2025人教A版高中数学选择性必修第三册强化练习题（含解析）--单元整合练　离散型随机变量的综合应用

中小学教育资源及组卷应用平台
2025人教A版高中数学选择性必修第三册
单元整合练　离散型随机变量的综合应用
1.(2024四川遂宁质检)已知随机变量ξ的分布列如下表所示,且满足E(ξ)=0,则D(ξ)=(　　)
ξ -1 0 2
P a b
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
2.(2024河北石家庄期末)在概率论和统计学中用协方差来衡量两个变量的总体误差,对于离散型随机变量X,Y,定义协方差为Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y),已知X,Y的分布列如下表所示,其中0X 1 2
P p 1-p
Y 1 2
P 1-p p
A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.4
3.(2024北京朝阳期中)将字母a,a,b,b,c,c放入3×2(3行2列)的表格中,每个格子放一个字母,若共有k行字母相同,则得k分,则所得分数ξ的均值为(　　)
A.
4.(2022浙江温州适应性考试)甲箱中装有编号分别为1,3,5的大小相同的小球,乙箱中装有编号分别为2,4的大小相同的小球.现从甲箱中任取一个小球,上面的数字用ξ1表示,从乙箱中任取一个小球,上面的数字用ξ2表示,记X=则(　　)
A.E(X)D(Y)
B.E(X)>E(Y),D(X)>D(Y)
C.E(X)>E(Y),D(X)=D(Y)
D.E(X)>E(Y),D(X)5.(多选题)(2024河北沧州期中)某游戏规则如下:一小球从数轴上的原点出发,通过扔骰子决定向左或者向右移动,扔出骰子,若是奇数点向上,则向左移动一个单位,若是偶数点向上,则向右移动一个单位,则扔出n次骰子后,下列结论正确的是(　　)
A.第二次扔完骰子后,小球位于原点处的概率为
B.第三次扔完骰子后,小球所在位置是个随机变量,则这个随机变量的期望是
C.第一次扔完骰子后小球位于-1对应的点处,且第五次扔完骰子后位于1对应的点处的概率为
D.第五次扔完骰子后,小球位于1对应的点处的概率大于小球位于3对应的点处的概率
6.某娱乐活动中共有5扇门,游戏者根据规则开门,并根据打开门的数量获取相应奖励.已知是否打开每扇门相互独立,且规则相同.打开门的规则是:从给定的6把钥匙(有且只有1把钥匙能打开门)中随机地逐把抽取钥匙进行试开,钥匙使用后不放回,若门被打开,则转为开下一扇门;若连续4次未能打开,则放弃这扇门,转为开下一扇门,直至5扇门都进行了试开,活动结束.设随机变量X为试开第一扇门所用的钥匙个数,则X的均值E(X)=　　　　,方差D(X)=　　　　　.
7.(2024江西师大附中期末)某市卫生防疫部门为了控制某种病毒的传染,提供了批号分别为1,2,3,4,5的五批疫苗,供全市所辖的A,B,C三个区市民接种,每个区均能从中任选一个批号的疫苗接种,记A,B,C三个区选择的疫苗批号的中位数为X,则X的期望是　　　　.
8.(2024陕西西安段考)在校运动会上,只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛,比赛成绩达到9.50 m以上(含9.50 m)的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主,收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩,并整理得到如下数据(单位:m):
甲:9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25;
乙:9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23;
丙:9.85,9.65,9.20,9.16.
假设用频率估计概率,且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率;
(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数,估计X的数学期望E(X);
(3)在校运动会铅球比赛中,甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大
9.(2024山东潍坊期末)某人从A地到B地有路程接近的2条路线可以选择,其中第一条路线上有n个路口,第二条路线上有m个路口.
(1)若n=2,m=2,第一条路线的每个路口遇到红灯的概率均为;第二条路线的第一个路口遇到红灯的概率为,第二个路口遇到红灯的概率为,从“遇到红灯次数的期望”考虑,哪条路线更好 请说明理由;
(2)已知随机变量Xi服从两点分布,且P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=pi,则EXi=pi,且EXi2=pipj(i,j=1,2,…,n).若第一条路线的第i个路口遇到红灯的概率为,则当选择第一条路线时,求遇到红灯次数的方差.
