4.5 一次函数的应用
第1课时 一次函数在实际生活中的应用
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 利用一次函数解决分段函数问题
1．使用手机打国内长途电话，一种计费标准为：通话时间在以内话费2元，超过后的话费如图所示.设通话时间为，需付电话费为（元）.根据图中与的变化图象，可知该种计费方式通话需付电话费为（ ）
第1题图
A．8元 B．9元 C．10元 D．12元
2．辽宁省丹东市今年“九九草莓”喜获丰收，元旦当天A超市进行“九九草莓”优惠促销活动，“九九草莓”销售金额（元）与销售量之间的关系如图所示．
第2题图
（1） 当时，求销售金额（元）与销售量之间的函数表达式；
（2） B超市“九九草莓”的标价为80元/，元旦当天也进行优惠促销活动，按标价的九折销售，若购买“九九草莓”，通过计算说明在哪个超市购买更划算．
知识点2 利用一次函数解决双函数关系问题
3．[2023武汉]我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之.问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程（步）关于善行者的行走时间的函数图象，则两图象交点的纵坐标是____.
4．某手工作坊生产并销售某种食品，假设销售量与产量相等，如图中的线段，分别表示每天生产成本（元），收入（元）与产量之间的函数关系.若该手工作坊某一天既不赢利也不亏损，则这天的产量是__.
B组·能力提升 强化突破
5．[2023长春]甲、乙两人相约登山，他们同时从入口处出发，甲步行登山到山顶，乙先步行到缆车站，再乘坐缆车直达山顶.甲、乙距山脚的垂直高度与甲登山的时间之间的函数图象如图所示.
（1） 当时，求乙距山脚的垂直高度与之间的函数表达式；
（2） 求乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度.
6．[2023丽水]某市“共富工坊”问海借力，某公司产品销售量得到大幅提升.为促进生产，公司提供了两种付给员工月报酬的方案，如图所示，员工可以任选一种方案与公司签订合同.看图解答下列问题：
（1） 直接写出员工生产多少件产品时，两种方案付给的报酬一样多.
（2） 求方案二中关于的函数表达式.
（3） 如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的生产能力选择方案
C组·核心素养拓展 素养渗透
7．[2024长春]【应用意识】区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为．汽车在区间测速路段行驶的路程与在此路段行驶的时间之间的函数图象如图所示．
（1） 的值为________；
（2） 当时，求与之间的函数表达式；
（3） 通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过）第3课时 一次函数与二元一次方程的关系
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 一次函数与二元一次方程的关系
1．下列图象中，由以二元一次方程的解为坐标的点组成的是（ ）
A． B．
C． D．
知识点2 一次函数与一元一次方程的关系
2．[2024青海]如图，一次函数的图象与轴相交于点，则点关于轴的对称点是（ ）
第2题图
A． B． C． D．
3．[2024扬州]如图，已知一次函数的图象分别与轴、轴交于，两点，若，，则关于的方程的解为__________．
第3题图
4．利用函数图象，解方程.
B组·能力提升 强化突破
5．[2024广东]已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，已知函数与函数的图象交于点，则不等式的解集是________.
7．如图,直线与直线相交于点.
（1） 的值是____.
（2） 不解关于,的方程组直接写出它的解是________________________________________.
（3） 直线是否也经过点 请说明理由.
C组·核心素养拓展 素养渗透
8．【运算能力】如图，直线与坐标轴相交于点，.
（1） 直线的表达式为________________；
（2） 根据图象，写出不等式的解集是________；
（3） 若点在轴上，且点到直线的距离为，请直接写出符合条件的点的坐标.第2课时 用一次函数进行预测
课堂导学
知识梳理
一次函数； 不可靠的
例题引路
【思路分析】利用待定系数法即可求得函数表达式.
例 （1） 【规范解答】如答图.
例题答图
由图象猜想 与 之间满足一次函数关系.设经过，两点的直线为，
则 解得
.
当 时，；
当 时，.
点，都在一次函数 的图象上.
与 之间的一次函数的表达式为.
【思路分析】彩纸链的长度应该大于或等于教室天花板的对角线长，根据条件就可以得到不等式，从而求解.
（2） 【规范解答】.由题意，得，解得.
每根彩纸链至少要用59个纸环.
A组·基础达标 逐点击破
知识点 建立一次函数模型解决预测类型问题
1．B
2．
3．（1） 解：设.代入,的坐标,得
解得
.
（2） 当时，.
预测成绩为.
（3） 不能.理由如下：远离已知数据进行预测是不可靠的（答案不唯一，合理即可）.
B组·能力提升 强化突破
4．（1） 解：如答图所示．
第4题答图
（2） 根据图象，得是关于的正比例函数，
设函数表达式为．
把的坐标代入，得．
解得．
关于的函数表达式为．
（3） 当时，
.
答：这种漏水状态下一天的漏水量约有.
C组·核心素养拓展 素养渗透
5．（1） 解：如答图所示.
第5题答图
（2） 由表格数据可知，脚长每增加，身高增加， 身高和脚长之间可尝试建立一次函数模型.设,
将点,的坐标分别代入，得
解得
.
当时，;
当时，;
当时，;
当时，.
身高和脚长之间可建立一次函数模型，且.
（3） 当时，，
估计这个人的身高是.第3课时 一次函数与二元一次方程的关系
课堂导学
知识梳理
1．坐标； 一个解
2．横坐标
例题引路
【思路分析】将，为常数，转换成，为常数，，找出直线与坐标轴的交点坐标，即可确定以方程的解组成的图象.
例1 B
【思路分析】方程的解就是函数的图象与轴交点的横坐标.
