第1章质量评估
［时间：120分钟 分值：120分］
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．在中， ， ，斜边的长为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．下列四组线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
3．如图，已知，，若直接用“”判定，则需要添加的条件是（ ）
第3题图
A． B． C． D．
4．如图，两个较小正方形的面积分别为9,16，则字母A所代表的正方形的面积为（ ）
第4题图
A．5 B．10 C．15 D．25
5．如图，在锐角中，,分别是边,上的高，垂足分别是点,，与相交于点.若 ，则的度数是（ ）
第5题图
A． B． C． D．
6．如图，将长方形沿折叠，使顶点恰好落在边的中点处.若，，则的长为（ ）
第6题图
A．4 B． C．4.5 D．5
7．如图，在中，于点，为边的中点，，，则线段的长为（ ）
第7题图
A．5 B．6 C．8 D．10
8．如图，一艘轮船位于灯塔的北偏东 方向、与灯塔的距离为的处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东 方向上的处，则此时轮船所在位置处与灯塔之间的距离为（ ）
第8题图
A． B．
C． D．
9．一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为（ ）
A．5 B． C． D．5或
10．如图是我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如果大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，直角三角形的短直角边为，长直角边为，那么的值为（ ）
A．36 B．25 C．16 D．49
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．如图，为测得池塘两岸点和点之间的距离，一名观测者在点处设桩，使 ，并测得长，长，则,两点间的距离是__.
第11题图
12．如图，在中，，，垂足为点，是的中点.若，则的长为__.
第12题图
13．如图，一棵垂直于地面的大树在离地面处折断，树的顶端落在离树干底部处，那么这棵树折断之前的高度是____．
第13题图
14．如图，，，要使，还需添加条件__________________________________________________________________________________（只需写出符合条件的一种情况即可）.
第14题图
15．下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长：，24，25；，8，10；，12，13；，2，.其中不能构成直角三角形的是____（填序号）.
16．已知直角三角形的两条直角边长分别为6,8，那么斜边上的中线长为____.
17．《周礼·考工记》中记载有：“……半矩谓之宣，一宣有半谓之欘 ”，意思是：“……直角的一半的角叫作宣，一宣半的角叫作欘……”，即1宣矩，1欘宣（其中，1矩）.问题：图①为中国古代一种强弩图，图②为这种强弩图的部分组件的示意图，若矩，欘，则____ ．
第17题图
18．如图，在中，，是边上一点，连接，在的右侧作，且，连接.若，，则四边形的面积为__．
第18题图
三、解答题（本题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）如图，在与中，，求证：．
20．（6分）如图，点，在线段上，于点，于点，，.求证：．
21．（8分）如图，在中， ， ，是边的中点，，，.求：
（1） 的度数；
（2） 的长．
22．（8分）上午8时，一艘轮船从港口出发，以的速度向正北方向航行，10时到达海岛处，从，两处望灯塔，分别测得 ， .若该轮船从海岛继续向正北航行，求轮船与灯塔的最短距离.
23．（9分）如图，平分，于点，于点，，．
（1） 求的值；
（2） 若，求的长．
24．（9分）如图，在四边形中，，，，， ．
（1） 判断是否是直角，并说明理由；
（2） 求四边形的面积．
25．（10分）如图，在中，，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度向点运动，同时动点从点出发，以每秒2个单位的速度向点运动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止运动，设运动的时间为.
（1） 用含的代数式表示线段和.
（2） 当为何值时，
（3） 能否等于 如果能，求出的值；如果不能，请说明理由.
26．（10分）如图，在中， ，，于点，点在边上，连接．
（1） 求证：；
（2） 若，，求的长；
（3） 若，直接写出线段，，的数量关系．第1章质量评估
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．C
2．D
3．A
4．D
5．A
6．A
[解析]是边的中点，，.
由图形的折叠特性,可知
.
在中，，
，解得.故选A.
7．C
[解析]于点D，为边的中点，
.
在中，．故选C．
8．D
[解析]由题意,可得 ，， ,，则此时轮船所在位置B处与灯塔之间的距离为.故选D.
9．D
[解析]当两边均为直角边时，由勾股定理得第三边的长为5；当4为斜边时，由勾股定理得第三边的长为.故选D.
10．B
[解析] 大正方形的面积13，小正方形的面积是1，
四个直角三角形的面积和是，即，
即，，
．故选B.
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．30
12．10
[解析] 在中，，
是直角三角形.
是的中点，.
又，，.
13．8
[解析] 一棵垂直于地面的大树在离地面处折断，树的顶端落在离树干底部处， 折断的部分长为.
折断前的高度为．
14．或或或（答案不唯一）
15．④
16．5
[解析]由勾股定理，得斜边长为，
斜边上的中线长为.
17．22.5
18．60
三、解答题（本题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．证明：在中， ．
，
．
．
20．证明：，
，
即.
在和中,
.
．
21．（1） 解： ， ，
.
， .
， .
.
（2） ， ，，
.
是边的中点，.
， ，
.
22．解：根据题意，得.
如答图，过点作于点，由垂线段最短的性质可得，当轮船行驶到点时，与灯塔的距离最短，最短距离即为的长度.
， ，
.
.
.
答：轮船与灯塔的最短距离为.
第22题答图
23．（1） 解：平分，，，
.
.
（2） ，,
．
24．（1） 解：是直角.理由如下：
如答图，连接.
，，,
.
，
.
是直角三角形，且是直角.
第24题答图
（2）
．
25．（1） 解：由勾股定理，得.
由题意，得，，
则，.
（2） 当时，即，
解得，经检验，此时两点均未停止运动 .
当时，.
（3） 不能.理由如下：
如答图，连接.
由勾股定理，得.
当时，,
解得.
又,.
,不能等于.
第25题答图
26．（1） 证明： ，，，
，.
在和中，
，
．
（2） 解： ，，，
，
由（1），得，
，，，
设，则，，
由勾股定理，得，即，
解得．
的长为．
（3） 解：.
