第2章 四边形
题型归类 举一反三
题型一 多边形的内角和与外角和
例1
（1） 如图，在正五边形中，的度数为（ ）
A． B． C． D．
（2） 若正多边形的一个外角是 ，则这个正多边形的内角和是__________．
变式跟进
1．若正多边形的内角和是 ，则该正多边形的一个外角的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图是由射线，，，，组成的平面图形.若 ，，则的度数为________.
题型二 中心对称图形
例2 [2024绥化]下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．平行四边形 B．等腰三角形
C．圆 D．菱形
变式跟进
3．[2024泰安]下列图形中，中心对称图形的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型三 三角形的中位线定理的运用
例3 如图，在中，平分，于点，是的中点．
（1） 如图①，的延长线与边相交于点，求证：；
（2） 如图②，探究线段,,之间的数量关系.
变式跟进
4．[2024浙江]如图，，分别是的边，的中点，连接，.若，，则的长为____．
题型四 平行四边形的性质
例4 如图，是的边的中点，连接并延长,交的延长线于点.
（1） 求证：;
（2） 若 ，，，求的长.
变式跟进
5．如图，在中，于点，于点，连接，.求证：.
6．如图，已知为的边延长线上一点，且，对角线,交于点,连接，交于点，交于点，连接．
（1） 求证：；
（2） 试探究与的位置关系和数量关系，并说明理由．
题型五 平行四边形的判定
例5 如图，在中，点，在对角线上，且.求证：
（1） ；
（2） 四边形是平行四边形.
变式跟进
7．如图，在四边形中，，，垂足分别为点，.
（1） 请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形为平行四边形，你添加的条件是____________________________；
（2） 添加了条件后，求证：四边形为平行四边形.
题型六 矩形的性质与判定
例6 [2024贵州]如图，四边形的对角线与相交于点，， ，有下列条件：
；．
（1） 请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是矩形；
（2） 在（1）的条件下，若，，求四边形的面积．
变式跟进
8．如图①，已知线段，， .求作：矩形.（要求：用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹），以下是某同学的作法：
Ⅰ.如图②，过点作的垂线；
Ⅱ.过点作的垂线，交于点.
（1） 根据以上作法，能得到四边形是矩形的依据是__________________________________；
（2） 请用另一种方法，在图①中作出矩形，并证明你的正确性．
题型七 菱形的性质与判定
例7 [2024河南]如图，在中，是斜边上的中线，交的延长线于点.
（1） 请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点（保留作图痕迹，不写作法）；
（2） 证明（1）中得到的四边形是菱形.
变式跟进
9．如图，菱形的对角线相交于点， ，菱形的周长为24．求：
（1） 对角线的长；
（2） 菱形的面积．
题型八 正方形的性质与判定
例8 如图， ，，平分，．
（1） 求证：四边形是平行四边形；
（2） 过点作于点，若，请判断四边形的形状，并说明理由．
变式跟进
10．如图，已知正方形，是对角线上的任意一点，为上的点，且 ，于点,于点.求证：
（1） 四边形是正方形；
（2） .
过关训练 现复活用
A组·基础达标 逐点击破
1．[2024龙东地区]下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．一个多边形的每个外角都等于 ，则这个多边形的边数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角线平分对角
4．依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等的菱形是正方形
B．四条边相等的四边形是矩形
C．对角线垂直且相等的四边形是平行四边形
D．对角线相等的四边形是菱形
6．如图，菱形的对角线，相交于点，，分别是边，上的中点，连接.若，，则菱形的周长为（ ）
A．4 B． C． D．28
7．如图，在中，对角线,相交于点，,是上两点，点,的位置只需满足条件____________________________时，四边形是平行四边形.
第7题图
8．[2024广西]如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为 ，则重合部分构成的四边形的周长为________．
第8题图
9．如图，在等腰中， ，，，分别为边，的中点，延长至点，使，连接，，．
（1） 求证：四边形为平行四边形；
（2） 求的长．
10．如图，将的对角线向两个方向延长，分别至点和点，且使．
（1） 求证：四边形是平行四边形；
（2） 添加一个条件，使四边形是矩形，并说明理由.
