2025人教A版高中数学选择性必修第三册强化练习题（含解析）--第八章 成对数据的统计分析综合拔高练
文档属性
| 名称 | 2025人教A版高中数学选择性必修第三册强化练习题（含解析）--第八章 成对数据的统计分析综合拔高练 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 386.3KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-12-23 10:10:01 | ||
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文档简介
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2025人教A版高中数学选择性必修第三册
综合拔高练
五年高考练
考点1 变量的相关关系与一元线性回归模型
1.(2024天津,3)下列图中,相关系数最大的是( )
2.(2024上海,13)已知气候温度和海水表层温度相关,且相关系数为正数,对此描述正确的是( )
A.气候温度高,海水表层温度就高
B.气候温度高,海水表层温度就低
C.随着气候温度由低到高,海水表层温度呈上升趋势
D.随着气候温度由低到高,海水表层温度呈下降趋势
3.(2020全国Ⅰ理,5)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位:℃)的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(xi,yi)(i=1,2,…,20)得到下面的散点图:
由此散点图,在10 ℃至40 ℃之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是( )
A.y=a+bx B.y=a+bx2
C.y=a+bex D.y=a+bln x
4.(2022全国乙理,19)某地经过多年的环境治理,已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量,随机选取了10棵这种树木,测量每棵树的根部横截面积(单位:m2)和材积量(单位:m3),得到如下数据:
样本 号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
根部 横截 面积xi 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6
材积 量yi 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9
并计算得=1.615 8,xiyi=0.247 4.
(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量;
(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01);
(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积,并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186 m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.
附:相关系数r=≈1.377.
考点2 独立性检验及其应用
5.(2024上海,19)为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系,从该地区29 000名学生中抽取580人,得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示:
学业成绩 时间范围
[0, 0.5) [0.5, 1) [1, 1.5) [1.5, 2) [2, 2.5)
优秀 5 44 42 3 1
不优秀 134 147 137 40 27
(1)该地区29 000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数约为多少
(2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长(精确到0.1);
(3)是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关
附: χ2=,P(χ2≥3.841)≈0.05.
6.(2024全国甲理,17)某工厂进行生产线智能化升级改造.升级改造后,从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验,数据如下:
优级品 合格品 不合格品 总计
甲车间 26 24 0 50
乙车间 70 28 2 100
总计 96 52 2 150
(1)填写如下列联表:
优级品 非优级品
甲车间
乙车间
能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异 能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异
(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率p=0.5.设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率,如果,则认为该工厂产品的优级品率提高了.根据抽取的150件产品的数据,能否认为生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提高了 (≈12.247)
附:K2=,
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
.
7.(2023全国甲理,19)一项试验旨在研究臭氧效应,试验方案如下:选40只小白鼠,随机地将其中20只分配到试验组,另外20只分配到对照组,试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境,对照组的小白鼠饲养在正常环境,一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位:g).
(1)设X表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数,求X的分布列和数学期望;
(2)试验结果如下:
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8
26.5 27.5 30.1 32.6 34.3 34.8 35.6
35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5
18.0 18.8 19.2 19.8 20.2 21.6 22.8
23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
(i)求40只小白鼠体重的增加量的中位数m,再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数,完成如下列联表:
对照组
试验组
(ii)根据(i)中的列联表,能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异
附:K2=,
P(K2≥k) 0.100 0.050 0.010
k 2.706 3.841 6.635
.
8.(2022新高考Ⅰ,20)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组),得到如下数据:
不够良好 良好
病例组 40 60
对照组 10 90
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异
(2)从该地的人群中任选一人,A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”,B表示事件“选到的人患有该疾病”,的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标,记该指标为R.
(i)证明:R=;
(ii)利用该调查数据,给出P(A|B),P(A|)的估计值,并利用(i)的结果给出R的估计值.
附:K2=,
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
.
三年模拟练
应用实践
1.(2023江苏连云港灌南高级中学期中)设两个相关变量x和y分别满足下表:
x 1 2 3 4 5
y 1 2 8 8 16
若相关变量x和y可以用非线性经验回归方程来拟合,则当x=6时,y的估计值为( )
附:对于(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其经验回归方程u中,.
