2025人教A版高中数学选择性必修第三册强化练习题（含解析）--第七章　随机变量及其分布

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2025人教A版高中数学选择性必修第三册
第七章　随机变量及其分布
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知随机变量X的分布列为
X 4 8 10
P 0.3 0.6 0.1
则D(X)=(　　)
A.7　　　　B.5　　　　C.4.8　　　　D.4.2
2.已知随机变量X的分布列为P(X=n)=(n=1,2,3,4),其中a是常数,则P=(　　)
A.
3.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立,设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,D(X)=2.4,P(X=4)A.0.7　　　　B.0.6　　　　C.0.4　　　　D.0.3
4.小张、小王两家计划国庆节期间去辽宁游玩,他们分别从“丹东凤凰山,鞍山千山,本溪水洞,锦州笔架山,盘锦红海滩”这五个景点中随机选择一个游玩,记事件A:“两家至少有一家选择丹东凤凰山”,事件B:“两家选择的景点不同”,则概率P(B|A)=(　　)
A.
5.某段时间,学校进行网上授课,某中学参加网课的100名同学每天的学习时间ξ(单位:小时)服从正态分布N(9,1),则这些同学中每天学习时间超过10小时的人数估计为(　　)
附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)≈0.682 6,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)≈0.954 4.
A.12　　　　B.16　　　　C.30　　　　D.32
6.已知X~B(n,p),若4P(X=2)=3P(X=3),则p的最大值为(　　)
A.
7.甲、乙两人进行乒乓球比赛,采用三局两胜的比赛制度,规定每局比赛都没有平局(必须分出胜负),若每一局甲赢的概率都是p,且0A.E(X)=
C.D(X)>
8.为了提升全民身体素质,学校十分重视学生的体育锻炼.某校一位篮球运动员进行投篮练习,若他前一球投进,则他后一球投进的概率为,若他前一球投不进,则他后一球投进的概率为.若他第1个球投进的概率为,则他第4个球投进的概率为(　　)
A.
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.某工厂加工一种零件,有两种不同的工艺选择,用这两种工艺加工一个零件所需时间t(单位:小时)均近似服从正态分布,用工艺1加工一个零件所用时间X~N(μ1,),用工艺2加工一个零件所用时间Y~N(μ2,),X,Y的正态曲线如图,则下列结论正确的是(　　)
A.μ1<μ2,
B.若加工时间只有a个小时,应选择工艺2
C.若加工时间只有c个小时,应选择工艺2
D. t0∈(b,c),P(XP(Y10.已知袋中有除颜色外完全相同的2个黑球和8个红球,现从中随机取出3个球,记其中黑球的数量为X,红球的数量为Y,则以下说法正确的是　(　　)
A.P(X=1)>P(Y=2)　　　　B.P(Y=2)=P(Y=3)
C.E(Y)=4E(X)　　　　D.D(X)=D(Y)
11.一个不透明的箱子中装有5个小球,其中白球3个,黑球2个,小球除颜色不同外,材质大小全部相同,现投掷一枚质地均匀的硬币,若硬币正面朝上,则从箱子里抽出一个小球且不再放回;若硬币反面朝上,则不抽取小球;重复该试验,直至小球全部取出,假设试验开始时,试验者手中没有任何小球,下列说法正确的有(　　)
A.经过两次试验后,试验者手中恰有1个白球1个黑球的概率为
B.若第一次试验抽到一个黑球,则第二次试验后,试验者手中有黑、白球各1个的概率为
C.经过7次试验后试验停止的概率为
D.经过7次试验后试验停止的概率最大
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.某同学在一次考试中,8道单选题中有6道有思路,2道没思路,有思路的有90%的可能性做对,没思路的有25%的可能性做对,则他在这8道题中随意选择一道题,做对的概率是　　　　.
