2.7 正方形
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 正方形的性质
1．矩形、菱形、正方形都具有的性质是 （ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．每一条对角线平分一组对角
2．如图，在正方形的外侧，作等边，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，四边形是正方形，点在对角线上，且，则的度数为____________.
第3题图
4．[2024兰州]如图，四边形为正方形，为等边三角形，于点.若，则____．
第4题图
知识点2 正方形的判定
5．.已知菱形，添加下列条件不能判定菱形为正方形的是 （ ）
A． B． C． D．
6．如图，已知矩形，添加下列条件能使矩形成为正方形的是 （ ）
A． B． C． D．
7．如图,四边形是矩形,是上的一点,,,求证:四边形是正方形.
B组·能力提升 强化突破
8．[2023广西]如图，在边长为2的正方形中，，分别是，上的动点，，分别是，的中点，则的最大值为______.
9．如图，已知菱形，，是对角线所在直线上的两点，且 ，，连接，，，，得到四边形.
（1） 求证：四边形是正方形；
（2） 若，，求菱形的面积.
10．[2023绍兴]如图，在正方形中，是对角线上的一点（与点，不重合），，，点，分别为垂足.连接，，并延长交于点.
（1） 求证：；
（2） 判断与是否垂直，并说明理由.
C组·核心素养拓展 素养渗透
11．【推理能力，创新意识】如图，在中，，分别是，的中点，，，是对角线的四等分点，顺次连接点，，，.
（1） 求证：四边形是平行四边形.
（2） 若，判断四边形的形状，并给出证明.
（3） 由（2）的条件下，当，满足什么关系时，四边形是正方形？并说明理由.2.7 正方形
课堂导学
例题引路
【思路分析】由菱形的性质易知，依据“”证明；
例 （1） 【规范解答】证明： 四边形 是菱形，
，.
,分别为,的中点，
.
在 和 中，
.
【思路分析】由三角形中位线定理和已知可得，证出四边形是菱形，再证出 即可得证.
（2） 【规范解答】
解： ，，分别为，，的中点，
,，，，.
,
，
四边形 是菱形.
，，,
.
四边形 是正方形.
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 正方形的性质
1．C 2．B
3．
4．2
知识点2 正方形的判定
5．B 6．D
7．证明:,
.
在和中,
,
.
又 四边形是矩形,
四边形是正方形.
B组·能力提升 强化突破
8．
9．（1） 证明：如答图，连接交于点.
第9题答图
四边形是菱形，
，，.
，
，
即，
与垂直且互相平分，
四边形是菱形，
.
又 ，
,
四边形是正方形.
（2） 解：，，
，
.
由（1）知，四边形是正方形，
,
.
10．（1） 证明：在正方形中，，，
，
.
（2） 解：.理由如下:
如答图，连接交于点.
第10题答图
是正方形的对角线，
.
又，，
，
.
在正方形中， ，
又，，
四边形是矩形，
，
，
.
由（1）知，，
，
，
，
.
C组·核心素养拓展 素养渗透
11．（1） 证明：如答图，连接.
第11题答图
四边形是平行四边形，，分别是，的中点，，，是对角线的四等分点，
是对角线，的交点，
.
又是的中点，
是的中位线，
，.
同理，可证，.
，，
四边形是平行四边形.
（2） 解：四边形是矩形.证明如下：
连接（图略）
四边形是平行四边形，，分别是，的中点，
.
，,,是对角线的四等分点,
，
.
由（1）知，四边形是平行四边形，
四边形是矩形.
（3） 解：当时，四边形是正方形.理由如下：
由（2）知，当时，四边形是矩形.
，，
，
四边形是正方形.