A.33 B.37 C.65 D.73
2.(2024浙江宁波期中)为了调查学生对物理、化学、生物的选考情况,从高三在物理、化学、生物三个科目中至少选考一科的学生中随机抽取100名学生进行调查,他们选考物理、化学、生物的科目数及人数统计如表:
选考物理、化学、生物的科目数 1 2 3
人数 20 40 40
(1)从这100名学生中任选2名,求他们选考物理、化学、生物科目数相等的概率;
(2)从这100名学生中任选2名,记X表示这2名学生选考物理、化学、生物的科目数之差的绝对值,求随机变量X的数学期望;
(3)学校还调查了这100位学生的性别情况,研究男女生中纯理科生大概的比例,得到的数据如下表:(定义同时选考物理、化学、生物三科的学生为纯理科生)
纯理科生 非纯理科生 总计
男生 30
女生 5
总计 100
请补齐表格,并说明依据小概率值α=0.05的独立性检验,能否认为是否同时选考物理、化学、生物三科与学生性别有关.
附:χ2=,其中n=a+b+c+d.
α 0.10 0.05 0.010 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 10.828
3.(2024黑龙江大庆质检)2023年5月18日至19日,中国-中亚峰会在陕西省西安市举办.多家外媒积极评价,认为这次峰会非常重要,中亚国家正在深化合作,共同致力于实现各国人民和平与繁荣.报道中指出“中国-中亚峰会致力于发展新能源绿色经济,符合中亚国家共同利益.”新能源汽车、电动汽车是重要的战略新兴产业,为了解某一地区电动汽车销售情况,一机构根据统计数据,得到表格如下:
月份 6月 7月 8月 9月 10月
月份代码x 1 2 3 4 5
产值y/亿元 16 20 23 31 40
(1)求电动汽车产值y(单位:亿元)关于月份x的经验回归方程;
(2)该机构随机调查了该地区100位购车车主的性别与购车种类,其中购买非电动汽车的男性有45人,女性有35人,购买电动汽车的男性有5人,女性有15人,请判断是否有95%的把握认为是否购买电动汽车与性别有关.
附:(xi-)(yi-;χ2=.
α 0.10 0.05 0.01
xα 2.706 3.841 6.635
4.(2024福建福州月考)某IT公司基于5G领先技术的支持,经济收入在短期内逐月攀升,该IT公司在某年1月至6月的经济收入y(单位:百万元)关于月份x的数据如下表所示,并根据数据绘制了如图所示的散点图.
月份x 1 2 3 4 5 6
经济收入y/百万元 6.6 8.6 16.1 21.6 33.0 41.0
(1)根据散点图判断y=ax+b与y=cedx(a,b,c,d均为常数)哪一个更适宜作为经济收入y关于月份x的回归方程类型;
(2)根据(1)中的结果及表中的数据,求出y关于x的经验回归方程,并预测该公司7月份的经济收入;(结果保留小数点后两位)
(3)从前6个月的经济收入中随机抽取2个,记经济收入超过20百万元的个数为X,求X的分布列和数学期望.
参考数据:
(xi -)2 (xi- ) (xi- ) e1.52 e2.66
3.50 21.15 2.85 17.50 125.35 6.73 4.57 14.30
其中u=ln y.
参考公式:对于一组数据(xi,vi)(i=1,2,3,…,n),其经验回归直线.
答案与分层梯度式解析
综合拔高练
五年高考练
1.A 2.C 3.D
高考风向
1.考查形式
本章是高考的常考内容,可以小题形式考查线性回归、独立性检验的相关概念,也可结合其他知识以解答题形式考查线性经验回归(非线性经验回归)方程的求法及其应用,独立性检验的综合运用.一般以“1小或1大”的方式考查,分值占10分左右.
2.考查内容
成对数据的统计相关性,一元线性回归模型及其应用,换元法解决一元非线性回归模型及其应用,列联表与独立性检验,相关系数判断线性相关关系的强弱,决定系数判断模型拟合效果的好坏.
3.作用地位
线性回归、独立性检验是概率统计中的重要内容,高考中一般单独考查,考题中通常蕴含对数据分析核心素养的考查.
