广西壮族自治区南宁桂鼎学校2025届高三上学期段考数学试卷（含答案）

广西南宁桂鼎学校 2025 届高三上学期段考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知{1,3} {1,2,3,4,5}的集合 的个数是( )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
4+
2.复数 = 在复平面内对应的点位于( )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2 3
3.若正实数 ， .且 + 2 = 1，则 + 的最小值为( )

A. 2 B. 3 + 2√ 2 C. 5 + 2√ 6 D. 7 + 4√ 3
4.已知角 的终边过点(3, 4)，则 2 的值为( )
7 24 7 24
A. B. C. D.
25 25 25 25
5.已知 = log 0.2 0.330.2， = 3 ， = 0.2 ，则( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
6.已知向量 ， 满足，| | = 1，| | = √ 3，|2 | = √ 3，则cos < ， >=( )
√ 3 √ 3 1 √ 3
A. B. C. D.
3 2 2 2
2 + (4 3) + 3 , > 0
7.已知函数 ( ) = { ( > 0且 ≠ 1)在 上单调递增，则 的取值范围是( )
(1 ), ≤ 0
1 3 3 3 1 3
A. [ , ] B. (0, ] C. [ , 1) D. ( , ]
3 4 4 4 3 4

8.已知函数 ( ) = sin(2 + )( < < )的图象关于 = 对称，则 =( )
2 2 3

A. B. C. D.
6 6 3 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0, | | < )2 的部分图象如图所示，则下列
说法正确的是( )
A. = 2

B. =
3

C. = 是曲线 = ( )的一条对称轴
6

D. ( )在区间[ , ]上单调递增
2 6
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2 2
10.已知椭圆 ： + = 1， 1， 2分别为它的左右焦点，点 是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有25 9
( )
9
A. 椭圆离心率为
25
B. | 1| + | 2| = 10
C. 若∠ 1 2 = 90°，则△ 1 2的面积为9
1 1 10
D. + 最大值为
| 1| | 2| 9
11.下列选项正确的是( )
A. 若样本数据 1， 2， ， 20的方差为1，那么数据3 1 5，3 2 5， ，3 20 5的方差为 2

B. 经验回归方程为 = 0.1 + 时， 与 正相关
1
C. 若随机变量 服从两点分布，那么 ( )最大值是
4
D. 数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的50%分位数是5
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
3
12.已知 = 2，则 = ______．
2 +3
1+
13.已知数列{ }满足 =
1
( ≥ 2, ∈ )，若 = 2，则 1 1 2024 = ______． 1
1
14.已知展开式( 2 ) 的二项式系数之和为32，则该展开式中 的系数为______．

四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
1
已知数列{ }的首项为 1 = ，且满足 +1 + 2 3 +1 = 0．
1
(1)证明数列{ }为等差数列，并求{ }的通项公式；
(2)求数列{ +1}的前 项和 ．
16.(本小题15分)
+
已知△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 = ．
2
(1)求 ；
(2)若△ 为锐角三角形，且 = √ 3，求△ 周长的取值范围．
17.(本小题15分)
中国共产党第二十届中央委员会第三次全体会议，于2024年7月15日至18日在北京举行.全会提出，中国式
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现代化是物质文明和精神文明相协调的现代化.必须增强文化自信，发展社会主义先进文化，弘扬革命文化，
传承中华优秀传统文化，加快适应信息技术迅猛发展新形势，培育形成规模宏大的优秀文化人才队伍，激
发全民族文化创新创造活力.为此，某学校举办了“传承中华优秀传统文化”宣传活动，学校从全体学生中
抽取了100人对该宣传活动的了解情况进行问卷调查，统计结果如下：
男 女 合计
了解 20
不了解 20 40
合计
(1)将列联表补充完整；
(2)根据 = 0.05的独立性检验，能否认为该校学生对该宣传活动的了解情况与性别有关联？
(3)若把上表中的频率视作概率，现从了解该活动的学生中随机抽取3人参加传统文化知识竞赛.记抽取的3人
中女生人数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望．
2
( )
附： 2 = ，其中， = + + +
( + )( + )( + )( + )
( 2 ≥ 0) 0.100 0.050 0.010 0.001
0 2.706 3.841 6.635 10.828
18.(本小题17分)
在四棱锥 中， ⊥平面 ，底面 是正方形， = = 2，点 是棱 上一动点．
(1)求证：平面 ⊥平面 ；
(2)当 为 中点时，求点 到平面 的距离．
19.(本小题17分)
已知函数 ( ) = (1 + ) + ， ∈ ．
(Ⅰ)当 = 2时，求曲线 = ( )在点( , ( ))处的切线方程；
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(Ⅱ)当 = 1时，求 ( )的极值；
(Ⅲ)若 ( ) ≤ + 2恒成立，求 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
1
12.【答案】
7
1
13.【答案】
3
14.【答案】 10
1
15.【答案】解：(1)由数列{ }的首项为 1 = ，且满足 3 +1 + 2 +1 = 0，
得 ≠ 0，则 +1 = 2 +1，
1 1
两边同时除以 +1，可得 = 2， +1
1 1
所以数列{ }是首项 = 3，公差为2的等差数列，
1
1 1
= 3 + 2( 1) = 2 + 1，所以

