湖南省长沙市湖南省师范大学附属中学2024-2025学年高三（上）月考数学试卷（四）（PDF版，含答案）

湖南省师范大学附属中学 2024-2025 学年高三（上）月考数学试卷（四）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2
1.已知复数 = ( 为虚数单位)，则| | =( )
2
1 3 4
A. B. C. D. 1
5 5 5
2.已知命题 ： ∈ ，2 1 < 0；命题 ： ∈ ， 2 + 1是质数，则( )
A. ， 均是真命题 B. ￢ ， 均是真命题
C. ，￢ 均是真命题 D. ￢ ，￢ 均是真命题
3.已知向量 ， 满足| | = 3，| | = 2√ 3，且 ⊥ ( + )，则 与 的夹角为( )
2 3 5
A. B. C. D.
2 3 4 6
4.有一组数据，按从小到大排列为：1，2，3，6，7，9， ，这组数据的50%分位数等于他们的平均数，
则 为( )
A. 10 B. 12 C. 14 D. 16

5.如图所示，用一个与圆柱底面成 (0 < < )的平面截圆柱，截面是一个椭圆.
2

若圆柱的底面圆半径为1， = ，则下列结论正确的是( )
3
A. 椭圆的长轴长等于2
√ 2
B. 椭圆的离心率为
2
2
C. 椭圆的标准方程可以是 + 2 = 1
4
D. 椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为4 2√ 3
6.已知函数 ( ) = 2 + 2 ，则下列函数图象关于直线 = 1对称的是( )

A. ( 1) + cos B. ( + 1) + sin
2 2

C. ( 1) + sin D. ( + 1) + cos
2 2
7.已知三棱锥 内接于直径为√ 5的球 ， = = 2，则三棱锥 的体积的最大值为( )
1 2 4
A. B. C. 1 D.
3 3 3
8.关于 的方程(25 )(5 + ) = 2024恰有两个根为 1、 2，且 1， 2分别满足3
1 = 3 1和log3( 2
1)3 = 3 2，则 1 + 2 + 的值为( )
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A. 77 + B. 57 + C. 57 D. 77
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知函数 ( ) = 与 ( ) = sin(2 + )，下列说法正确的是( )
4
1
A. 将 ( )的图象上所有点的横坐标变为原来的 ，并向左平移 个单位可以得到 ( )的图象
2 8
B. ( )与 ( )的图象存在相同的对称中心

