第4章 一次函数
题型归类 举一反三
题型一 确定自变量的取值范围
【点悟】（1）当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为0；（2）当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于0；（3）对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义.
例1 且
变式跟进
1．
2．
题型二 函数的概念及其表示法
【点悟】判断图象中 是不是 的函数关系，最简单的方法是：作垂直于 轴的直线，并把这条直线左右平移，若在平移的过程中与图象最多只有一个交点，则 是 的函数，否则就不是.
例2 C
变式跟进
3．B
题型三 用函数图象描述事物的变化规律
【点悟】解这类函数图象描述事物的变化规律的问题，关键是正确分析事物的变化过程，理解函数图象的横、纵坐标的含义，同时要注意函数自变量的取值范围.
例3 D
变式跟进
4．D
题型四 从函数图象上获取数据和信息
【点悟】从函数图象上获取数据和信息要注意两点：（1）理解原点、横轴、纵轴的意义；（2）数形结合寻找关键点并理解它在实际问题中的意义.
例4 D
变式跟进
5．C
题型五 一次函数的图象及性质
【点悟】在一次函数 中，的符号决定函数的增减性，即 时，直线 由左至右上升；时，直线 由左至右下降.的符号决定直线 与 轴交点的坐标 的位置，时，交 轴于正半轴；时，交 轴于原点；时，交 轴于负半轴.
例5 （1） B
（2）
变式跟进
6．C 7．C
题型六 一次函数的图象的平移
【点悟】直线 在平移过程中 值不变.平移规律是：若上下平移，则直接在常数 后加上或减去平移的单位数.其口诀是上加下减.
例6 （1） B （2）．B
变式跟进
8．B
题型七 确定一次函数的表达式
【点悟】一般来说，使用待定系数法有“四步曲”：（1）设——按照所求函数类型，设出表达式，其系数是待定的；（2）列——把题目中提供（或可求）的坐标代入所设表达式中，列出关于待定系数的方程或方程组；（3）解——解这个方程或方程组，得到待定系数的值；（4）代——将第（3）步中求出的结果，代入第（1）步所设的表达式中，从而得到完整的函数表达式.
例7 （1）
（2） 解： 一次函数向下平移5个单位后得到的一次函数的表达式为，即
当时，.
平移后的图象与轴的交点坐标为.
变式跟进
9．（1） ；
（2） 解：设直线的函数表达式为，
代入,的坐标，得
解得
直线的函数表达式为．
题型八 一次函数与方程（组）、不等式的关系
【点悟】一次函数与一元一次不等式（或 的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数 的值大于（或小于）0的自变量 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线 在 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合.也考查了观察函数图象的能力.
例8 A
变式跟进
10．A 11．B
题型九 一次函数的实际应用
【点悟】利用一次函数进行方案选择问题时，一般先根据题意建立一次函数关系式，再根据题目要求及实际意义列不等式（组），求出自变量的取值范围，然后根据一次函数的性质及自变量的最大（或最小）值来求函数值的最值，从而确定方案.
例9 （1）
（2） 解：，.
为正整数，且，
.
中，，
随的增大而减小．
当时，取得最大值，最大值为
答：安排7名工人进行采摘、13名工人进行加工时，才能使一天的销售收入最大，最大值为元．
【点悟】此类问题多以分段函数的形式出现，正确理解分段函数是解决问题的关键，一般应从如下几方面入手：（1）寻找分段函数的分段点；（2）针对每一段函数关系，求解相应的函数表达式；（3）利用条件可求解未知问题.
例10 （1） 解：图中点的实际意义表示当用水时，所缴水费为90元.
（2） 设第一阶梯用水的单价为元，则第二阶梯用水的单价为元.
设，
则
解得
.
设线段所在直线的函数表达式为,代入,,
得解得
线段所在直线的函数表达式为.
（3） 设该用户5月份用水量为，由第（2）问知第二阶梯用水的单价为4.5元，第三阶梯用水的单价为6元.
根据题意,得.
解得.
答：该用户5月份的用水量为.
变式跟进
12．（1） 解：设修建一个种光伏车棚需投资万元，修建一个种光伏车棚需投资万元.
根据题意，得
解得
答：修建一个种光伏车棚需投资3万元，修建一个种光伏车棚需投资2万元．
（2） 设修建种光伏车棚个，则修建种光伏车棚个，修建种和种光伏车棚共投资万元.
根据题意，得，
解得.
，
，
随的增大而增大，
，且为正整数，
当时，取得最小值，此时.
答：修建种光伏车棚14个时，投资总额最少，最少投资总额为54万元．
13．（1） 解:设线段的函数解析式为.
将的坐标代入,得.
.
（2） 设线段的函数解析式为.
将,的坐标分别代入,得
解得
.
当时,,
解得.
答:当他们离家时,共用了.
过关训练 现复活用
A组·基础达标 逐点击破
1．C 2．C 3．D 4．D 5．D 6．D 7．D
8．且
9．
10．
11．（1） 解： 一次函数随的增大而减小，
.
解得，为任意实数.
（2） ，
当时，.
