云南省昆明市2024-2025学年高三上学期12月大联考试题 数学（含答案）

绝密★启用前
2025届高三12月大联考（新课标卷）
数学
本卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数与在复平面内对应的点关于实轴对称，则（ ）
A． B． C． D．
3．苏州荻溪仓始建于明代，曾作为古代官方桹仓，圆筒桹仓简约美观、储存容量大，在粮食储存方面优势明显，如图（1）．某校模型制作小组设计圆筒粮仓模型时，将粮仓的屋顶近似看成一个圆锥，如图（2）．若该圆锥的侧面展开图为半圆，底面圆的直径为，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量，，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
6．下列函数，满足“对于定义域内任意两个实数，，都有”的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，若在区间上单调，在处取得最大值，且．将曲线向左平移1个单位长度，得到曲线，则函数在区间上的零点个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．已知函数，，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．下列说法正确的是（ ）
A．数据5，8，10，12，13的第40百分位数是9
B．若随机变量服从正态分布，，则
C．20张彩票中只有2张能中奖，现从中一次性抽取张，若其中至少有一张中奖的概率大于0．5，则的最小值为6
D．已知数据，，，的平均数为6，方差为10，现加入5和7两个数，则这8个数的方差
10．已知函数在处取得极值，则下列说法正确的是（ ）
A．若在上单调递增，则实数的取值范围是
B．有3个零点
C．在上的最小值为
D．在R上恒成立
11．如图，已知圆，过原点作射线交圆于点（异于点），交直线于点（异于点），再以为圆心、线段的长为半径作圆与射线交于点，记点的轨迹为曲线．设，，则下列说法正确的是（ ）
A．曲线上所有点的横坐标的取值范围是
B．
C．曲线的方程为
D．过点且与垂直的直线必与抛物线相切
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．函数的图象在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为_______．
13．甲、乙两人进行某项比赛，已知每局比赛甲获胜的概率均为，没有平局，各局比赛的结果互不影响．约定当一方胜的局数比另一方多两局时即可获胜，比赛结束．设最终比赛局数为，则_______．
14．过双曲线的左焦点作轴的垂线，为上一动点，已知，，若的最大值为，则双曲线的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
记的内角，，所对的边分别为，，，已知，．
（1）求；
（2）若的周长为，求的面积．
16．（15分）
如图，椭圆的中心在原点，左、右焦点分别为，，点，为椭圆上两点（均位于轴上方），且满足，面积的最大值为2，椭圆的离心率小于，且椭圆的四个顶点围成的四边形周长为12．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求证：为定值．
17．（15分）
已知函数．
（1）若，求证：；
（2）若且在上恒成立，求的最大值．
18．（17分）
如图，在三棱锥中，平面，，分别是，的中点，，，．延长至点，使得，连接．
（1）证明：；
（2）求二面角的余弦值；
（3）若点，分别是直线，上的动点，求的最小值．
19．（17分）
设数列是一个无限数列，若对于一个给定的正整数，不等式对每一个大于的正整数都成立，则称是阶友好数列．
（1）若，证明：是2阶友好数列，但不是1阶友好数列．
（2）若是1阶友好数列，为数列的前项和．
证明：①；
②．
2025届高三12月大联考（新课标卷）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
D B A C B C A A ACD BC ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．
13．
14．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
【解析】（1）由题意及余弦定理，得，（2分）
所以．（3分）
由，得．（5分）
又，所以．（6分）
（2）由（1），得，（8分）
所以．
又，所以，，，（11分）
所以的面积．（13分）
说明：第（1）问：
1．写出余弦定理给1分，写出给1分．
2．3分段指写出．
3．5分段指写出．
4．6分段指写出．
第（2）问：
1．8分段指写出．
