2025人教A版高中数学选择性必修第三册强化练习题（含解析）--7.5　正态分布

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2025人教A版高中数学选择性必修第三册
7.5　正态分布
基础过关练
题组一　正态曲线及其特点
1.(2022河南名校期中联考)设随机变量X~N(μ,9),若P(X<1)=P(X>7),则(　　)
A.E(X)=4,D(X)=9
B.E(X)=3,D(X)=3
C.E(X)=4,D(X)=3
D.E(X)=3,D(X)=9
2.(2024陕西安康期中)对甲、乙两地小学生假期读书情况进行统计,可知两地小学生每天的读书时间均符合正态分布,其中甲地小学生每天的读书时间为X(单位:min),X~N(2,4),对应的曲线为C1,乙地小学生每天的读书时间为Y(单位:min),Y~N,对应的曲线为C2,则下列图象正确的是(　　)
　　　　
　　　　
3.(多选题)下列说法正确的是(　　)
A.正态曲线中参数μ,σ的意义分别是样本的均值与方差
B.正态曲线是单峰的,其与x轴围成的面积是随参数μ,σ的变化而变化的
C.正态曲线可以关于y轴对称
D.若X~N(μ,σ2),则P(X<μ)=
题组二　正态分布的概率计算
4.(教材习题改编)已知随机变量X~N(1,4),则P(3注:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σA.0.341 3　　　　B.0.477 2　　　　C.0.135 9　　　　D.0.067 95
5.(2024江苏连云港期中)设随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(X<3)=0.8,则P(1A.0.3　　　　B.0.4　　　　C.0.5　　　　D.0.9
6.(2024江西名校联盟期末)已知随机变量X~N(12,σ2),若P(X<9)=0.36,则P(127.(2024广东湛江段考)已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),若P(2题组三　正态分布的实际应用
8.(2024河南南阳六校期末)某班有45名学生,最近一次的市联考数学成绩X服从正态分布N(95,σ2),若成绩在75~115分范围内的学生人数为18,则成绩大于115分的学生占比为(　　)
A.0.2　　　　B.0.25　　　　C.0.3　　　　D.0.35
9.(2023浙江宁波效实中学期中)在某地举行的数学竞赛中,全体参赛学生的竞赛成绩(单位:分)近似服从正态分布N(70,100),已知成绩在90分以上(含90分)的学生有14名,则参加此次数学竞赛的学生人数大约为(注:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σA.1 200　　　　B.900
C.600　　　　D.300
10.(多选题)(2024江苏徐州期末)某市两万名高三学生数学期末统考成绩(单位:分,满分150分)近似服从正态分布N(96,256),则下列说法正确的是(　　)
(附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σA.该次成绩高于144分的学生约有27人
B.任取该市一名高三学生,其数学成绩低于80分的概率约为0.023
C.若将该次成绩的前2.28%划定为优秀,则优秀分数线约为128分
D.若将试卷平均得分与试卷总分的比值作为该试卷的难度系数,则这份试卷的难度系数为0.60
11.(2024广西南宁二中期中)在某次数学测试中,学生成绩X服从正态分布N(100,σ2).若P(80≤X≤120)=,则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生,至少有2名学生的成绩低于80分的概率是　　　　.
12.(2023浙江温州新力量联盟期中联考)红外体温计的工作原理是通过人体发出的红外热辐射来测量体温,有一定误差.现用一款红外体温计测量一个体温为36.9 ℃的人的体温,发现体温计所显示的体温X(单位:℃)服从正态分布N,若X的值落在(36.6,37.2)内的概率约为0.997 3,求n的值.
参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(|X-μ|<3σ)≈0.997 3.
13.(2023江西宜春期中)新高考改革是中央部署全面深化改革的重大举措之一,为了了解学生对于选择物理学科的倾向,某中学在一次大型考试后,对高一年级学生的物理成绩进行分析,随机抽取了300名同学的物理成绩(均在50~100分范围内),将抽取的成绩(单位:分)分组为[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求这300名同学物理的平均成绩与标准差s的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表,结果精确到1);
(2)已知全年级同学的物理成绩X(单位:分)服从正态分布N(μ,σ2),其中μ,σ分别取(1)中的,s,现从全年级中随机选取一名同学的物理成绩,求该同学的物理成绩在区间(62,95)内的概率(结果精确到0.1);
(3)根据(2)中的结果,现从全年级随机选取n名同学的物理成绩,若他们的成绩都在(62,95)内的概率不低于1%,求n的最大值.