1.A 观察题中4幅图可知,A选项的图中散点分布比较集中,且大致落在一条从左下角到右上角的直线附近,两变量呈明显的正相关关系,相关系数相比于其他3幅图更接近1.故选A.
2.C 成对数据相关分析中,若相关系数为正,则两变量之间正相关,即气候温度上升,海水表层温度上升,故C正确,D错误;相关系数体现的是两变量的变化趋势,不是相关数值,故A,B错误.故选C.
3.D 观察散点图可知,散点用光滑曲线连接起来后比较接近对数型函数的图象,故选D.
4.解析 (1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为=0.06(m2),平均一棵的材积量为=0.39(m3).
(2)样本相关系数r=
=
=
=≈0.97,
即该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数约为0.97.
(3)设这种树木的根部横截总面积为X m2,总材积量为Y m3,则,则Y==1 209,
所以该林区这种树木的总材积量的估计值为1 209 m3.
5.解析 (1)580人中体育锻炼时长不少于1小时的人数占比为,
故该地区29 000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数约为29 000×=12 500.
(2)该地区初中学生日均体育锻炼的时长约为××(1+27)=≈0.9 h.
(3)由题意可得2×2列联表如下:
单位:人
[1,2) 其他 合计
优秀 45 50 95
不优秀 177 308 485
合计 222 358 580
易得χ2=≈3.976>3.841.
∴有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关.
6.解析 (1)
优级品 非优级品
甲车间 26 24
乙车间 70 30
K2=
==4.687 5,
∵3.841<4.687 5<6.635,
∴有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异,没有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异.
(2)由题知=0.64,p=0.5,n=150,
p+1.65≈0.5+≈0.567.
∵0.64>0.567,∴,
∴可以认为生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提高了.
7.解析 (1)X的可能取值为0,1,2.
P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
∴X的分布列为
X 0 1 2
P
E(X)=0×=1.
(2)(i)m==23.4.
完成的列联表如下:
对照组 6 14
试验组 14 6
(ii)由(i)可得K2==6.4>3.841,
∴有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异.
8.解析 (1)由题中数据可知K2==24>6.635,
所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.
(2)(i)证明:因为R=,
且,
所以R=.
(ii)由题表中数据可知P(A|B)=,
所以R==6.
三年模拟练
1.B 令z=log2y,则z=bx+a.
由题意得=12+22+32+42+52=55,
所以-1×3=-0.8,所以=2x-0.8,
当x=6时,=25.2≈37.故选B.
2.解析 (1)记“所选取的2名学生选考物理、化学、生物科目数相等”为事件A,
则针对物理、化学、生物三科,两人选考科目数均为1的情况有种,
选考科目数均为2的情况有种,选考科目数均为3的情况有种,则P(A)=.
(2)由题意可知X的可能取值分别为0,1,2,
P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=.
则X的分布列为
X 0 1 2
P
故X的期望为E(X)=0×.
(3)由题意可得
纯理科生 非纯理科生 总计
男生 30 55 85
女生 10 5 15
总计 40 60 100
χ2=≈5.229>3.841,
所以依据小概率值α=0.05的独立性检验,我们认为是否同时选考物理、化学、生物三科与学生性别有关.
3.解析 (1)设所求经验回归方程为x,
由题表数据得=26,
∴=5.9,
∴=26-5.9×3=8.3,
故电动汽车产值y(单位:亿元)关于月份x的经验回归方程为=5.9x+8.3.
(2)根据题意,得2×2列联表如下:
单位:人
购买非电动汽车 购买电动汽车 合计
男性 45 5 50
女性 35 15 50
合计 80 20 100
χ2==6.25>3.841,
故有95%的把握认为是否购买电动汽车与性别有关.
4.解析 (1)根据散点图可知y=cedx更适宜作为经济收入y关于月份x的回归方程类型.
(2)对y=cedx两边同时取自然对数得ln y=ln c+dx.
由u=ln y,得u=ln c+dx,
≈0.38,
ln ≈2.85-0.38×3.50=1.52,
∴=1.52+0.38x,即ln =e1.52+0.38x=4.57×e0.38x.
令x=7,得=4.57×e2.66=4.57×14.30≈65.35,故预测该公司7月份的经济收入为65.35百万元.