C. ( )与 ( )在区间[ , ]上单调性相同
8 8
D. 当 ∈ [0,2 ]时， ( )与 ( )的图象有且仅有4个交点
10.已知三次函数 ( ) = 3 2 + ，( , ∈ 且 ≠ 0)，则( )
A. 当 = 时，函数 ( )为单调递增函数
1
B. 当2 = 9 时，函数 = ( )的图象关于( , 0)对称
3
C. 存在 ， ，使得函数 = ( )图象关于直线 = 对称
D. 函数 ( )有三个零点的一个充分条件是 < 4 < 0
11.已知点 为抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点， 为坐标原点，过 轴左侧一点 作抛物线 的两条切线，
切点为 、 ， 、 分别交 轴于 、 两点，设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，则下列结论一定正确的是( )
2
A. = B. ， ， ， 四点共圆 1 2
| | | | | | | |
C. = D. =
| | | | | | | |
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 ， ，且(1 )(1 + ) = 2，则 = ______．
13.若数列{ }的前 项和{ }是首项为4，公比为2的等比数列，则{ }的前 项积为______．
14.现有质量分别为1，2，3，4，5，7千克的六件货物，将它们随机打包装入三个不同的箱子，每个箱子装
入两件货物，每件货物只能装入一个箱子.则第一、二个箱子的总质量均不小于第三个箱子的总质量的概率
是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
记锐角△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，△ 的面积为 ，已知 2 + 4√ 3 = ( + )2．
(1)求角 ；
(2)若 + = 2，求 的取值范围．
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16.(本小题15分)
已知函数 ( ) = ， ( ) = ．
(1)当 = 2时，求曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程；
(2)若函数 ( )和 ( )有相同的最大值，求 的值．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， = = √ 6， = = √ 3，∠ = ∠ = 90°，
点 ， 分别是棱 ， 的中点．
(1)证明： //平面 ；
(2)若平面 ⊥平面 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
18.(本小题17分)
湖南某高中在校园艺术节举办形式多样的活动．
(1)抽奖活动规则如下：在一不透明的纸箱中有8张完全相同的卡片，其中3张写有 字母，3张写有 字母，
2张写有 字母，抽奖学生每次不放回从箱中随机取出1张卡片，若抽到写有 的卡片，则再抽1次，直至取
到写有 或 卡片为止.抽到 卡片送精美校园明信片一张，抽到 卡片送文学社设计的精美信封一个.甲同学
想要明信片，请问甲同学取到写有 卡片的概率．
(2)领福袋活动规则如下：每位同学都可以去文化长廊领取自己最喜欢的福袋，规定只能取一次，并且只可
以向前走，不能回头，长廊上一共悬挂 个福袋(每个福袋的大小不同)，福袋出现在各个位置上的概率相等，
乙同学想要摘取最大的福袋，他准备采用如下策略：不摘前 (1 ≤ < )个福袋，自第 + 1个开始，只要
发现比他前面见过的福袋都大时，就摘这个福袋，否则就摘最后一个.设 = ，记乙同学摘到最大的福袋
概率为 ．
①若 = 4， = 2，求 ；
1 1 1
②当 趋向于无穷大时，从理论的角度，求 的最大值及 取最大值时 的值. (取 + + + = ln )
+1 1
19.(本小题17分)
已知双曲线 ：4 2 2 = ，点 1( 1,1)在 上.按如下方式构造点 ( ≥ 2)：过点 1作斜率为 1的直线
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与 的下支交于点 1，点 1关于 轴的对称点为 ，记点 的坐标为( , ).
(1)求点 2， 3的坐标；
(2)记 = 2 ，证明：数列{ }为等比数列；
(3) 为坐标原点， ， 分别为线段 +2， +1 +3的中点，记△ +1 +2，△ 的面积分别为 1， 2，

求 1的值．
2
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】

12.【答案】 + ( ∈ )
4
2+ +2
13.【答案】2
2
2
14.【答案】
5
15.【答案】解：(1)因为 2 + 4√ 3 = ( + )2，
所以 2 + 2
1
2 = 4√ 3 2 = 2√ 3 2 ，
2
2
+ 2 2 2√ 3 2
由余弦定理可得 = = = √ 3 1，
2 2
所以√ 3 = 1，
1
即sin( ) = ，
6 2

在锐角△ 中， ∈ (0, )，所以 = ，
2 6 6

解得 = ；
3
(2)因为 + = 2，

由正弦定理可得 = = ，

2 2
所以 = ， = ，
√ 3 √ 3
2 2
所以 + = 2，
√ 3 √ 3
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√ 3 √ 3 √ 3 1
可得 = = = = ，
+ sin( + )+ √ 3 1

3 + + sin( + )2 2 6
2
0 < = <
在锐角三角形中，可得{ 3 2

，可得 ∈ ( , )，
0 < < 6 2
2
2 √ 3
所以 + ∈ ( , )，所以sin( + ) ∈ ( , 1]，
6 3 3 6 2
1 2√ 3
所以 = ∈ [1, ).
sin( + ) 3
3
2√ 3
即 的取值范围∈ [1, ).
3
16.【答案】解：(1)当 = 2时，则 ( ) = 2 ， ′( ) = 2 ，
可得 (1) = 2 ， ′(1) = 2 ，
即切点坐标为(1,2 )，
切线斜率 = 2 ，
所以切线方程为 (2 ) = (2 )( 1)，即( 2) + = 0．
(2) ( ) = 的定义域为 ，而 ′( ) = ，
若 ≤ 0，则 ′( ) < 0，
此时函数 ( )在 上单调递减，无最大值，不符合题意，故 > 0，
令 ′( ) = 0，得 = ，当 ∈ ( ∞, )时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
当 ∈ ( , +∞)时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
所以 ( )的最大值为 ( ) = ．
1 1
( ) = 的定义域为(0, +∞)，而 ′( ) = = ，