附:lg 2≈0.301,≈11.若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ能力提升练
题组一　正态分布及其概率计算
1.已知连续型随机变量Xi~N(μi,)(i=1,2,3),其正态曲线y=fi(x)(i=1,2,3)如图所示,则下列结论正确的是　(　　)
A.P(X1≤μ2)B.P(X2≥μ2)>P(X3≥μ3)
C.P(X1≤μ2)D.P(μi-2σi≤Xi≤μi+2σi)=P()(i=1,2)
2.(多选题)(2023浙江绍兴期末)设随机变量X~N(0,22),随机变量Y~N(0,32),则(　　)
A.E(X)=E(Y)
B.D(X)=2,D(Y)=3
C.P(X<-2)+P(X≤2)=1
D.P(|X|≤1)3.(多选题)(2023河南洛阳洛宁第一高级中学期中)某社区医院工作人员在社区内开展了“如何护理患有黄疸的新生儿”的知识讲座,并向参与讲座的人每人发放了一份相关的知识问卷.该讲座结束后,共收回问卷100份.据统计,这100份问卷的得分X(单位:分,满分为100分)服从正态分布N(80,25),下列说法正确的是(　　)
附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σA.这100份问卷得分数据的均值是80,标准差是5
B.这100份问卷中得分超过85分的约有16份
C.P(70D.若在其他社区开展该知识讲座并发放知识问卷,得到的问卷得分数据也服从正态分布N(80,25)
4.(2023海南华侨中学模拟)某校高二学生一次数学诊断的考试成绩X(单位:分)服从正态分布N(110,102),从中抽取一名学生的数学成绩,记为ξ,设“90<ξ≤110”为事件A,“80<ξ≤100”为事件B,则在事件A发生的条件下,事件B发生的概率约为　　　　.(结果保留两位有效数字)
附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ题组二　正态分布的应用
5.(2024上海复旦附中期中)江先生每天上班时间为9点,通常开私家车加步行或乘坐地铁加步行去上班,若他开私家车,则开车所需时间Z(单位:分钟)服从正态分布N(38,72),且从停车场步行到单位需要6分钟;若他乘坐地铁,则他从家到地铁站需要步行5分钟,乘坐地铁所需时间Z(单位:分钟)服从正态分布N(44,22),且从地铁站步行到单位需要5分钟,从统计的角度出发,下列说法中合理的是(　　)
参考数据:若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σA.若8:00出门,则开私家车不会迟到
B.若8:02出门,则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大
C.若8:06出门,则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大
D.若8:12出门,则乘坐地铁上班极大可能会迟到
6.(2024重庆第一中学校期中)某蓝莓基地种植的蓝莓按1个蓝莓果的重量Z(克)分为4级:Z>20的为A级,18附:若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.682 7.
A.4　　　　B.5　　　　C.6　　　　D.7
7.(2024山西朔州期末)某车间生产了一批零件,现从中随机抽取10个零件,测量其内径Z(单位:cm)的数据如下:97,97,98,102,105,107,108,
109,113,114.设这10个数据的平均值为μ,标准差为σ.
(1)求μ与σ;
(2)假设这批零件的内径Z(单位:cm)服从正态分布N(μ,σ2).
①从这批零件中随机抽取5个,设这5个零件中内径小于87 cm的个数为X,求E(4X+3);
②若该车间又新购一台设备,安装调试后,试生产了5个零件,测量其内径(单位:cm)分别为86,95,103,109,118,以原设备生产性能为标准,这台设备是否需要进一步调试 说明理由.
参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3,0.997 34≈0.99.
8.(2024广东深圳适应性考试)公平正义是社会主义和谐社会的重要特征,是社会主义法治观念的价值追求.考试作为一种公平公正选拔人才的有效途径正被广泛采用.某企业准备通过考试(按照高分优先录取的原则)录用300名应聘人员,其中275个高薪职位,25个普薪职位.已知此次招聘中,实际报名人数为2 000,考试满分为400分,考试成绩的部分统计结果如下:考试平均成绩是180分,360分及以上的高分考生有30名(一般地,对于一次成功的考试来说,考试成绩应服从正态分布).
(1)求此次招聘中的最低录用分数(结果保留整数);
(2)已知考生甲的成绩为286分,试判断甲能否被录用,若被录用,进一步判断其能否获得高薪职位.
附:①当X~N(μ,σ2)时,令Y=,则Y~N(0,1);②当Y~N(0,1)时,P(Y<2.17)≈0.985,P(Y<1.28)≈0.9,P(Y<1.09)≈0.863,P(Y<1.04)≈0.85.
答案与分层梯度式解析
7.5　正态分布
1.A 2.B 3.CD 4.C 5.A 8.C 9.C 10.AC
1.A　∵随机变量X~N(μ,9),且P(X<1)=P(X>7),∴σ2=9,μ==4,∴E(X)=4,D(X)=9.