13.甲、乙两个盒子中分别装有大小、形状完全相同的三个小球,且均各自标号为1,2,3,分别从两个盒子中随机取一个球,用X表示两球上的数字之积,则D(2X-1)=　　　　.
14.某项比赛中,参赛选手甲、乙进入了半决赛,半决赛采用五局三胜制,当选手甲、乙两位中有一位赢得三局比赛时,该选手就晋级决赛且比赛结束.每局比赛必须分出胜负,且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响.假设甲在任一局赢球的概率均为p(0≤p≤1),比赛局数的期望值记为f(p),则f(p)的最大值是　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)某地举行象棋比赛,淘汰赛阶段的比赛规则是:两人一组,先胜一局者进入复赛,败者淘汰.比赛双方首先进行一局慢棋比赛,若和棋,则加赛快棋;若连续两局快棋都是和棋,则再加赛一局超快棋,超快棋只有胜与负两种结果.在甲与乙的比赛中,甲慢棋胜与和的概率分别为,快棋胜与和的概率均为,超快棋胜的概率为,且各局比赛相互独立.
(1)求甲恰好经过三局进入复赛的概率;
(2)记淘汰赛阶段甲与乙比赛的局数为X,求X的分布列及数学期望.
16.(15分)在某次运动会中,某运动队拟派出甲、乙、丙三人去参加自由式滑雪.比赛分为初赛和决赛,其中初赛有两轮,只有两轮都获胜才能进入决赛.已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为;乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为;丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是p和-p,其中0(1)甲、乙、丙三人中,谁进入决赛的可能性最大
(2)若甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为,求p的值;
(3)在(2)的条件下,设进入决赛的人数为ξ,求ξ的分布列.
17.(15分)为评估设备M生产某种零件的性能,从设备M生产零件的流水线上随机抽取100个零件作为样本,测量其直径后,整理得到下表:
直径 /mm 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 合计
件数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 100
经计算,样本的平均值μ=65,标准差σ=2.2,以频率作为概率.
(1)为评估设备M的性能,从该设备加工的零件中任意抽取一件,记其直径为X,并根据以下不等式进行评估(P表示相应事件的概率);
P(μ-σ≤X≤μ+σ)≥0.682 7(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≥0.954 5(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≥0.997 3.
评估规则为:若同时满足上述三个不等式,则设备等级为甲;若仅满足其中两个,则设备等级为乙;若仅满足其中一个,则设备等级为丙;若全部不满足,则设备等级为丁,试判断设备M的性能等级;
(2)将直径小于或等于μ-2σ或直径大于μ+2σ的零件认为是次品.
①从设备M的生产流水线上随意抽取2个零件,记其中次品的个数为Y,求Y的数学期望E(Y);
②从样本中随意抽取2个零件,记其中次品的个数为Z,求Z的分布列.(答案用分数表示,要画表格)
18.(17分)某中学食堂每天都会提供A,B两种套餐供学生选择(学生只能选择其中的一种),经过统计分析发现:学生第一天选择A套餐的概率为,选择B套餐的概率为,而前一天选择了A套餐的学生第二天选择A套餐的概率为,选择B套餐的概率为;前一天选择了B套餐的学生第二天选择A套餐的概率为,选择B套餐的概率也是,如此往复.记同学甲第n天选择B套餐的概率为Pn.
(1)求同学甲第二天选择B套餐的概率;
(2)证明:数列为等比数列;
(3)从该校所有学生中随机抽取100名学生,记X为这100名学生中第二天选择A套餐的人数,用P(X=k)表示这100名学生中恰有k名学生选择A套餐的概率,求P(X=k)取最大值时对应的k的值.
