云南省昆明市云南大学附中2024-2025学年高三上学期11月段考数学试卷（PDF版，含答案）

云南大学附中 2024-2025 学年高三上学期 11 月段考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数1 + 是关于 的方程 2 2 + = 0( , ∈ )的一个根，则( )
A. + 2 = 0 B. 2 = 0 C. 2 + = 0 D. 2 = 0
2.某运动员在一次训练中共射击6次，射击成绩(单位：环)如下：6，7，7，9，9，10.则下列说法正确的是
( )
A. 成绩的极差为 4 B. 成绩的第50百分位数等于成绩的平均数
C. 成绩的中位数为7和9 D. 若增加一个成绩8，则成绩的方差不变
3.空间四边形 中， = ， =
2
， = ，点 在 上， = ，点 为
3
的中点，则 =( )
1 2 1
A. +
2 3 2
2 1 1
B. + +
3 2 2
1 1
C. +
1

2 2 2
2 2 1
D. +
3 3 2
4.某圆锥母线长为1，其侧面积与轴截面面积的比值为2 ，则该圆锥体积为( )
3 √ 3 √ 3
A. B. C. D.
8 8 8 24

5.已知等比数列{ }单调递增，前 项和为 6 ， 4 5 = 3， 3 + 6 = 4，则 =( ) 3
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6.在直角坐标系 中，已知直线 = + 1与圆 2 + 2 = 4相交于 ， 两点，则△ 的面积的最大值
为( )
√ 3
A. 1 B. C. 2 D. √ 3
2
1 1
7.已知sin( + ) = , sin( ) = ，则cos2 cos2 =( )
2 3
1 1 1 1
A. B. C. D.
36 36 6 6
1
8.已知函数 ( ) = + ( > 0)，若 ( ) ≥ 0，则 最大值为( )

A. 2 B. 1 C. D. 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.已知数列{ }的前 项和为
1 2 3
，{ }满足 + 2 + 3 +
4
4 + +

= ，则( ) 2 2 2 2 2
A. 数列{ }为等比数列 B. 数列{ }为等差数列
C. 7 = 254 D. 数列{ + 1}是等比数列

10.已知函数 ( ) = sin( )( > 0)，则( )
3
1
A. 当 = 时，函数 ( )的周期为4
2

B. 函数 ( )图象的对称轴是 = + , ∈
6
1 5
C. 当 = 时， = 是函数 ( )的一个最大值点
2 3
5
D. 函数 ( )在区间(0,1)内不单调，则 >
6
11.若函数 ( ) = ( )2在 = 1处取得极大值，则( )
A. = 1，或 = 3
B. ( + 1) < 0的解集为( 1,0)

C. 当0 < < 时， ( ) > (cos2 )
2
D. (2 + ) + (2 ) = 4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办方计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、
“书”，“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，
共有______种排法．
13.紧急定位传送器是在飞机失事坠毁时发送信号，让搜救人员可以定位找到飞机的特有装置.根据某机构对
失事飞机的调查得知：失踪飞机中有70%后来被找到，在被找到的飞机中，有60%安装有紧急定位传送器；
而未被找到的失踪飞机中，有90%未安装紧急定位传送器.则在失踪飞机中，装有紧急定位传送器飞机的比
例为______(填写百分数)，现有一架安装有紧急定位传送器的飞机失踪，则它被找到的概率为______．
2 2
14.在平面直角坐标系 中，椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点分别为 1， 2，点 在椭圆 上

且∠ 1 2 = , 1的平行线 与∠ 1 2的角平分线交于 ，| | = ，则椭圆 的离心率为______． 3
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
记△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知2 = 2 ．
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(1)求 ；
(2)若 为 中点， = √ 2，∠ = 60°，求△ 的周长．
16.(本小题15分)

已知函数 ( ) = + 1．

(1)当 = 1时，证明： ( ) ≥ 0；
(2)若函数 ( )有极小值，且 ( )的极小值小于 2，求 的取值范围．
17.(本小题15分)
如图，在体积为2√ 3的三棱柱 1 1 1中，平面 1 1 ⊥平面 ， = 1 = = 2，∠ 1 = 60°．
(1)证明： 1 ⊥平面 1 1．
(2)求平面 1 与平面 1 1夹角的余弦值．
18.(本小题15分)
甲乙两支足球队进入某次杯赛决赛，比赛采用“主客场比赛制”，具体赛制如下：若某队两场比赛均获胜
或一胜一平，则获得冠军；若某队两场比赛均平局或一胜一负，则通过点球大战决出冠军.现假定甲队在主