11．如图，在中，,分别为边,的中点，是对角线.
（1） 求证：；
（2） 若是直角，判断四边形的形状，并证明你的结论.
B组·能力提升 强化突破
12．.如图，在四边形中， ，线段的垂直平分线交于点，交于点，交于点，且.
（1） 试探究四边形的形状，并说明理由.
（2） 当的大小满足什么条件时，四边形是正方形？证明你的结论.
13．[2024江西]【追本溯源】
题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）．
（1） 如图①，在中，平分，交于点，过点作的平行线，交于点，请判断的形状，并说明理由．
①
【方法应用】
（2） 如图②，在中，平分，交边于点，过点作交的延长线于点，交于点．
②
① 图中一定是等腰三角形的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
② 已知，，求的长．第2章 四边形
题型归类 举一反三
题型一 多边形的内角和与外角和
【点悟】 边形的内角和为 ，外角和为 .
例1 （1） C
（2）
变式跟进
1．C
2．
题型二 中心对称图形
例2 B
变式跟进
3．C
题型三 三角形的中位线定理的运用
【点悟】三角形的中位线定理在证明两线平行关系和计算两线段数量关系时有着重要应用，因此，题目中有“中点”时，要学会寻找或构造中位线，从而为解题创造条件.
例3 （1） 证明：平分，
.
，
.
在和中，
，
，，
是的中点.
是的中点，
是的中位线，
.
（2） 解：如答图，延长交的延长线于点．
例3答图
，
，
， .
平分,
，
，
.
，
为的中点.
为的中点，
是的中位线，
．
变式跟进
4．4
题型四 平行四边形的性质
【点悟】平行四边形具有对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分等性质，这为计算边与角、证明三角形全等提供了很多条件，因此，要灵活运用这些性质解题.
例4 （1） 证明： 四边形是平行四边形，
，
，.
是的中点，
.
在和中，
.
（2） 解：，
.
四边形是平行四边形,，
.
在中，，
.
.
变式跟进
5．证明： 四边形是平行四边形，
，,
.
又，，
，.
在和中，
,
.
又,
四边形是平行四边形.
.
6．（1） 证明： 四边形是平行四边形，
，，
，.
又，
.
在和中，
.
（2） 解：，．理由如下：
四边形是平行四边形，为对角线,的中点，
.
,
,
是的中位线．
，．
题型五 平行四边形的判定
【点悟】证明一个四边形是平行四边形的基本思路：
（1）若已知一组对边平行，可以证明这组对边相等，或另一组对边平行；
（2）若已知一组对边相等，可以证明这组对边平行，或另一组对边相等；
（3）若已知条件与对角线有关，可以证明对角线互相平分.
例5 （1） 证明： 四边形是平行四边形，
，.
.
在和中，
.
（2） ，
.
.
又，
四边形是平行四边形.
变式跟进
7．（1） （答案不唯一）
（2） 证明：，，
.
又，
四边形为平行四边形.
题型六 矩形的性质与判定
【点悟】（1）证明一个四边形是矩形的基本 思路：
①若四边形（或可证）为平行四边形，则再证一个角是直角或对角线相等；
②若直角较多，可证三个角是直角.
（2）利用矩形的性质解题的基本思路：
①从角上看：矩形的四个角都是直角，可将矩形问题转化为直角三角形的问题去解决；
②从对角线上看：对角线将矩形分成四个面积相等的等腰三角形，可将矩形问题转化为等腰三角形问题去解决.
例6 （1） 证明：选择①，，，
四边形是平行四边形.
，
四边形是矩形；
选择②，，，
四边形是平行四边形.
，
四边形是矩形.
（2） 解： ，，，
.
由（1）知，四边形是矩形,
.