19.(17分)某商场周年庆进行大型促销活动,为吸引消费者,特别推出“玩游戏,送礼券”的活动,活动期间在商场消费达到一定金额的人可以参加游戏,游戏规则如下:在一个盒子里放着六枚硬币,其中有三枚正常的硬币,一面印着字,一面印着花;另外三枚硬币是特制的,有两枚双面都印着字,一枚双面都印着花,规定印着字的面为正面,印着花的面为反面.游戏者蒙着眼睛随机从盒子中抽取一枚硬币并连续投掷两次,由工作人员告知投掷的结果,若两次投掷向上的面都是正面,则进入最终挑战,否则游戏结束.最终挑战的方式是进行第三次投掷,有两个方案可供选择:方案一,继续投掷之前抽取的那枚硬币;方案二,不使用之前抽取的硬币,从盒子里剩余的五枚硬币中随机抽取一枚投掷.不管选择方案一还是方案二,若掷出正面向上,则获奖.
(1)求第一次投掷后,向上的面为正面的概率;
(2)若已知某顾客进入了最终挑战,求他抽到的硬币是正常硬币的概率;
(3)在已知某顾客进入了最终挑战环节的条件下,试分别计算他选择两种挑战方案最终获奖的概率,并以此判断应该选择哪种挑战方案更合适.
答案与解析
第七章　随机变量及其分布
1.D 2.A 3.B 4.D 5.B 6.B
7.D 8.B 9.AC 10.BCD 11.AB
1.D　由已知得E(X)=4×0.3+8×0.6+10×0.1=7,
∴D(X)=(4-7)2×0.3+(8-7)2×0.6+(10-7)2×0.1=4.2.故选D.
2.A　由题意得=1,解得a=.
所以P.故选A.
3.B　由题意得X~B(10,p).因为D(X)=2.4,所以10p·(1-p)=2.4,解得p=0.6或p=0.4.因为P(X=4)0.5,所以p=0.6.故选B.
4.D　根据题意,得P(,
所以P(A)=1-P(,
又P(AB)=,
所以P(B|A)=.故选D.
5.B　学生每天的学习时间ξ(单位:小时)服从正态分布N(9,1),则μ=9,σ2=1,即σ=1,
P(ξ>10)=0.5-P(8≤ξ≤10)≈0.5-×0.682 6=0.158 7,
则这些同学中每天学习时间超过10小时的人数估计为100×0.158 7=15.87≈16.故选B.
6.B　∵4P(X=2)=3P(X=3),∴4p3(1-p)n-3,
整理得4(1-p)=(n-2)p,即p=,又∵n∈N*,且n≥3,∴p≤,
∴p的最大值为.故选B.
7.D　随机变量X的可能取值为2,3,
P(X=2)=p2+(1-p)2=2p2-2p+1,
P(X=3)=p(1-p)(1-p)=2p-2p2,
故E(X)=2(2p2-2p+1)+3(2p-2p2)=-2p2+2p+2=-2,因为0D(X)=E(X2)-(E(X))2=4(2p2-2p+1)+9(2p-2p2)-(-2p2+2p+2)2,
令t=2p-2p2=-2,因为08.B　设该篮球运动员投进第(n-1)(n≥2,n∈N*)个球的概率为Pn-1,则他投进第n个球的概率为Pn=Pn-1,
∴Pn-为公比的等比数列,
∴Pn-(n∈N*),∴P4=.故选B.
9.AC　对于A,由X~N(μ1,,无法判断两者的大小,所以D错误.故选AC.
10.BCD　由题意得X+Y=3,X的可能取值为0,1,2,则P(X=0)=P(Y=3)=,所以E(Y)=4E(X),故A错误,B、C正确;
易知Y=3-X,所以D(Y)=(-1)2D(X)=D(X),故D正确.故选BCD.
11.AB　记事件E=“一次试验硬币正面朝上”,则,
从箱子中不放回地抽球,记Ai=“第i次抽到白球”,Bi=“第i次抽到黑球”,Ci=“第i次硬币正面朝上且抽到白球”,Di=“第i次硬币正面朝上且抽到黑球”.