(3)易知前6个月的经济收入中超过20百万元的有3个,
∴随机变量X的可能取值为0,1,2,
P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
故X的分布列为
X 0 1 2
P
故E(X)=0×=1.
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2025人教A版高中数学选择性必修第三册
综合拔高练
五年高考练
考点1 变量的相关关系与一元线性回归模型
1.(2024天津,3)下列图中,相关系数最大的是( )
2.(2024上海,13)已知气候温度和海水表层温度相关,且相关系数为正数,对此描述正确的是( )
A.气候温度高,海水表层温度就高
B.气候温度高,海水表层温度就低
C.随着气候温度由低到高,海水表层温度呈上升趋势
D.随着气候温度由低到高,海水表层温度呈下降趋势
3.(2020全国Ⅰ理,5)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位:℃)的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(xi,yi)(i=1,2,…,20)得到下面的散点图:
由此散点图,在10 ℃至40 ℃之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是( )
A.y=a+bx B.y=a+bx2
C.y=a+bex D.y=a+bln x
4.(2022全国乙理,19)某地经过多年的环境治理,已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量,随机选取了10棵这种树木,测量每棵树的根部横截面积(单位:m2)和材积量(单位:m3),得到如下数据:
样本 号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
根部 横截 面积xi 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6
材积 量yi 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9
并计算得=1.615 8,xiyi=0.247 4.
(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量;
(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01);
(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积,并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186 m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.
附:相关系数r=≈1.377.
考点2 独立性检验及其应用
5.(2024上海,19)为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系,从该地区29 000名学生中抽取580人,得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示:
学业成绩 时间范围
[0, 0.5) [0.5, 1) [1, 1.5) [1.5, 2) [2, 2.5)
优秀 5 44 42 3 1
不优秀 134 147 137 40 27
(1)该地区29 000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数约为多少
(2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长(精确到0.1);
(3)是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关
附: χ2=,P(χ2≥3.841)≈0.05.
6.(2024全国甲理,17)某工厂进行生产线智能化升级改造.升级改造后,从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验,数据如下:
优级品 合格品 不合格品 总计
甲车间 26 24 0 50
乙车间 70 28 2 100
总计 96 52 2 150
(1)填写如下列联表:
优级品 非优级品
甲车间
乙车间
能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异 能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异
(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率p=0.5.设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率,如果,则认为该工厂产品的优级品率提高了.根据抽取的150件产品的数据,能否认为生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提高了 (≈12.247)
附:K2=,
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
.
7.(2023全国甲理,19)一项试验旨在研究臭氧效应,试验方案如下:选40只小白鼠,随机地将其中20只分配到试验组,另外20只分配到对照组,试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境,对照组的小白鼠饲养在正常环境,一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位:g).
(1)设X表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数,求X的分布列和数学期望;
(2)试验结果如下:
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8
26.5 27.5 30.1 32.6 34.3 34.8 35.6
35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5
18.0 18.8 19.2 19.8 20.2 21.6 22.8
23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
(i)求40只小白鼠体重的增加量的中位数m,再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数,完成如下列联表:
试验组
(ii)根据(i)中的列联表,能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异
附:K2=,
P(K2≥k) 0.100 0.050 0.010
k 2.706 3.841 6.635
.
8.(2022新高考Ⅰ,20)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组),得到如下数据:
不够良好 良好
病例组 40 60
对照组 10 90
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异
(2)从该地的人群中任选一人,A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”,B表示事件“选到的人患有该疾病”,的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标,记该指标为R.
(i)证明:R=;
(ii)利用该调查数据,给出P(A|B),P(A|)的估计值,并利用(i)的结果给出R的估计值.
附:K2=,
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
.
三年模拟练
应用实践
1.(2023江苏连云港灌南高级中学期中)设两个相关变量x和y分别满足下表:
x 1 2 3 4 5
y 1 2 8 8 16
若相关变量x和y可以用非线性经验回归方程来拟合,则当x=6时,y的估计值为( )
附:对于(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其经验回归方程u中,.