由题意，得,且.
解得，且.
（3） 该函数的图象经过第一、三、四象限，
，且.
解得，且．
12．（1） 解：设煎蛋器的单价为元，三明治机的单价为元．
由题意，得
解得
答：煎蛋器的单价为65元，三明治机的单价为110元.
（2） 设煎蛋器采购台，则三明治机采购台.
由题意,得，
解得.
设总购买费用为元，
.
，
随的增大而减小.
，且为正整数,
当时，的值最小，
此时的购买方案为：购买煎蛋器33台，三明治机（台）.
答：最节省费用的购买方案为购买煎蛋器33台，三明治机17台．
13．（1） 解：如答图.
第13题答图
（2） ① ；
②
14．（1） 解：由图可知，甲、乙两地相距，小轿车中途停留了.
（2） ① .
② 当时，设.
当时，，
的图象过点，,
解得
当时，.
（3） 当时，，此时小轿车在时停车休整，离甲地.
当时，；
当时，，
货车在时，会与小轿车相遇，即，解得.
当时，小轿车的速度为,而货车的速度为,故货车在时内不会与小轿车相遇.
货车出发后首次与小轿车相遇，相遇时距离甲地.
B组·能力提升 强化突破
15．（1） 10；
（2） 解:设点的坐标为,
.
由题意，可知，.
在中，由勾股定理，得，解得.
点的坐标为．
设直线的函数表达式为
在直线上，
,解得.
直线的函数表达式为.
16．（1） 30； 20
（2） 解：设购买种盐皮蛋箱，则购买种盐皮蛋箱，总费用为元.
由题意,可得
,随的增大而增大.
种的数量至少比种的数量多5箱，又不超过种数量的2倍，
解得.
为整数，
当时，取得最小值，此时，.
答：购买18箱种盐皮蛋，12箱种盐皮蛋才能使总费用最少，最少总费用为780元．第4章 一次函数
题型归类 举一反三
题型一 确定自变量的取值范围
例1 函数中自变量的取值范围是______________________.
变式跟进
1．[2023黑龙江]在函数中，自变量的取值范围是__________.
2．[2023达州]函数的自变量的取值范围是________．
题型二 函数的概念及其表示法
例2 下列各图象中，不是的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
变式跟进
3．给出下列式子：；；；；.其中是的函数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
题型三 用函数图象描述事物的变化规律
例3 均匀地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示（图中为折线），则这个容器的形状可以是（ ）
A． B．
C． D．
变式跟进
4．小红骑自行车到离家的书店买书，行驶了后遇到一个同学，因说话停留了，继续骑了到书店．下图中能大致描述她去书店过程中离书店的距离与所用时间之间的关系的是（ ）
A． B．
C． D．
题型四 从函数图象上获取数据和信息
例4 如图，在一次的长跑比赛中，甲、乙两人所跑的路程与各自所用时间之间的函数图象分别为线段和折线，则下列说法正确的是（ ）
A．甲的速度随时间的增加而增大
B．乙的平均速度比甲的平均速度大
C．在起跑后第时，两人相遇
D．在起跑后第时，乙在甲的前面
变式跟进
5．甲、乙两人利用不同的交通工具，沿同一路线从地出发前往地，两人行驶的路程与甲出发的时间之间的函数图象如图所示．根据图象得到如下结论，其中错误的是（ ）
A．甲的速度是 B．乙比甲早到达
C．乙出发后追上甲 D．乙在两地的中点处追上甲
题型五 一次函数的图象及性质
例5
（1） 若式子有意义，则一次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
（2） 在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过，两点.若，则____（填“ ”“ ”或“”）.
变式跟进
6．若式子有意义，则关于的一次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．关于直线,下列说法错误的是（ ）
A．经过第一、三、四象限 B．随的增大而增大
C．与轴交于点 D．与轴交于点
题型六 一次函数的图象的平移
例6
（1） 在平面直角坐标系中，若将直线向上平移个单位得到直线，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（2） 在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向下平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则的值为（ ）
A． B．4 C． D．6
变式跟进
8．若把一次函数的图象向上平移4个单位，得到图象对应的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
题型七 确定一次函数的表达式
例7 如图，直线是一次函数的图象.
（1） 这个一次函数的表达式是______________；
（2） 将该函数的图象向下平移5个单位，求出平移后一次函数的表达式，并写出平移后的图象与轴的交点坐标.