场获胜的概率为 ，平局的概率为 ，其中0 < < 1；甲队在客场获胜和平局的概率均为 ；点球大战甲队获
2 2
胜的概率为 ，且不同对阵的结果互不影响．
1
(1)若甲队先主场后客场，且 = ，
2
( )求甲队通过点球大战获得冠军的概率；
(ⅱ)求甲队获得冠军的概率；
(2)除“主客场比赛制”外，也经常采用在第三方场地的“单场比赛制”：若某队比赛获胜则获得冠军；若

为平局，则通过点球大战决出冠军.假定甲队在第三方场地获胜的概率为 2，平局的概率为 ，点球大战甲队
2
获胜的概率为 .问哪种赛制更有利于甲队夺冠？
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19.(本小题17分)
25 5
如图所示， ( , )， ( , )是抛物线
2
= 上的一系列点，其中 1(1,1)， 2( , )，记直线 、9 3 1
3
+1的斜率分别为 、 ， = ． 1 1 +1 2 1
(1)证明{ +1 }是等比数列，并求出数列{ }的通项公式；
(2)记△ +1 +2的面积为 ，求 ；
9 1 2 3
(3)若 = ln ，
2
+1 = + ， 1 = 1.求证： + + + + < 1． 5 1 1 2 2 2 3 3 3
注：△ 中，若
1
= ( 1, 1)， = ( 2, 2)，则△ 面积 △ = | 1 2 2 1|. 2
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】144
14
13.【答案】45%
15
2√ 7
14.【答案】
7
15.【答案】解：(1)由2 = 2 及余弦定理，
2 2 2 2 2 2 + +
可得2 = 2 ，
2 2
整理得 2 + 2 2 = 2 2 2 + 2，
即2 2 = ，又 > 0，
所以 = 2；
(2)由2 = 2 及 = 2，可得 = 2 4 ，
在△ 中，由余弦定理，
2+1 2 2
可得 = 2 4 = 2 4 = ，
2
整理得 = 2，
由余弦定理，得 2 = 2 + 2 2 ∠ ，
所以4 = 2 + 2 = ( + )2 3 ，
因此 + = √ 10，
所以△ 的周长为√ 10 + 2．
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16.【答案】解：(1)证明：要证 ( ) ≥ 0，
需证 ( ) ≥ 0．
1
当 = 1时， ( ) = + 1，函数定义域为(0,+∞)，

1 1 1
可得 ′( ) = = ，
2 2
当0 < < 1时， ′( ) < 0， ( )单调递减；
当 > 1时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
所以当 = 1时， ( )取得极小值，也是最小值，最小值 (1) = 0，
则 ( ) ≥ 0；

(2)因为 ( ) = + 1，函数定义域为(0,+∞)，

1
可得 ′( ) = = ，
2 2
当 ≤ 0时， > 0， ′( ) > 0， ( )单调递增；
当 > 0时，
当0 < < 时， ′( ) < 0， ( )单调递减；
当 > 时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
所以 ( )极小值 = ( ) = ，
此时 < 2 + ，
即 2 + < 0．
设 ( ) = 2 + ，函数定义域为(0,+∞)，且 (1) = 0．
1 1
可得 ′( ) = 2 + 1 ≥ 2√ 2 1 = 2√ 2 1 > 0，

1 √ 2
当且仅当2 = 时，即 = 时， ′( )
2
= 2√ 2 1，
所以，函数 ( )在(0,+∞)单调递增，
因为 ( ) < (1)，
所以0 < < 1．
则实数 的取值范围为(0,1)．
17.【答案】(1)证明：取 的中点 ，连接 1，由△ 1 为正三角形，得 1 ⊥ ，
因为平面 1 1 ⊥平面 且交于 ，所以 1 ⊥平面 ，
即 1为该三棱柱的高，
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因为三棱柱 1 1 1的体积 = △ 1 = 2√ 3，且 1 = √ 3，
所以 △ = 2，
1
因为 △ = ∠ = 2，所以∠ = 90°，即 ⊥ ， 2
又因为平面 1 1 ⊥平面 = ， 平面 ，可得 ⊥平面 1 1，
因为 1 平面 1 1，所以 ⊥ 1，
因为 // 1 1，所以 1 ⊥ 1 1，
在菱形 1 1中， 1 ⊥ 1 ，
又因 1 ∩ 1 1 = 1， 1 平面 1 1， 1 1 平面 1 1，
所以 1 ⊥平面 1 1；
(2)解：如图，
过 作直线 平行于 交 于 ，
以 为原点，以 , , 1的方向分别为 ， ， 轴的正方向建立空间直角坐标系，
则 ( 1,0,0)， (1,0,0)， ( 1,2,0)， 1( 2,0, √ 3)，
设平面 1 的法向量为 = ( 1, 1, 1)，
因为 1 = ( 3,0,√ 3), 1 = (1,2, √ 3)，
1 = 3 所以{ 1
+ √ 3 1 = 0 ，
1 = 1 + 2 1 √ 3 1 = 0
令 1 = 1，得 = (1,1, √ 3)，
设平面 1 1的法向量为 = ( 2, 2, 2)，
因为 1 = ( 1,0, √ 3), 1 = (1,2, √ 3)，