1 1
当 ∈ (0, )时， ′( ) > 0， ( )单调递增，当 ∈ ( , +∞)时， ′( ) < 0， ( )单调递减，

1 1
所以 ( )的最大值为 ( ) = ln 1 = 1 ．

因为 ( )和 ( )有相同的最大值，
1
故 = 1 ，整理得到 = ，其中 > 0，
1+
1 2 1 2 1
设 ( ) = , > 0，则 ′( ) = =
1+ 2 2
< 0，
(1+ ) (1+ )
故 ( )为(0, +∞)上的减函数，而 (1) = 0，
1
故 ( ) = 0的唯一解为 = 1，故 = 的解为 = 1．
1+
综上所述， = 1．
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17.【答案】(1)证明：取 的中点 ，连接 ， ，
1
因为 是 的中点，所以 // ， = ，
2
1
在矩形 中， 是 的中点，所以 // ， = ，
2
所以 // ， = ，即四边形 是平行四边形，
所以 // ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ．
(2)解：因为 = = √ 6， = = √ 3，∠ = ∠ = 90°，
所以△ ≌△ ，
由对称性知，点 在底面 上的投影落在过点 的中位线上，
以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
设 ( , , )，其中 ≥ 0， > 0， > 0，则 (0,0,0)， (3,0,0)， (3,2 , 0)， (0,2 , 0)，
因为 = √ 6， = √ 3，
所以 2 + 2 + 2 = 6，( 3)2 + 2 + 2 = 3，
两式相减可得 = 2， 2 + 2 = 2①，
所以 = (2, , )， = (3,0,0)， = (2, , )， = (3,0,0)，
= 2 + + = 0
设平面 的法向量为 1 = ( 1, , )，则{
1 1 1 1
1 1 ，
1 = 3 1 = 0
取 1 = ，则 1 = 0， 1 = ，所以 1 = (0, , )，
2 = 2 2 2 + 2 = 0设平面 的法向量为 2 = ( 2, 2, 2)，则{ ，
2 = 3 2 = 0
取 2 = ，则 2 = 0， 2 = ，所以 2 = (0, , )，
若平面 ⊥平面 ，则 2 21 2 = 0，即 = 0，
因为 > 0， > 0，所以 = ②，
由①②得 = = 1，
1 1
所以平面 的法向量为 1 = (0,1, 1)， (3,1,0)， (2,1,1)， (1, , )， 2 2
1 1
所以 = ( 2, , )，
2 2
设直线 与平面 所成角为 ，
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1 1
| 1| | |2 2 1
则 = |cos < ， 1 > | = = =| | | 1| √ 1 1 3
，
4+ + ×√ 2
4 4
1
故直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
3
18.【答案】解：(1)8张完全相同的卡片，3张写有 字母，3张写有 字母，2张写有 字母，
3 3 3 3 2 3 3 2 1 3 3
由抽取规则可知，甲同学取到写有 卡片的概率为 = + × + × × + × × × = ；
8 8 7 8 7 6 8 7 6 5 5
(2)①这4个福袋的位置从第1个到第4个排序，有 44 = 24种情况，
要摘到最大的福袋，有以下两种情况：
最大的福袋是第3个，其他的福袋随意在哪个位置，有 33 = 6种情况，
最大的福袋是最后1个，第二大的福袋是第1个或第2个，其他的福袋随意在哪个位置，有2 22 = 4种情况，
6+4 5
故所求概率为 = = ；
24 12
②记事件 表示最大的福袋被摘到，事件 表示最大的福袋在福袋中排在第 个，
1
因为最大的福袋出现在各个位置上的概率相等，所以 ( ) = ，
1
以给定所在位置的序号作为条件， ( ) = ∑ =1 ( | ) ( ) = ∑ =1 ( | )，
当1 ≤ ≤ 时，最大的福袋在前 个福袋之中，不会被摘到，此时 ( | ) = 0，
当 + 1 ≤ ≤ 时，最大的福袋被摘到，当且仅当前 1个福袋中的最大的一个在前个福袋中时，