变式跟进
9．如图，在平面直角坐标系中有一个四边形，其中轴，，， ．
（1） 点，的坐标分别是____________，____________；
（2） 求出直线的函数表达式．
题型八 一次函数与方程（组）、不等式的关系
例8 在同一平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数的图象如图所示，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式跟进
10．如图，直线和直线相交于点，根据图象可知，关于的方程的解是（ ）
变式跟进10图
A． B． C．或25 D．
11．已知一次函数的图象如图所示，有以下结论：①点在该函数的图象上；②方程的解为；③当时，的取值范围是；④该直线与直线平行.其中正确的有（ ）
变式跟进11图
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
题型九 一次函数的实际应用
例9 某蓝莓种植生产基地产销两旺，采摘的蓝莓部分加工销售，部分直接销售，且当天都能销售完，直接销售的价格是40元/斤，加工销售的价格是130元/斤（不计损耗）．已知基地雇佣20名工人，每名工人只能参与采摘和加工中的一项工作，每人每天可以采摘70斤或加工35斤．设安排名工人采摘蓝莓，剩下的工人加工蓝莓．（1斤）
（1） 若基地一天的总销售收入为元，则关于的函数表达式是________________________；
（2） 试求如何分配工人，才能使一天的销售收入最大，并求出最大值．
例10 为加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市对居民用水实行“阶梯水价”，每户居民家庭每月用水量划分为三个阶梯，第一、二、三级阶梯用水的单价之比等于.如图所示的折线表示实行阶梯水价后每月水费（元）与用水量之间的函数关系,其中线段表示第二级阶梯时与之间的函数关系.
（1） 写出点的实际意义；
（2） 求线段所在直线的函数表达式；
（3） 某用户5月份按照阶梯水价应缴水费102元，其相应用水量为多少立方米？
变式跟进
12．[2024济南]近年来光伏建筑一体化广受关注.某社区拟修建，两种光伏车棚.已知修建2个种光伏车棚和1个种光伏车棚共需投资8万元；修建5个种光伏车棚和3个种光伏车棚共需投资21万元．
（1） 修建每个种，种光伏车棚分别需投资多少万元？
（2） 若修建，两种光伏车棚共20个，要求修建的种光伏车棚的数量不少于修建的种光伏车棚数量的2倍，问修建多少个种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？
13．端午节期间,小明一家自驾游去了离家的某地,如图是他们离家的距离与汽车行驶时间的函数图象,根据图象解答下列问题:
（1） 求出线段的函数解析式;
（2） 求当他们离家时,共用了多少小时？（提示:图中的,,均为线段）
过关训练 现复活用
A组·基础达标 逐点击破
1．在球的体积公式中，下列说法正确的是（ ）
A．， ，是变量，为常量 B．，是变量， 为常量
C．，是变量，， 为常量 D．，是变量，为常量
2．已知函数是正比例函数，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．若点在函数的图象上，则的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
4．如图，直线过点和点，则关于的方程的解是（ ）
第4题图
A． B． C． D．
5．下列四条直线中，可能是一次函数的图象的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，把直线向上平移2个单位得到直线，则直线的函数表达式为（ ）
第6题图
A． B．
C． D．
7．小风在中长跑训练时，已跑路程与所用时间之间的函数图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．小风的成绩是
B．小风最后冲刺阶段的速度是
C．小风第一阶段与最后冲刺阶段速度相等
D．小风的平均速度是
8．在函数中，自变量的取值范围是________________________.
9．若是一次函数，则的值是________.
10．如果函数是关于的一次函数，且随的增大而增大，那么的取值范围是________.
11．已知关于的一次函数满足下列条件，分别求出，的取值范围．
（1） 使得随的增大而减小;
（2） 使得函数图象与轴的交点在轴的 上方;
（3） 使得函数图象经过第一、三、四象限．
12．[2024通辽]某中学为加强新时代中学生劳动教育，开辟了劳动教育实践基地.在基地建设过程中，需要采购煎蛋器和三明治机.经过调查，购买2台煎蛋器和1台三明治机需240元，购买1台煎蛋器和3台三明治机需395元．
（1） 求煎蛋器和三明治机的单价分别是多少元；
（2） 学校准备采购这两种机器共50台，其中要求三明治机的台数不少于煎蛋器台数的一半，请你给出最节省费用的购买方案．
13．已知一次函数.
（1） 在图中的平面直角坐标系内画出该一次函数的图象.
（2） 根据图象回答问题：
① 图象与轴的交点坐标是____________，与轴的交点坐标是____________；
② 当________时，.
14．一辆货车和一辆小轿车同时从甲地出发，货车匀速行驶至乙地，小轿车中途停车休整后提速行驶至乙地.货车的路程、小轿车的路程与行驶时间的对应关系如图所示.
（1） 甲、乙两地相距多远？小轿车中途停留了多长时间？
（2）
① 直接写出关于的函数表达式；
② 当时，求关于的函数表达式.
（3） 货车出发多长时间与小轿车首次相遇？相遇时与甲地的距离是多少？
B组·能力提升 强化突破
15．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，点在轴的负半轴上.若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处．
（1） 的长是__，点的坐标是____________；
（2） 求直线的函数表达式．
16．[2023广安改编]“广安盐皮蛋”是小平故里的名优特产，某超市销售，两种品牌的盐皮蛋.若购买9箱种盐皮蛋和6箱种盐皮蛋共需390元；若购买5箱种盐皮蛋和8箱种盐皮蛋共需310元．
（1） 种盐皮蛋、种盐皮蛋每箱的价格分别是__元，__元.
（2） 若某公司购买，两种盐皮蛋共30箱，且种的数量至少比种的数量多5箱，又不超过种数量的2倍，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少总费用．