故选A.
2.B　由μX=2<μY=3,知曲线C1的对称轴在曲线C2的对称轴的左侧,排除C、D;
由,知曲线C2比曲线C1瘦高,排除A.故选B.
3.CD　对于A,正态曲线中参数μ,σ的意义分别是样本的均值与标准差,故A错误;
对于B,正态曲线是单峰的,其与x轴围成的面积是1,故B错误;
对于C,当μ=0时,正态曲线关于y轴对称,故C正确;
对于D,正态曲线关于直线x=μ对称,故P(X<μ)=,故D正确.故选CD.
4.C　因为X~N(1,4),所以P(1所以P(35.A　∵随机变量X服从正态分布N(2,σ2),∴μ=2,即正态曲线的对称轴方程是x=2,∴P(X≤2)=0.5.
又P(X<3)=0.8,∴P(16.答案　0.14
解析　∵随机变量X~N(12,σ2),且P(X<9)=0.36,
∴P(X>15)=P(X<9)=0.36,
则P(1212)-P(X>15)=0.5-0.36=0.14.
7.答案　4
解析　由题意得P(X≤2)=1-P(X≥6)-P(2∴μ==4.
8.C　由题可设P(X>115)=P(X<75)=m,则P(75≤X≤115)=1-2m,
所以45(1-2m)=18,故m=0.3.故选C.
9.C　用X表示参赛学生的竞赛成绩(单位:分),则X~N(70,100),所以μ=70,σ=10,
所以P(X≥90)==0.022 75,所以参加此次数学竞赛的学生人数约为≈615.故选C.
10.AC　设两万名高三学生数学期末统考成绩为X分,则X~N(96,256),
因此μ=96,σ=16,则μ+3σ=144,
所以P(X>144)≈=0.001 35,
所以该次成绩高于144分的学生约有0.001 35×20 000=27人,因此A正确;
因为μ-σ=80,
所以P(X<80)≈=0.158 65,因此B不正确;
因为μ+2σ=128,μ-2σ=64,
所以P(μ-2σP(X>128)≈=0.022 75≈2.28%,
若将该次成绩的前2.28%划定为优秀,则优秀分数线约为128分,因此C正确;
试卷平均得分即为μ=96,试卷总分为150,所以=0.64,因此D不正确.故选AC.
11.答案　
解析　由P(80≤X≤120)=,X服从正态分布N(100,σ2),可得P(X<80)=,
则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生,至少有2名学生的成绩低于80分的概率为.
12.解析　由题意可得μ=36.9,σ2=,
∵X的值落在(36.6,37.2)内的概率约为0.997 3,且P(|X-μ|<3σ)≈0.997 3,
∴P(36.6∴3σ=0.3,解得σ=0.1,∴=0.01,解得n=5.
13.解析　(1)=(55×0.01+65×0.03+75×0.04+85×0.01+95×0.01)×10=73,
s2=(55-73)2×0.1+(65-73)2×0.3+(75-73)2×0.4+(85-73)2×0.1+(95-73)2×0.1=116,故s=≈11.
(2)由已知及(1)可得X~N(73,112),所以P(62(3)由(2)可知1名同学的物理成绩在区间(62,95)内的概率约为0.8,
由题意知0.8n≥0.01,所以n≤log0.80.01=≈20.6,所以n的最大值为20.
能力提升练
1.D 2.AC 3.ABC 5.D 6.A
1.D　对于A,P(X1≤μ2)表示题中y=f1(x)的图象在第二条竖向虚线左侧的部分与x轴围成的图形的面积,P(X2≤μ1)表示题中y=f2(x)的图象在第一条竖向虚线左侧的部分与x轴围成的图形的面积,
由题图可知P(X1≤μ2)>P(X2≤μ1),故A错误;
对于B,P(X2≥μ2)=,P(X3≥μ3)=,则P(X2≥μ2)=P(X3≥μ3),故B错误;
对于C,与A中分析相同,P(X1≤μ2)>P(X2≤μ3),故C错误;
对于D,在正态分布中,随机变量X落在某区间的概率表示曲线和x轴及对应直线围成的图形的面积,与i的取值无关,故P(μi-2σi≤Xi≤μi+2σi)=P()(i=1,2)成立,故D正确.
2.AC　由随机变量X~N(0,22),随机变量Y~N(0,32)知,E(X)=E(Y)=0,D(X)=4,D(Y)=9,故A正确,B错误.因为随机变量X服从正态分布,且图象的对称轴为直线x=0,所以P(X<-2)+P(X≤2)=P(X>2)+P(X≤2)=1,故C正确.在正态曲线中,σ越小,峰值越高,正态曲线越“瘦高”,随机变量的分布越集中,σ越大,峰值越低,正态曲线越“矮胖”,随机变量的分布越分散,因为随机变量X,Y均服从正态分布,且图象的对称轴均为y轴,σX=2,σY=3,所以P(|X|≤1)>P(|Y|≤1),故D错误.故选AC.
