第2课时 平行四边形的判定定理3
课堂导学
例题引路
【思路分析】思路1：连接，交于点，通过证明，，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”得证.
思路2：通过证明，，得到，，再根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”得证.
思路3：先证明，得到，，进而得到，可证.再根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得证.
例 【规范解答】
证法1：如答图，连接，交 于点.
例题答图
四边形是平行四边形，
，.
，，
.
四边形是平行四边形.
证法 四边形是平行四边形，，，
.
，.
在和中，
，
.
同理，可证，
.
四边形是平行四边形.
（请同学们根据思路3完成证明过程）
A组·基础达标 逐点击破
知识点 对角线互相平分的四边形是平行四边形
1．B
2．或或
3．证明：，.
在和中，
,.
，分别是，的中点，
，，
.
又， 四边形是平行四边形.
4．证明： 四边形是平行四边形，
，.
是的中点，.
在和中，
，.
又,
四边形是平行四边形.
易错点 不能正确运用平行四边形的判定方法致错
5．B
B组·能力提升 强化突破
6．（1） 证明： 四边形是平行四边形，
，.
，
，
四边形是平行四边形.
（2） 解：，
.
四边形是平行四边形，
，，
.
7．（1） 解：答案不唯一，如：选取①②.
证明如下：
在和中，
.
（2） 证明：由（1）得，
，.
，，
四边形是平行四边形.
C组·核心素养拓展 素养渗透
8．（1） 证明： 四边形是平行四边形，
，.
又，，
.
，
，
即，.
（2） 如答图，连接，.
，.
又，
四边形是平行四边形.
与互相平分.
第8题答图2.2.2 平行四边形的判定
第1课时 平行四边形的判定定理1,2
课堂导学
知识梳理
1．相等
2．相等
例题引路
【思路分析】先证，从而得到，根据等角的补角相等可得，从而得到，再根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得证.
例1 【规范解答】
证明：在 和 中，
.
，
，
.
，
四边形 是平行四边形.
【思路分析】易证得，从而证得，同理可证，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”得证.
例2 【规范解答】
证明： 四边形 是平行四边形，
，.
又，.
在 和 中，
，
.
同理，可证.
四边形 是平行四边形.
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义法）
1．D
2．证明：，
.
又，
，
.
，，
四边形是平行四边形.
知识点2 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
3．证明： 四边形是平行四边形，
，.
，
，
即.
又，
四边形是平行四边形，
.
知识点3 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
4．130°
易错点 错误地认为“一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形”
5．B
B组·能力提升 强化突破
6．（1） ①或②
6．（1） 解：选择①或②，证明如下：
选择①，，
，
又，
四边形为平行四边形；
选择②，，，
，
又，,
四边形为平行四边形.
（2） 由（1）可知，四边形为平行四边形，
.
，
，
，
即线段的长为6．
7．（1） 解：如答图，即为所求作.
第7题答图
（2） 证明：如答图， 四边形是平行四边形，
，.
．
，.
，
．
.
在和中，
,.
，,
四边形是平行四边形．
第7题答图
C组·核心素养拓展 素养渗透
8．（1） 证明：为等边三角形，
， .
在和中，
.
（2） 由（1）知，，
，.
为等边三角形，
，且,
.
，
，
，
四边形是平行四边形.2.2.2 平行四边形的判定
第1课时 平行四边形的判定定理1,2
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义法）
1．[2023邵阳]如图，在四边形中，，若添加一个条件使得四边形为平行四边形，则下列选项中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．[2023宁夏]如图，已知，，分别是和上的点，.求证：四边形是平行四边形.
知识点2 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
3．[2023自贡]如图，在中，点，分别在边，上，且.求证：.
知识点3 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
4．如图，在四边形中，，， ，则____．
易错点 错误地认为“一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形”
5．如图，在四边形中，，要使四边形成为平行四边形，则应增加的条件是 （ ）
A． B．
C． D．
B组·能力提升 强化突破
6．[2024湖南]如图，在四边形中，，点在边上，____．
请从“；，”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：
（1） 求证：四边形为平行四边形；
（2） 若，，，求线段的长．
7．如图，在中，连接对角线，过点作于点．
（1） 用尺规完成以下基本作图：过点作的垂线，垂足为点（保留作图痕迹，不写作法）
（2） 在（1）问所作的图形中，连接，，求证：四边形是平行四边形．
C组·核心素养拓展 素养渗透
8．【几何直观，推理能力】如图，在等边中，，分别为，上的点，且，以为边作等边.求证：
（1） ；
（2） 四边形是平行四边形.第2课时 平行四边形的判定定理3
A组·基础达标 逐点击破
知识点 对角线互相平分的四边形是平行四边形
1．如图，小明以的两边和为邻边，用尺规作一个平行四边形.小明的做法是：先用尺规作的垂直平分线，垂足为；过点，作射线，在射线上截取.连接，.在小明的做法中，可直接判定四边形为平行四边形的依据是（ ）
第1题图
A．两组对边分别平行 B．对角线互相平分
C．两组对边分别相等 D．一组对边平行且相等
2．[2024济宁]如图，四边形的对角线，相交于点，，请补充一个条件：____________________________________________，使四边形是平行四边形．
第2题图
3．如图，，相交于点，，，，分别是，的中点.求证：四边形是平行四边形.
4．如图，在中，过的中点的直线分别交，的延长线于点，，连接，.求证：四边形是平行四边形.
易错点 不能正确运用平行四边形的判定方法致错
5．如图，在中，对角线，相交于点，，是对角线上的两点，给出下列四个条件：；；；.其中不能判定四边形是平行四边形的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
B组·能力提升 强化突破
6．[2023杭州]如图，的对角线，相交于点，点，在对角线上，且，连接，，，.
（1） 求证：四边形是平行四边形；
（2） 若的面积等于2，求的面积.
7．如图，在四边形中，对角线，相交于点，点，分别在，上.
（1） 给出以下条件：；；.请你从中选取两个条件证明；
（2） 在（1）条件中你所选条件的前提下，添加，求证：四边形是平行四边形.
C组·核心素养拓展 素养渗透
8．. 【几何直观，推理能力】如图，在中，点，在上，且，点，分别在，上，且，与相交于点.求证：
（1） ；
（2） 与互相平分.
