期末复习
第1章 直角三角形
题型归类 举一反三
题型一 直角三角形的性质
例1
（1） 如图，直线直线，点在直线上，点在直线上，连接，过点作，交直线于点.若 ，则的度数为（ ）
例1（1）图
A． B． C． D．
（2） 有一架梯子斜靠在与地面垂直的墙上，在墙角（点处）有一只猫紧紧盯住位于梯子正中间（点处）的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉，把梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图.若梯子端沿墙下滑，且梯子端沿地面向右滑行.在此滑动过程中，猫与老鼠的距离（ ）
例1（2）图
A．不变 B．变小 C．变大 D．无法判断
变式跟进
1．.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图.其中，分别表示一楼、二楼地面的水平线， ，的长是，则乘电梯从点到点上升的高度是（ ）
A． B． C． D．
2．.如图，在中， ，点，，分别为，，的中点.若，则的长为____________.
题型二 勾股定理
例2 如图，在中， ，点在边上，，平分交于点.若，，求的长.
变式跟进
3．[2024巴中]“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题.若，，，则的长为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．13
题型三 勾股定理的逆定理
例3 下列四组线段中，可以首尾相连构成直角三角形的是（ ）
A．5，12，13 B．1，2，
C．，，2 D．4，5，6
变式跟进
4．下列各组线段中，能够首尾相连组成直角三角形的一组是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4
C．4，5，6 D．1，，
5．如图，在四边形中，,，，， ，求的度数.
题型四 勾股定理与拼图
例4 如图，正方形中的数表示该正方形的面积，则字母B所代表的正方形的面积是（ ）
A．12 B．144 C．13 D．194
变式跟进
6．如图，两个较大正方形的面积分别是139，100,那么最小正方形的面积是（ ）
A． B． C．39 D．78
7．如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成.若较短的直角边，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”.若的周长是15，则这个风车的外围周长是__.
题型五 直角三角形全等的判定
例5 如图，是的中线，，，垂足分别为，，.求证：．
变式跟进
8．如图，，，垂足分别为,，连接,.
（1） 若，且，则，其根据是________．
（2） 若，且，则，其根据是________．
（3） 若，且，则，其根据是________．
题型六 角平分线的性质定理及其逆定理
例6 如图，在中， ，，，是的平分线，设和的面积分别是，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
变式跟进
9．如图，在中， ，点在上，，，，垂足分别为,,且.求：
（1） 的度数；
（2） 的长度.
过关训练 现复活用
A组·基础达标 逐点击破
1．已知在中， ， ，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．某小区有一个直角三角形小花园（如图），其中 ，，.为了方便和美观，准备在小花园中间修一条小路，从顶点修到边的中点，则所修小路的最短长度为（ ）
第2题图
A． B． C． D．
3．如图，以的斜边和一直角边为边长向外分别作正方形，面积分别为和，则另一直角边的长度为（ ）
第3题图
A．4 B．9 C． D．6
4．如图，在四边形中， ，于点，是的中点，连接，，则与的大小关系是（ ）
第4题图
A． B． C． D．不能确定
5．如图，有两个长度相等的滑梯（即），左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，则的度数为（ ）
第5题图
A． B． C． D．
6．如图，平分，于点，，，则的面积为（ ）
第6题图
A．28 B．21 C．14 D．7
7．如图，在中， ，，，其中斜边上的高的长度为（ ）
第7题图
A． B． C． D．
8．如图是某建筑物的屋顶架的示意图，是斜梁的中点，立柱，都垂直于横梁，， ，则的长为____.
9．如图，在中， ，是边上的中线，于点，交于点．
（1） 若，，求的长；
（2） 求证：．
10．如图，在中， ，于点，的平分线交于点,交于点.求证:.
11．如图，在中，，，是边上一点，，.
（1） 求证：是直角三角形；
（2） 求的长度.
B组·能力提升 强化突破
12．如图，已知是等边三角形，为边的中点，，．
（1） 求证：;
（2） 请判断的形状，并说明理由．
13．如图，在四边形中，， ，，，
（1） 求的长.
（2） 点从点出发，以每秒1个单位的速度沿着边向点运动，连接．设点运动的时间为，则当为何值时，为等腰三角形？期末复习
第1章 直角三角形
题型归类 举一反三
题型一 直角三角形的性质
【点悟】在直角三角形中：（1）求角度时，通常利用“直角三角形两锐角互余”的性质；（2）遇 角时，通常要利用“ 角所对的直角边等于斜边的一半”的性质；（3）遇斜边上的中线时，要想到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质.
例1 （1） C （2）．A
变式跟进
1．B
2．
题型二 勾股定理
例2 解：在中，
，，，
由勾股定理,得.
，平分交于点.
.
【点悟】勾股定理的作用是已知直角三角形的任意两边，求第三边的长.我们要会灵活运用勾股定理的不同形式求解.在 中， ，，，的对边分别为，，，勾股定理的不同形式有：
（1），，；
（2），，.
变式跟进
3．C
[解析]设，则.在中，由勾股定理，得，即，解得，即的长为12.故选C．
题型三 勾股定理的逆定理
【点悟】勾股定理的逆定理是判断一个三角形是否是直角三角形的重要方法，应先确定最长边，然后验证两条短边的平方和是否等于最长边的平方.
例3 A
变式跟进
4．D
5．解：如答图，连接.
在中，,，
,
.
在中，，
是直角三角形, .
.
变式跟进5答图
题型四 勾股定理与拼图
例4 B
变式跟进
6．C
7．38
题型五 直角三角形全等的判定
例5 证明：是的中线，
.
，，
，
与都是直角三角形.
在与中，
.
【点悟】用“”证明三角形全等时，需先指明三角形是直角三角形.
变式跟进
8．（1）
（2）
（3）
题型六 角平分线的性质定理及其逆定理
【点悟】遇角平分线，我们要想到两个结论：一是平分角（得到两个相等的角）；二是角平分线上的点到角两边的距离相等（用于证明线段相等）.
例6 D
变式跟进
9．（1） 解：，，
且，
平分.
，
.
（2） 平分，
.
，,
.
过关训练 现复活用
A组·基础达标 逐点击破
1．C 2．B 3．D 4．A 5．C 6．C 7．C
8．8
[解析] ，，.又，.是的中点，.
9．（1） 解： ，，，
.
是边上的中线，
.
（2） 证明： ，
.
，
.
.
是边上的中线，
.
.
．
10．证明：平分，
.
，
.
，
.
.
又，
.
.
11．（1） 证明：在中，
，，，
，
.
.
.
即是直角三角形.
（2） 解：由（1）知， ， .在中，由勾股定理，得
，
.
B组·能力提升 强化突破
12．（1） 证明：是等边三角形，
.
为边的中点，
，即是直角三角形.
，
也是直角三角形.
在和中，
.
（2） 解：是等边三角形.理由如下：
由（1）中，得.
在中，为边的中点，则，
，
是等边三角形.
13．（1） 解：如答图，过点作，垂足为.
， ，
四边形是矩形.
，.
.
在中，
．
第13题答图
（2） 由题意,得，
①当时，，解得；
②当时，为的中点，
，
解得；
③当时，，
，
解得．
综上所述，当的值为3,4或时，为等腰三角形．