A.33 B.37 C.65 D.73
2.(2024浙江宁波期中)为了调查学生对物理、化学、生物的选考情况,从高三在物理、化学、生物三个科目中至少选考一科的学生中随机抽取100名学生进行调查,他们选考物理、化学、生物的科目数及人数统计如表:
选考物理、化学、生物的科目数 1 2 3
人数 20 40 40
(1)从这100名学生中任选2名,求他们选考物理、化学、生物科目数相等的概率;
(2)从这100名学生中任选2名,记X表示这2名学生选考物理、化学、生物的科目数之差的绝对值,求随机变量X的数学期望;
(3)学校还调查了这100位学生的性别情况,研究男女生中纯理科生大概的比例,得到的数据如下表:(定义同时选考物理、化学、生物三科的学生为纯理科生)
纯理科生 非纯理科生 总计
男生 30
女生 5
总计 100
请补齐表格,并说明依据小概率值α=0.05的独立性检验,能否认为是否同时选考物理、化学、生物三科与学生性别有关.
附:χ2=,其中n=a+b+c+d.
α 0.10 0.05 0.010 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 10.828
3.(2024黑龙江大庆质检)2023年5月18日至19日,中国-中亚峰会在陕西省西安市举办.多家外媒积极评价,认为这次峰会非常重要,中亚国家正在深化合作,共同致力于实现各国人民和平与繁荣.报道中指出“中国-中亚峰会致力于发展新能源绿色经济,符合中亚国家共同利益.”新能源汽车、电动汽车是重要的战略新兴产业,为了解某一地区电动汽车销售情况,一机构根据统计数据,得到表格如下:
月份 6月 7月 8月 9月 10月
月份代码x 1 2 3 4 5
产值y/亿元 16 20 23 31 40
(1)求电动汽车产值y(单位:亿元)关于月份x的经验回归方程;
(2)该机构随机调查了该地区100位购车车主的性别与购车种类,其中购买非电动汽车的男性有45人,女性有35人,购买电动汽车的男性有5人,女性有15人,请判断是否有95%的把握认为是否购买电动汽车与性别有关.
附:(xi-)(yi-;χ2=.
α 0.10 0.05 0.01
xα 2.706 3.841 6.635
4.(2024福建福州月考)某IT公司基于5G领先技术的支持,经济收入在短期内逐月攀升,该IT公司在某年1月至6月的经济收入y(单位:百万元)关于月份x的数据如下表所示,并根据数据绘制了如图所示的散点图.
月份x 1 2 3 4 5 6
经济收入y/百万元 6.6 8.6 16.1 21.6 33.0 41.0
(1)根据散点图判断y=ax+b与y=cedx(a,b,c,d均为常数)哪一个更适宜作为经济收入y关于月份x的回归方程类型;
(2)根据(1)中的结果及表中的数据,求出y关于x的经验回归方程,并预测该公司7月份的经济收入;(结果保留小数点后两位)
(3)从前6个月的经济收入中随机抽取2个,记经济收入超过20百万元的个数为X,求X的分布列和数学期望.
参考数据:
(xi -)2 (xi- ) (xi- ) e1.52 e2.66
3.50 21.15 2.85 17.50 125.35 6.73 4.57 14.30
其中u=ln y.
参考公式:对于一组数据(xi,vi)(i=1,2,3,…,n),其经验回归直线.
答案与分层梯度式解析
综合拔高练
五年高考练
1.A 2.C 3.D
高考风向
1.考查形式
本章是高考的常考内容,可以小题形式考查线性回归、独立性检验的相关概念,也可结合其他知识以解答题形式考查线性经验回归(非线性经验回归)方程的求法及其应用,独立性检验的综合运用.一般以“1小或1大”的方式考查,分值占10分左右.
2.考查内容
成对数据的统计相关性,一元线性回归模型及其应用,换元法解决一元非线性回归模型及其应用,列联表与独立性检验,相关系数判断线性相关关系的强弱,决定系数判断模型拟合效果的好坏.
3.作用地位
线性回归、独立性检验是概率统计中的重要内容,高考中一般单独考查,考题中通常蕴含对数据分析核心素养的考查.
1.A 观察题中4幅图可知,A选项的图中散点分布比较集中,且大致落在一条从左下角到右上角的直线附近,两变量呈明显的正相关关系,相关系数相比于其他3幅图更接近1.故选A.