所以{ 1
= 2 + √ 3 2 = 0 ，
1 = 2 + 2 2 √ 3 2 = 0
令 2 = √ 3，得 = (√ 3, 0,1)，
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因为 = 1 × √ 3 + 1 × 0 + √ 3 × 1 = 2√ 3，| | = √ 12 + 12 + (√ 3)2 = √ 5，| | =
√ (√ 3)2 + 02 + 12 = 2，
2√ 3 √ 15
所以cos < ， >= = = ，
| | | | √ 5×2 5
所以平面 1 与平面 1
√ 15
1夹角的余弦值为 ．
5
18.【答案】解：(1)( )记甲队通过点球大战获得冠军为事件 ，
则事件 包含甲队主胜客负、主负客胜、主平客平，然后点球获胜，
∴甲队通过点球大战获得冠军的概率为：
3 1 1 1 3
( ) = [ (1 ) + (1 ) + )] = 2(1 )，
2 2 2 2 2
1
∵ = ，
2
3 1 1 3
∴ ( ) = × × = ，
2 4 2 16
3
∴甲队通过点球大战获得冠军的概率为 ．
16
( )记甲队获得冠军为事件 ，
事件 包含甲队点球获胜、主胜客胜、主胜客平、主平客胜，
∴甲队获得冠军的概率为：
3 1 1 1 1 11 3
( ) = 2(1 ) + + + = 2 3，
2 2 2 2 2 4 2
1 11 3 11 1 3 1 1
将 = 代入，得 ( ) = 2 3 = × × = ，
2 4 2 4 4 2 8 2
1
∴甲队获得冠军的概率为 ．
2
(2)由题意，记在“单场比赛制”下，甲队获得冠军为事件 ，
事件 包含甲队胜，甲队平同时点球胜，
1 3
∴ ( ) = 2 + = 2，
2 2
1 2
∵ 0 < + < 1，∴ 0 < < ，
2 3
1 7
此时0 < 2 + < 满足题意，
2 9
11 2 3 3 3 5 3 ( ) ( ) = 2 = 2 3
1
= 2(5 6 )，
4 2 2 4 2 4
2 1
∵ 0 < < ， 2 > 0，5 6 > 0，
3 4
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1
∴ ( ) ( ) = 2(5 6 ) > 0，
4
∴“主客场比赛“比“单场比赛制”更有利于甲夺冠．
( ) + 119.【答案】解：(1)证明：因为 = 1 =
1
2 2 = ， 1 1 1 1
1
同理得 = ， +1 +1
3
因为 = ， +1 2 1
2
所以 +1 = ( )， 3 1
2
又 2 1 = ， 3
2
所以 +1 = ( ) ， 3
2 2
则{ +1 }是首项为 ，公比为 的等比数列， 3 3
2 2 2 2
所以 = ( 1) + (
1 2 1
1 2) + + ( 2 1) + 1 = ( ) + ( ) + + ( ) + 1 = 3 3( ) ； 3 3 3 3
2 2 2
(2)由(1)知， +1 = ( +1 , +1
2 2 2
) = ( +1 , +1 ) = (6( ) 5( ) , ( ) )， 3 3 3
2 2
令 = ( ) ∈ (0, ],
3 3
此时 = (6 5 2 +1 , )，
20 2
同理得 2 +2 = (4 , )， 9 3
1 2 20 5
所以 △ = | (6 5
2) (4 2)| = 3，
+1 +2 2 3 9 9
5 2
即 = ( )
3 ；
9 3
9 2
(3)证明：因为 = ln = 3 ， 5 3
1 1 1 1 1 1 1
所以 = =
2
< 2 < 2 = = ，
3 3 3( 1)
+1 +1
3 3 3
1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1
则 + + + + < ( ) + ( ) + + ( ) = < = 1．
1 1 2 2 2 3 3 3 1 2 2 3 +1 1 +1 1
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