2．11分段指写出，，．
3．13分段指写出的面积．
16．（15分）
【解析】（1）由题意，得（3分）
解得（4分）
所以椭圆的标准方程为．（5分）
（2）由（1），知，延长交椭圆于点，由及对称性，知，（6分）所以．（7分）
当直线的斜率不存在时，易得，则．（8分）
当直线的斜率存在且不为零时，设其方程为，
由得，，（9分）
设，，根据根与系数的关系，得（10分）
所以（11分）
，（12分），（13分）
所以．（14分）
综上，为定值．（15分）
说明：
第（1）问：
1．3分段指列出关于a，b，c的方程组与不等关系．
2．4分段指求出a，b，c的值．
3．5分段指写出椭圆的标准方程为．
第（2）问：
1．6分段指写出．
2．7分段指写出等式．
3．8分段指当直线的斜率不存在时，求出．
4．9分段指当直线的斜率存在且不为零时，得到，．
5．10分段指根据根与系数的关系写出
6．11分段指写出．
7．12分段指写出．
8．13分段指写出．
9．14分段指当直线的斜率存在且不为零时，写出．
10．15分段指写出综上，为定值．
17．（15分）
【解析】（1）的定义域为，（1分）
当时，，（2分）
易得在上单调递增，在上单调递减，（3分）
所以．（4分）
（2）令，则在上恒成立．
求导，得，（6分）
当时，在上恒成立，所以在上单调递增．
又，不符合题意，舍去．（8分）
当时，在上单调递增，在上单调递减，
所以，（10分）
只需即可．（11分）
设，则，（12分）
所以在上单调递增．
又，所以当时，恒成立，所以．（14分）
又，所以的最大值为-1．（15分）
说明：
第（1）问：
1．1分段指写出的定义域为．
2．2分段指写出．
3．3分段指写出在上单调递增，在上单调递减．
4．4分段指写出．
第（2）问：
1．6分段指构造函数并正确求导，同时对分子因式分解，若求导正确但没有因式分解也给1分．
2．8分段指写出当时不符合题意的情形．
3．10分段指写出当时，求出．
4．11分段指写出只需即可．
5．12分段指构造函数并正确求导，同时得到导函数的符号．
6．14分段指根据函数的单调性得到．
7．15分段指根据得到的最大值为-1．
18．（17分）
【解析】因为，，，是的中点，所以，（1分）两边平方，得，即，得，所以．（2分）
又平面，所以，，两两垂直．如图，以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，，，，．（3分）
（1）易得，，所以，（4分）
所以．（5分）
（2）由题意，知平面的一个法向量是．（6分）
易得，．
设平面的法向量是，则即（7分）
令，得，所以平面的一个法向量是，（8分）
所以，（9分）
由图，知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．（10分）
（3）因为点N，Q分别是直线，上的动点，
设，，则，所以．（12分）
设，，则，所以，（14分）
所以，（16分）
所以当，时，取得最小值，为．（17分）
说明：
第（1）问：
1．1分段指写出．
2．2分段指写出．
3．3分段指建立空间直角坐标系并正确写出相关点的坐标．
4．4分段指写出．
5．5分段指写出．
第（2）问：
1．6分段指写出平面的一个法向量是．
2．7分段指写出即
3．8分段指写出平面的一个法向量是．
4．9分段指写出．
5．10分段指写出二面角的余弦值为．
第（3）问：
1．12分段指写出．
2．14分段指写出．
3．16分段指写出，若没有正确配方给1分．
4．17分段指写出取得最小值为．
19．（17分）
【解析】（1）因为，所以要证是2阶友好数列，
只需证不等式对每一个大于2的正整数都成立，（1分）
只需证对每一个大于2的正整数都成立，（2分）
只需证，即对每一个大于2的正整数都成立，（4分）
这是显然成立的，所以是2阶友好数列．（5分）
又，，，所以，所以不是1阶友好数列．（6分）
（2）因为是1阶友好数列，所以对每一个大于1的正整数都成立，即对每一个大于1的正整数都成立．（10分）
令．
①由上述过程，知，所以，所以．（11分）
②要证，只需证，只需证，即证（*）．（12分）
当为奇数时，即证，
由，得，，，，此时（*）式显然成立．（14分）
当为偶数时，即证，
由，得，，，，此时（*）式也显然成立，（16分）
所以．（17分）
说明：
第（1）问：
1．1分段指写出将要证结论转化为只需证不等式对每一个大于2的正整数都成立．
2．2分段指将，，代入上式．
3．4分段指写出只需证，即对每一个大于2的正整数都成立．
4．5分段指写出是2阶友好数列．
5．6分段指给出反例证明不是1阶友好数列．
第（2）问：
1．10分段指写出对每一个大于1的正整数都成立．
2．11分段指根据累加法得到．
3．12分段指写出（*）．
4．14分段指写出当为奇数时（*）式成立，若只写出两两分组给1分．
5．16分段指写出当为偶数时（*）式成立，若只写出两两分组给1分．
6．17分段指写出．