1.2 直角三角形的性质和判定（Ⅱ）-第1课时 勾股定理 同步分层练（含答案） 2024-2025学年数学湘教版八年级下册

1.2 直角三角形的性质和判定（Ⅱ）
第1课时 勾股定理
A组·基础达标 逐点击破
知识点 勾股定理
1．已知，，分别为的三边，,,的对应角分别为,,.下列说法错误的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．总有
2．如图，在中， ，，，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．如图，在的三边上，向外作三个正方形，其中两个的面积为，，则另一个的面积为（ ）
A．50 B．30 C．25 D．100
4．如图，在中，，是的平分线.已知，，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
5．如图①中，__；如图②中，__.
6．在中， ，且，，的对应边分别为，，.
（1） 已知，，求的长；
（2） 已知，，求的长；
（3） 已知，且，求，的长.
7．【数学文化】中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展.现用4个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”.在中， ，，，.求证：.
易错点 考虑不周全导致错误
8．若直角三角形的三边长分别为2，4，，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．或
B组·能力提升 强化突破
9．如图，以的三边为直径分别向外作半圆，若斜边，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．[2024眉山]【数学文化】如图，图①是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成.若图①中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图②，则图②中大正方形的面积为（ ）
A．24 B．36 C．40 D．44
11．[2024安徽]如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（ ）
A． B． C． D．
12．[2024甘孜州]如图，在中， ，，，折叠，使点与点重合，折痕与交于点，与交于点，则的长为____．
13．如图，在中， ， ，.
（1） 求与的长；
（2） 求的面积.
C组·核心素养拓展 素养渗透
14．【几何直观】如图，在中， ，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为.
（1） 求边的长；
（2） 当为直角三角形时，求的值.
1.2 直角三角形的性质和判定（Ⅱ）
第1课时 勾股定理
课堂导学
例题引路
【思路分析】已知 ，则是斜边，根据勾股定理计算即可.
例1 （1） 【规范解答】 ，，，
.
（2） 【规范解答】 ，，，
.
（3） 【规范解答】，
设，则.
，，
，
即，
解得（负值已舍去）.
，.
【思路分析】在直角三角形中，以两直角边为边的正方形的面积和等于以斜边为边的正方形的面积.
【规范解答】由勾股定理，得，
同理，，
.
例2 38
A组·基础达标 逐点击破
知识点 勾股定理
1．D 2．A 3．C 4．A
5．12； 30
6．（1） 解： ，，，
.
（2） ，，，
.
（3） , 设，则.
，，
，即.
解得（负值已舍去）.
，.
7．证明： 大正方形的面积为，直角三角形的面积为，小正方形的面积为，
.
.
易错点 考虑不周全导致错误
8．D
B组·能力提升 强化突破
9．C
10．D
[解析]如答图，设直角三角形的两直角边为，，斜边为.
第10题答图
图①中大正方形的面积是24，
，
小正方形的面积是4，
，
，
图②中大正方形的面积为.
故选D.
11．B
[解析]如答图，过点C作于点.
第11题答图
， ，，
，
，
，
，
.
故选B．
12．3
[解析]由折叠的性质，得，设，则，由勾股定理，得，，解得的长为3.
13．（1） 解：如答图，过点作于点.
，
.
.
,，
.
.
，
.
.
.
.
第13题答图
（2） .
C组·核心素养拓展 素养渗透
14．（1） 解：在中，由勾股定理，得
.
（2） 由题意，得，分以下两种情况：
①当 时，如答图①所示.
第14题答图①
则点与点重合，
，
;
②当 时，如答图②所示.
第14题答图②
则， .
在中，由勾股定理，得
，
在中，由勾股定理，得
，
，
即，解得.
综上所述，当为直角三角形时，的值为4或.