答案与分层梯度式解析
单元整合练　离散型随机变量的综合应用
1.A 2.A 3.B 4.C 5.AD
1.A　依题意得
则D(ξ)=(-1-0)2×=1.
2.A　由已知得XY的分布列为
XY 1 2 4
P p(1-p) p2+(1-p)2 p(1-p)
则E(XY)=1×p(1-p)+2×[p2+(1-p)2]+4×p(1-p)=-p2+p+2,
易得E(X)=2-p,E(Y)=p+1,
故Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=-p2+p+2-(2-p)(1+p)=0.故选A.
3.B　字母a,a,b,b,c,c放入3×2(3行2列)的表格中的不同结果有 =90 种,
随机变量 ξ 的可能值为 0,1,3,P(ξ=1)=,
P(ξ=3)=,P(ξ=0)=1-P(ξ=1)-P(ξ=3)=,
所以 ξ 的数学期望为 E(ξ)=0×.故选B.
4.C　如图,
故P(X=2)=,
∴E(X)=2×,
E(Y)=1×,
∴D(X)=,
D(Y)=,
∴E(X)>E(Y),D(X)=D(Y).故选C.
5.AD　扔出骰子,奇数点向上的概率为,偶数点向上的概率亦为.
对于选项A,若两次运动后,小球位于原点处,则小球在两次运动之中一定一次向左一次向右,
所以其概率为,因此A选项正确;
对于选项B,设这个随机变量为X,则X的可能取值为-3,-1,1,3,
且P(X=-3)=P(X=3),P(X=-1)=P(X=1),
所以X的期望E(X)=-3×P(X=-3)+3×P(X=3)+(-1)×P(X=-1)+1×P(X=1)=3[P(X=3)-P(X=-3)]+[P(X=1)-P(X=-1)]=0,因此B选项错误;
对于选项C,第一次扔完骰子后小球位于-1对应的点处,即第一次向左移动,第五次扔完骰子后位于1对应的点处,
则后续中小球向右移动3次,向左移动1次,所以所求概率为,因此C选项错误;
对于选项D,第五次扔完骰子后,小球位于1对应的点处,即小球2次向左3次向右运动,所以其概率P1=,
小球位于3对应的点处,即小球4次向右1次向左运动,所以其概率P2=,故P1>P2,因此D选项正确.
故选AD.
6.答案　3;
解析　由题意可知,随机变量X的可能取值为1,2,3,4,则P(X=1)=,
P(X=4)=,所以随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P
所以E(X)=1×.
7.答案　3
解析　由已知得X的所有可能取值为1,2,3,4,5,
可得P(X=1)=,
P(X=2)=,
P(X=3)=,
P(X=4)=,
P(X=5)=,
所以X的数学期望为E(X)=1×=3.
8.解析　(1)甲以往参加的10次比赛中,有4次比赛成绩达到获得优秀奖的标准,则甲得优秀奖的概率P=.
(2)随机变量X的可能取值为0,1,2,3,设甲、乙、丙获得优秀奖分别为事件A,B,C,则A,B,C,相互独立,且P(A)=,则P(X=0)=P()·P(,
故X的数学期望E(X)=0×.
(3)丙.
理由:乙夺冠的概率为P(乙)=,
丙夺冠的概率为P(丙)=,
甲夺冠的概率为P(甲)=1-,
P(丙)最大,所以丙夺冠的概率最大.
9.解析　(1)应选择第一条路线,理由如下:
设走第一、二条路线遇到的红灯次数分别为ξ1,ξ2,则ξ1的可能取值为0,1,2.
P(ξ1=0)=,
所以E(ξ1)=.
ξ2的可能取值为0,1,2,
P(ξ2=0)=,
所以E(ξ2)=.
由得,应选择第一条路线.
(2)设选择第一条路线时遇到的红灯次数为X,
所以E(X)=EXi=pi,
E(X2)=EXi2=pipj,
所以D(X)=E(X2)-(E(X))2=pipj-pi2=pipj-pipj=,
又因为pi=,所以D(X)=.
方法技巧　设随机变量Y的取值为Yi(i=1,2,3,…,n),其概率分别为qi,且qi=1,则D(Y)=·qi-2E(Y)·Yiqi+(E(Y))2·qi]=·qi-2E(Y)·(Yiqi)+(E(Y))2·qi=E(Y2)-(E(Y))2.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)