对于A,P(C1)=P(A1E)=P(E)P(A1|E)=,
经过两次试验后,试验者手中恰有1个白球1个黑球的概率为P(C1D2+D1C2)=P(C1D2)+P(D1C2)=P(C1)P(D2|C1)+P(D1)P(C2|D1)
=,A正确;
对于B,第一次抽到黑球后,第二次抽到白球的概率为P(C2|D1)=,B正确;
对于C,试验7次结束,则前6次有4次硬币正面朝上,且第7次硬币正面朝上,则其概率为,C错误;
对于D,设试验n次后试验停止的概率为Pn,则n≥5,Pn=,
不妨设Pn最大,则解得8≤n≤9,又n∈N*,n≥5,所以n=8或n=9,
所以经过8次或9次试验后试验停止的概率最大,D错误.故选AB.
12.答案　
解析　设事件A表示“该同学答对”,设事件B表示“该同学选到有思路的题”,则P(B)=,则P(A)=P(B)P(A|B)+P(,
故他在这8道题中随意选择一道,做对的概率为.
13.答案　
解析　X的可能取值为1,2,3,4,6,9,
P(X=1)=,
所以E(X)=1×=4,
所以D(X)=(1-4)2×,
所以D(2X-1)=4D(X)=4×.
14.答案　
解析　设比赛局数为X,则X的可能取值为3,4,5,
则P(X=3)=p3+(1-p)3,P(X=4)=p2(1-p)2,
∴f(p)=3[p3+(1-p)3]+4[p2(1-p)2=6p4-12p3+3p2+3p+3,
所以f '(p)=24p3-36p2+6p+3=3(2p-1)(4p2-4p-1),0≤p≤1,
易知函数y=4p2-4p-1的图象的对称轴方程为p=,
当p=0时,y=-1<0,当p=1时,y=-1<0,所以4p2-4p-1<0,
令f '(p)>0,得0≤p<;令f '(p)<0,得故函数f(p)在上单调递增,在上单调递减,
所以f(p)max=f,即f(p)的最大值为.
15.解析　(1)若甲恰好经过三局进入复赛,则甲前两局和棋,最后一局胜,所以所求概率P=.(4分)
(2)由题意得,乙慢棋胜的概率为,快棋胜的概率为,超快棋胜的概率为.(6分)
X的可能取值为1,2,3,4,(7分)
P(X=1)=,
P(X=2)=,
P(X=3)=,
P(X=4)=.
∴X的分布列为
X 1 2 3 4
P
(11分)
E(X)=1×.(13分)
16.解析　(1)甲在初赛的两轮中均获胜的概率P1=,(1分)
乙在初赛的两轮中均获胜的概率P2=,(2分)
丙在初赛的两轮中均获胜的概率P3=p·p,(3分)
∵,(4分)
∴甲进入决赛的可能性最大.(5分)
(2)甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率P=P1×P2×(1-P3)+P1P3(1-P2)+P2P3(1-P1)
=,
解得P3=,(8分)
由-p2+,得p=或p=,
∵.(10分)
(3)由题意可得,ξ的所有可能取值为0,1,2,3,(11分)
由(1)(2)知P3=,故P(ξ=0)=,(12分)
P(ξ=1)=,(13分)
P(ξ=2)=,
P(ξ=3)=,(14分)
故ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
(15分)
17.解析　(1)由已知得μ-σ=62.8,μ+σ=67.2,μ-2σ=60.6,μ+2σ=69.4,μ-3σ=58.4,μ+3σ=71.6,(1分)
所以由题表中数据可得P(μ-σ≤X≤μ+σ)=P(62.8≤X≤67.2)=0.8≥0.682 7,(2分)
P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)=P(60.6≤X≤69.4)=0.94<0.954 5,(3分)
P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)=P(58.4≤X≤71.6)=0.98<0.997 3,(4分)
因为题表数据仅满足一个不等式,故其性能等级为丙.(5分)
(2)直径小于或等于μ-2σ的零件有2件,大于μ+2σ的零件有4件,共计6件,故样本中次品共6件,可估计设备M生产零件的次品率为0.06.(7分)
①依题意得,Y~B(2,0.06),E(Y)=2×0.06=0.12. (10分)
②由题意可知Z服从超几何分布,Z的可能取值为0,1,2, (11分)
P(Z=0)=,(14分)
所以Z的分布列为
Z 0 1 2
P
(15分)
18.解析　(1)设B1=“第1天选择B套餐”,B2=“第2天选择B套餐”,则=“第1天选择A套餐”.
