能取值为0,1,2,
P(ξ=0)=,
∴E(ξ)=0×,
∴D(ξ)=.
5.解析　(1)设“顾客享受6折优惠”为事件A,则P(A)=,∴小方、小红两人中有一人享受6折优惠的概率P=.
(2)若小勇选择方案一,设付款金额为X元,则X的可能取值为360,480,600,
则P(X=360)=,
P(X=480)=,
P(X=600)=,
∴E(X)=360×=480.
若小勇选择方案二,设摸到红球的个数为Y,付款金额为Z元,则Z=600-100Y.
由已知可得Y~B,故E(Y)=2×=1,
∴E(Z)=E(600-100Y)=600-100E(Y)=600-100=500.
∵E(X)6.解析　(1)记“面试号码为2的学生来自A校”为事件M,
解法一:将A校n名学生面试号码的安排情况作为样本空间,则样本点总数为,
事件M表示A校有1名学生的面试号码为2,
其他(n-1)名学生的面试号码在剩余(N-1)个面试号码中随机安排,
则事件M包含的样本点数为,
故P(M)=.
解法二:面试号码为2的样本点总数为,事件A中的样本点数为,因此P(A)=.
(2)设B校参加面试的学生有x名,
由题意得,解得x=10,
所以B校参加面试的学生有10名,C校参加面试的学生有20名.
记“最后面试的学生来自B校”为事件E,“最后面试的学生来自C校”为事件F,
显然事件E,F互斥.
记“A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试”为事件D,则D=ED+FD.
当事件E发生时,只需考虑A,C两所学校所有参加面试的学生中最后面试的那位来自C校,
则P(E)=,(最后面试的学生有种选法,最后面试的学生来自B校有种选法)
P(D|E)=,(A,C两所学校所有参加面试的学生中最后面试的学生有种选法,来自C校有种选法)
因此P(ED)=P(E)P(D|E)=.
同理,当事件F发生时,只需考虑A,B两所学校所有参加面试的学生中最后面试的那位来自B校,
则P(FD)=P(F)P(D|F)=.
所以P(D)=P(ED)+P(FD)=.
(3)证明:由题知随机变量X的可能取值为5n,5(n+1),…,5N,
则P(X=5k)=,k=n,n+1,…,N,
(样本点总数为,“X=5k”表示A校最后一名学生第k个面试,其中包含的样本点数为)
所以随机变量X的期望E(X)=5k·
=
=
=+…+)
=+…+
(利用化简)
=,
所以E(X)=.
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