所以 ( | ) = ， 1
1
由全概率公式知 ( ) = ∑ = ∑ 1
1
= +1 = = ln ， 1
1 1
令函数 ( ) = ln ( > 0)， ′( ) = ln ，


令 ′( ) = 0，则 = ，


当 ∈ (0, )时， ′( ) > 0，当 ∈ ( , )时， ′( ) < 0，


所以 ( )在(0, )上单调递增，在( , )上单调递减，

1
所以 ( ) = ( ) = ，
1 1 1 1
所以当 = 时， ( ) = ln 取得最大值，最大值为 ，此时 = ，即 的最大值为 ，此时 的值为 ．

19.【答案】解：(1)由题知 = 4 1 = 3，所以双曲线 ：4 2 2 = 3，
又过点 1( 1,1)斜率为 的直线方程为 = ，
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由双曲线与直线的对称性可知 1(1, 1)，所以 2(1,1)，
又过 2(1,1)，且斜率为 的直线方程为 1 = + 1，即 = + 2，
= + 2 13
由{ ，解得： = 1或 = ，
4 2 2 = 3 3
13 13 7
当 = 时， = + 2 = ，
3 3 3
13 7 13 7
所以 2( , )，所以 3( , )； 3 3 3 3
(2)证明：设 ( 1 1, 1)( ≥ 2, ∈ )，
则过 1(

1, 1)( ≥ 2, ∈ )，且斜率为 1的直线方程为 1 = ( 1)，
1 = + 1
联立{ 2 2
4 2 2
，消 得到3 8( 1 + 1) + 4( = 3 1
+ 1) 3 = 0，
8 5 8
由题有 + 1 = ( + 3 1 1)，得到 = 1 + 3 3 1，
由题知点 1( , )在直线 1 = ( 1)上，
即有 1 = + 1，
所以 = 1 + 1，因为 = 2 ，
2 2 则 = = 1
+2 2 1 ，
1 2 1 1 2 1 1
5 8
2 1 2 1 3 1+ = = 3 1
2 1 2 1
2 1 1 2 1 1
1 2
1+
= 3 3 1
1
= ，由(1)知
2 3 1
= 3，
1 1
1
所以数列{ }是以3为首项， 为公比的等比数列； 3
1
(3)由(2)知 = 2 = 3 × ( ) 1 = 32 ， 3
由4 2 2 = 3，即4
2 2
= (2 )(2 + ) = 3，
3 3
即2 + = = 2 = 3
1，
2 3
(2 + )+(2 ) 32 1 +3
则 = = ， 4 4
(2 + ) (2 ) 3
2 +3 1
= = ， 2 2
32 +3 1 32 +3 1 31 +3 31 +3
故 ( , )， ( , )， 2 4 +1 2 4
3 +3 +1 3 +3 +1 3 1+3 +2 3 1+3 +2
+2( , )， 2 4 +3( , )， 2 4
1 32 +3 1 3 +3 +1 5(3 1 3 )
从而 = ( + ) = ， 2 2 2 2
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1 32 +3 1 3 +3 +1 5(3 +3 1)
= ( + ) = ， 2 4 4 4
5(3 1 3 ) 5(3 +3 1) 5(3 3 1) 5(3 1+3 )
即 ( , )，同理 ( , )，
2 4 2 4
所以 = √ |
1
1 +1 |
2| 2 2 +2 | ( +1 +2) 2 = | 2 +1
+2 +2 +1|
1 31 +3 3 +3 +1 3 +3 +1 31 +3
= | | = 1，
2 2 4 2 4
1 1 25 25
2 = |
1
| = × |(3 3 )(3
1 + 3 ) (3 3 1)(3 + 3 1)| = ，
2 2 8 9
9
从而 1 = ．
2 25
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