根据题意得P(B1)=,(2分)
由全概率公式,得P(B2)=P(B1)P(B2|B1)+P(,
即同学甲第二天选择B套餐的概率为.(5分)
(2)证明:设Bn=“第n天选择B套餐”,则Pn=P(Bn),P()=1-Pn,
根据题意得P(Bn+1|Bn)=,(7分)
由全概率公式得Pn+1=P(Bn+1)=P(Bn)P(Bn+1|Bn)+P(, (9分)
因此Pn+1-,(11分)
因为P1-≠0,所以是以-为首项,-为公比的等比数列.(12分)
(3)第二天选择A套餐的概率PA=,(13分)
易知X~B,故P(X=k)=,k=0,1,2,…,100,(14分)
当P(X=k)取最大值时,
有
即(16分)
解得32≤k≤33,又k∈N,所以k=33.(17分)
19.解析　设第一次抽到正常硬币为事件A,抽到双面都印着字的硬币为事件B,抽到双面都印着花的硬币为事件C,第一次掷出正面向上为事件M1,第二次掷出正面向上为事件M2,选择方案一进行第三次投掷且正面向上为事件M3,选择方案二进行第三次投掷且正面向上为事件N3,则P(A)=.
(1)由全概率公式可得,P(M1)=P(A)·P(M1|A)+P(B)·P(M1|B)+P(C)·P(M1|C)=.
因此第一次投掷后,向上的面为正面的概率为.(3分)
(2)由题意知,连续两次都是正面向上的概率为P(M1M2)=P(A)P(M1M2|A)+P(B)P(M1M2|B)+P(C)P(M1M2|C)=,(5分)
所以P(A|M1M2)=.(7分)
因此他抽到的硬币是正常硬币的概率为.(8分)
(3)若选择方案一,设“该顾客选择方案一且最终获奖”为事件S,则P(S)=P(M3|M1M2),
P(M3|M1M2)==
=,因此P(S)=.(10分)
若选择方案二,设“该顾客选择方案二且最终获奖”为事件T,
分第一次抽到正常硬币、第一次抽到两面都是字的硬币两种情况讨论:
①如果第一次抽到的是正常硬币,设此时获奖为事件T1,第二次抽到正常硬币为事件HA,第二次抽到两面都是字的硬币为事件HB,第二次抽到两面都是花的硬币为事件HC,
则T1=(M1M2A)N3,
又P(M1M2A)=P(M1M2|A)P(A)=,
P(N3)=P(N3|HA)P(HA)+P(N3|HB)P(HB)+P(N3|HC)P(HC)=,
因此P(T1)=P((M1M2A)N3)=P(M1M2A)P(N3)=.(13分)
②如果第一次抽到的是两面都是字的硬币,设此时获奖为事件T2,第二次抽到正常硬币为事件KA,第二次抽到两面都是字的硬币为事件KB,第二次抽到两面都是花的硬币为事件KC,同理可得P(T2)=P(B)P(M1M2|B)[P(KA)P(N3|KA)+P(KB)P(N3|KB)+P(KC)P(N3|KC)]=×1××0=,
所以P(M1M2N3)=P(T1)+P(T2)=,
因此P(N3|M1M2)=,所以P(T)=,(16分)
综上所述,P(S)>P(T),所以选择方案一更适合.(17分)
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