3.ABC　由题意得,这100份问卷得分数据的均值是80,标准差是5,A正确(X>85)≈=0.158 65,100×0.158 65≈16,所以这100份问卷中得分超过85分的约有16份,B正确;由正态曲线的对称性,可得P(704.答案　0.28
解析　由题意可知μ=110,σ=10,事件AB为“90<ξ≤100”,所以P(AB)=P(90<ξ≤100)=P(μ-2σ<ξ≤μ-σ)==0.135 9,又P(A)=P(90<ξ≤110)=P(μ-2σ<ξ≤μ)==0.477 25,所以P(B|A)=≈0.28.
5.D　对于A,当满足P(Z≥59)==0.001 3时,江先生仍有可能迟到,只不过发生的概率较小,因此A错误.
对于B,当8:02出门时,
若江先生开私家车,则不迟到的概率为P(Z≤52)=+P(24若江先生乘坐地铁,则不迟到的概率为P(Z≤48)=+P(40此时江先生不迟到的概率相当,因此B错误.
对于C,当8:06出门时,
若江先生开私家车,则不迟到的概率为P(Z≤48)>P(Z≤45)=+P(31若江先生乘坐地铁,则不迟到的概率为P(Z≤44)==0.5,
显然江先生开私家车不迟到的概率更大,因此C错误.
对于D,当8:12出门时,
若江先生乘坐地铁上班,则不迟到的概率为P(Z≤38)=≈0.001 3,此时不迟到的可能性极小,故江先生乘坐地铁上班极大可能会迟到,因此D正确.故选D.
6.A　因为蓝莓果的重量Z(克)服从正态分布N(15,9),其中μ=15,σ=3,所以P=P(Z>18)=≈0.2,
则第k次抽到优等果的概率P(X=k)=0.8k-1·0.2(k=1,2,3,…,n-1),恰好抽查n次的概率P(X=n)=0.8n-1,
所以E(X)=0.2k·0.8k-1+n·0.8n-1,
设M=k·0.8k-1,则0.8M=k·0.8k,
两式相减得0.2M=0.8k-1-(n-1)·0.8n-1=-(n-1)·0.8n-1=5(1-0.8n-1)-(n-1)·0.8n-1,
所以E(X)=0.2M+n·0.8n-1=5(1-0.8n-1)-(n-1)·0.8n-1+n·0.8n-1=5(1-0.8n),
令5(1-0.8n)≤3,得0.8n≥0.4,
又0.84=0.409 6>0.4,0.85=0.327 68<0.4,
所以n的最大值为4.故选A.
7.解析　(1)由题意得μ=×(97+97+98+102+105+107+108+109+113+114)=105,
σ2=×(64+64+49+9+0+4+9+16+64+81)=36,
∴σ=6.
(2)①由(1)得Z~N(105,36),∴P(Z<87)=P(Z<μ-3σ)=P(Z<μ)-≈0.5-=0.001 35,
∴X~B(5,0.001 35),∴E(4X+3)=4E(X)+3=4×5×0.001 35+3=3.027.
②需要.理由如下:
∵P(87≤Z≤123)=P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.997 3,
∴5个零件中恰有1个零件的内径不在[μ-3σ,μ+3σ]内的概率为×0.997 34×(1-0.997 3)≈5×0.99×0.002 7=0.013 365.
∵86 [87,123],∴试生产的5个零件中出现了1个零件的内径不在[μ-3σ,μ+3σ]内,出现的频率为0.2,大概是0.013 365的15倍,根据3σ原则,这台设备需要进一步调试.
8.解析　(1)设考生的成绩(单位:分)为X,则X~N(180,σ2).
令Y=,则Y~N(0,1).
由360分及以上的高分考生有30名,得P(X≥360)=,所以P(X<360)=1-=0.985,
即P=0.985,则≈2.17,
所以σ≈83,所以X~N(180,832).
设最低录用分数为x0分,
则P(X≥x0)=P,
即P=0.85,
即≈1.04,所以x0≈267,
所以此次招聘中的最低录用分数为267分.
(2)因为286>267,所以甲能被录用.
易得P(X<286)=P≈P(Y<1.28)≈0.9,所以不低于甲的成绩的人数约为2 000×(1-0.9)=200,所以甲大约排在第200名,所以甲能获得高薪职位.
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