变式跟进
8．（1） 三个角是直角的四边形是矩形
（2） 解：（答案不唯一）方法一：如答图①，矩形即为所求作．
证明：如答图①，由作图方法可知，，
四边形是平行四边形.
又 ，
四边形是矩形.
变式跟进8答图①
方法二：如答图②，矩形即为所求作．
证明：由作图方法可知，互相平分，
四边形是平行四边形，
又 ，
四边形是矩形．
变式跟进8答图②
题型七 菱形的性质与判定
【点悟】（1）证明一个四边形是菱形的基本 思路：
①若四边形（或可证）为平行四边形，则再证一组邻边相等或对角线互相垂直；
②若相等的边较多（或容易证出）时，可证四条边相等.
（2）利用菱形的性质解题的基本思路：
①菱形的对角线将菱形分成四个全等的直角三角形，可将菱形问题转化为直角三角形的问题去解决；
②有一个内角为 （或）的菱形，连接对角线可构成等边三角形，可将菱形问题转化到等边三角形中去解决.
例7 （1） 解：如答图．
例7答图
（2） 证明：由作图可知，
.
，
四边形是平行四边形.
在中，是斜边上的中线，
，
四边形是菱形．
变式跟进
9．（1） 解： 菱形的周长为24，
.
又 ，
是等边三角形，
.
（2） 由菱形的性质可知，对角线与互相垂直且平分，
， .
又，
，
，
.
题型八 正方形的性质与判定
【点悟】证明一个四边形是正方形可按以下三步进行：
（1）先证明它是平行四边形；
（2）再证明有一组邻边相等（或一个角是直角）；
（3）最后证明它有一个角是直角（或有一组邻边 相等）.
例8 （1） 证明：平分，
.
，
，
.
在和中，
，
.
又，
四边形是平行四边形.
（2） 解：四边形是正方形.理由如下：
如答图，过点作,垂足为点，
.
由（1）可知，.
四边形是平行四边形，
.
平分，，，
.
，
.
,,
.
，，
四边形是平行四边形.
，
四边形是菱形.
，
四边形是正方形．
例8答图
变式跟进
10．（1） 证明： 四边形是正方形，
,平分.
,,
, .
四边形是矩形.
又,
四边形是正方形.
（2） 四边形是正方形，
.
,
,
.
在和中，
.
.
过关训练 现复活用
A组·基础达标 逐点击破
1．B
2．B
3．B
4．D
5．A
6．C
[解析]，分别是，边上的中点，，.
四边形是菱形，
，，.
.
菱形的周长为.故选C.
7．（答案不唯一）
8．
9．（1） 证明：，分别为边，的中点，
是的中位线,
，．
，
．
又，即，
四边形为平行四边形．
（2） 解：为边的中点，
．
在中，．
四边形为平行四边形，
．
10．（1） 证明：连接交于点，如答图.
四边形是平行四边形，
，.
，
，则，
四边形是平行四边形.
第10题答图
（2） 解：添加.理由如下：
四边形是平行四边形，，
四边形是矩形．
11．（1） 证明： 四边形是平行四边形，
，，.
,分别为边,的中点，
，.
.
在和中，
.
（2） 解：若是直角，则四边形是菱形.证明如下：
由（1）可得，
.
又，，
四边形是平行四边形.
是直角，是的中点，
,
四边形是菱形.
B组·能力提升 强化突破
12．（1） 解：四边形是菱形.理由如下：
如答图，垂直平分，
，，
.
，
， .
，
.
，
，
四边形是菱形.
第12题答图
（2） 当 时，四边形是正方形.证明如下：
，
.
，
四边形是正方形.
13．（1） 解：是等腰三角形.理由如下：
平分，
.
，
，
，
，
是等腰三角形.
（2） ① B
[解析] 四边形是平行四边形，
，.
同（1）可得，
.
，
.
，，
，.
，
，，，
，，，
即，，，是等腰三角形，共有4个.
故选B.
② 解： 在中，，，
，.
由①得，
．