2.C 成对数据相关分析中,若相关系数为正,则两变量之间正相关,即气候温度上升,海水表层温度上升,故C正确,D错误;相关系数体现的是两变量的变化趋势,不是相关数值,故A,B错误.故选C.
3.D 观察散点图可知,散点用光滑曲线连接起来后比较接近对数型函数的图象,故选D.
4.解析 (1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为=0.06(m2),平均一棵的材积量为=0.39(m3).
(2)样本相关系数r=
=
=
=≈0.97,
即该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数约为0.97.
(3)设这种树木的根部横截总面积为X m2,总材积量为Y m3,则,则Y==1 209,
所以该林区这种树木的总材积量的估计值为1 209 m3.
5.解析 (1)580人中体育锻炼时长不少于1小时的人数占比为,
故该地区29 000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数约为29 000×=12 500.
(2)该地区初中学生日均体育锻炼的时长约为××(1+27)=≈0.9 h.
(3)由题意可得2×2列联表如下:
单位:人
[1,2) 其他 合计
优秀 45 50 95
不优秀 177 308 485
合计 222 358 580
易得χ2=≈3.976>3.841.
∴有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关.
6.解析 (1)
优级品 非优级品
甲车间 26 24
乙车间 70 30
K2=
==4.687 5,
∵3.841<4.687 5<6.635,
∴有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异,没有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异.
(2)由题知=0.64,p=0.5,n=150,
p+1.65≈0.5+≈0.567.
∵0.64>0.567,∴,
∴可以认为生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提高了.
7.解析 (1)X的可能取值为0,1,2.
P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
∴X的分布列为
X 0 1 2
P
E(X)=0×=1.
(2)(i)m==23.4.
完成的列联表如下:
试验组 14 6
(ii)由(i)可得K2==6.4>3.841,
∴有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异.
8.解析 (1)由题中数据可知K2==24>6.635,
所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.
(2)(i)证明:因为R=,
且,
所以R=.
(ii)由题表中数据可知P(A|B)=,
所以R==6.
三年模拟练
1.B 令z=log2y,则z=bx+a.
由题意得=12+22+32+42+52=55,
所以-1×3=-0.8,所以=2x-0.8,
当x=6时,=25.2≈37.故选B.
2.解析 (1)记“所选取的2名学生选考物理、化学、生物科目数相等”为事件A,
则针对物理、化学、生物三科,两人选考科目数均为1的情况有种,
选考科目数均为2的情况有种,选考科目数均为3的情况有种,则P(A)=.
(2)由题意可知X的可能取值分别为0,1,2,
P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=.
则X的分布列为
X 0 1 2
P
故X的期望为E(X)=0×.
(3)由题意可得
纯理科生 非纯理科生 总计
男生 30 55 85
女生 10 5 15
总计 40 60 100
χ2=≈5.229>3.841,
所以依据小概率值α=0.05的独立性检验,我们认为是否同时选考物理、化学、生物三科与学生性别有关.
3.解析 (1)设所求经验回归方程为x,
由题表数据得=26,
∴=5.9,
∴=26-5.9×3=8.3,
故电动汽车产值y(单位:亿元)关于月份x的经验回归方程为=5.9x+8.3.
(2)根据题意,得2×2列联表如下:
单位:人
购买非电动汽车 购买电动汽车 合计
男性 45 5 50
女性 35 15 50
合计 80 20 100
χ2==6.25>3.841,
故有95%的把握认为是否购买电动汽车与性别有关.
4.解析 (1)根据散点图可知y=cedx更适宜作为经济收入y关于月份x的回归方程类型.
(2)对y=cedx两边同时取自然对数得ln y=ln c+dx.
由u=ln y,得u=ln c+dx,
≈0.38,
ln ≈2.85-0.38×3.50=1.52,
∴=1.52+0.38x,即ln =e1.52+0.38x=4.57×e0.38x.
令x=7,得=4.57×e2.66=4.57×14.30≈65.35,故预测该公司7月份的经济收入为65.35百万元.
(3)易知前6个月的经济收入中超过20百万元的有3个,
∴随机变量X的可能取值为0,1,2,
P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
故X的分布列为
X 0 1 2
P
故E(X)=0×=1.
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