例2 【规范解答】函数图象如答图所示.从函数图象看，直线 与 轴的交点是，
方程 的解为.
例2答图
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 一次函数与二元一次方程的关系
1．C
知识点2 一次函数与一元一次方程的关系
2．A
3．
4．解：描点、连线，得一次函数的图象，如答图所示.
第4题图
由答图可知，直线与轴的交点坐标为，
是方程的解.
B组·能力提升 强化突破
5．B
6．
7．（1） 2
（2）
（3） 解:直线也经过点.理由如下:
点在直线上,
.
对于直线,当时,,
直线也经过点.
C组·核心素养拓展 素养渗透
8．（1）
（2）
（3） 解：如答图，过点作于点.
第8题答图
，， ，
.
，
.
点的坐标是.
在轴上作点关于点的对称点为，易得到直线的距离也为.
综上所述，点的坐标是或.
-5-4-3-2-1
1234方方
3
X
L
-12第2课时 用一次函数进行预测
A组·基础达标 逐点击破
知识点 建立一次函数模型解决预测类型问题
1．如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距.根据人体构造学的研究成果表明，一般情况下，人的身高是指距的一次函数.下表是测得的指距与身高的几组数据：
指距 20 21 22 23
身高 160 169 178 187
根据上表解决下面这个实际问题：若小明的身高是，则预测他的指距可能是（ ）
A． B． C． D．
2．小红在练习仰卧起坐，本月1日至4日的成绩与日期具有如下表关系：
日期日 1 2 3 4
成绩个 40 43 46 49
小红的仰卧起坐成绩与日期之间近似为一次函数关系，则该函数表达式为______________.
3．小明练习短跑，训练时间与短跑的成绩记录如下表：
时间/月 1 2 3 4
成绩/ 15.6 15.4 15.2 15
（1） 请你为小明的短跑成绩与训练时间（月）的关系建立函数模型.
（2） 用所求出的函数表达式预测小明训练6个月的短跑成绩.
（3） 能用所求出的函数表达式预测小明训练3年的短跑成绩吗？为什么？
B组·能力提升 强化突破
4．2024年3月22日是第三十二届“世界水日”，联合国呼吁全世界关注和重视水资源的重要性．水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，小明同学在滴水的水龙头下放置了一个足够大的且能显示水量的量杯（如图①），每5分钟记录一次容器中的水量，如下表．
时间 0 5 10 15 20 25
量杯中的水量 0 15 30 45 60 75
（1） 请根据上表的信息，在图②的平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并用平滑曲线连接这些点；
（2） 观察平面直角坐标系中各点的分布规律，试求出关于的函数表达式；
（3） 请根据（2）中所求的函数表达式，估算这种漏水状态下一天的漏水量．
C组·核心素养拓展 素养渗透
5．【应用意识，模型观念】一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表：
脚长 … 23 24 25 26 27 28 …
身高 … 156 163 170 177 184 191 …
（1） 在图①中描出表中数据对应的点.
（2） 根据表中数据，你能为身高和脚长之间的关系建立函数模型吗？并求出这个函数的表达式（不要求写出的取值范围）.
（3） 如图②，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为，请根据（2）中求出的函数表达式，估计这个人的身高．4.5 一次函数的应用
第1课时 一次函数在实际生活中的应用
课堂导学
知识梳理
1．分段
例题引路
【点悟】根据图象求函数的表达式时，图象上的点的坐标就代表了一组自变量和函数值的值，据此可列方程或方程组求解.在实际问题中，如果要使用函数表达式，一定要注意自变量的取值是否满足函数的自变量的取值范围.
【思路分析】运用待定系数法，即可求出与之间的函数表达式；
例 （1） 【规范解答】设，根据题意，得，解得，
.
设，根据题意，得，解得，
.
【思路分析】解方程或不等式即可解决问题，分三种情形讨论即可.
（2） 【规范解答】①，即，解得，即当入园次数小于10次时，选择甲消费卡比较合算；
②，即，解得，即当入园次数等于10次时，选择两种消费卡费用一样；
③，即，解得，即当入园次数大于10次时，选择乙消费卡比较合算.
A组·基础达标 逐点击破
知识点1 利用一次函数解决分段函数问题
1．B
2．（1） 解：设销售金额（元）与销售量之间的函数表达式为，
根据题意，得
解得
销售金额（元）与销售量之间的表达式为.
（2） 若在A超市购买：当时，，
若在B超市购买：（元），
元元，
去B超市购买更划算．
知识点2 利用一次函数解决双函数关系问题
3．250
[解析]由题意可知，不善行者的函数表达式为，善行者函数表达式为，联立解得
两图象交点的纵坐标是250.
4．30
B组·能力提升 强化突破
5．（1） 解：设当时，乙距山脚的垂直高度与之间的函数表达式为.
此时图象过和，
解得
当时，乙距山脚的垂直高度与之间的函数表达式为.
（2） 设当时，甲距山脚的垂直高度与之间的函数表达式为.
将和的坐标分别代入,得
解得
.
乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度,
联立
解得
乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度为.
6．（1） 解：观察图象得，方案一与方案二相交于点，
员工生产30件产品时，两种方案付给的报酬一样多.
（2） 设方案二的函数表达式为.将点代入函数表达式，得
解得
即方案二中关于的函数表达式为.
（3） 由两方案的图象交点可知：
若生产件数的取值范围为，则选择方案二；
若生产件数，则选择两个方案都可以；
若生产件数的取值范围为，则选择方案一.
C组·核心素养拓展 素养渗透
7．（1）
（2） 解：当时，设与之间的函数表达式为.
由题意，得解得
.
（3） 当时，，
先匀速行驶的速度为
，
该辆汽车减速前没有超速．