= ．
2 +1
1 1 1 1
(2)由(1)知 +1 = = ( )， (2 +1)(2 +3) 2 2 +1 2 +3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
所以 = ( + + + ) = ( ) = ． 2 3 5 5 7 2 +1 2 +3 2 3 2 +3 6 +9
+
16.【答案】解：(1)由题设及正弦定理得 = ，
2
+
因为 ≠ 0，所以sin = ，
2
+
由 + + = 180°，可得sin = cos ，
2 2

故cos = 2 cos ，
2 2 2
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1
因为cos ≠ 0，故sin = ，因此 = 60°．
2 2 2
√ 3
(2)由正弦定理2 = = = = = 2得 = 2 ， = 2 ，
√ 3
2
2 2
因为 = ，则 + = ， = ，
3 3 3
2
所以 + = 2 + 2 ( ) = 3 + √ 3 = 2√ 3sin( + )，
3 6
2 √ 3
因为△ 为锐角三角形，则 ∈ ( , )， + ∈ ( , )，sin( + ) ∈ ( , 1],
6 2 6 3 3 6 2
故 + ∈ (3,2√ 3],
所以△ 周长的取值范围(3 + √ 3, 3√ 3]．
17.【答案】解：(1)由题可得，列联表如下：
男 女 合计
了解 40 20 60
不了解 20 20 40
合计 60 40 100
(2)零假设为 0：该校学生对该宣传活动的了解情况与性别无关联，
2
2 100(40×20 20×20) 25则 = = ≈ 2.778 < 3.841，
60×40×40×60 9
根据小概率值 = 0.05的独立性检验，没有充分证据推断 0不成立，
因此可以认为 0成立，即认为该校学生对该宣传活动的了解情况与性别无关联；
20 1
(3)由题意，从了解该活动的学生中随机抽取1人，则抽到女生的概率为 = ，
60 3
1
所以 ～ (3, )，
3
1 3 8则 ( = 0) = (1 ) = ，
3 27
1 1 4
( = 1) = 1 23 × × (1 ) = ， 3 3 9
1
( = 2) = 2 2
1 2
3 × ( ) × (1 ) = ， 3 3 9
1 1
( = 3) = ( )3 = ，
3 27
所以 的分布列为：
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0 1 2 3
8 4 2 1

27 9 9 27
1
则 ( ) = = 3 × = 1．
3
18.【答案】(1)证明：因为 是正方形，所以 ⊥ ，
又因为 ⊥平面 ， 平面 ，
所以 ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
又因为 平面 ，
所以平面 ⊥平面 ；
(2)解：以 为原点，建立如图所示的空间坐标系：
因为 = = 2， 为 中点，
所以 (0,0,0)， (2,0,0)， (2,2,0)， (0,2,0)， (1,1,1)， (0,0,2)，
所以 = ( 2,2,0)， = ( 1,1,1)， = (2,0,0)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
= 2 + 2 = 0
则{ ，
= + + = 0
取 = 1，则 = (1,1,0)，
设点 到平面 的距离为 ，
| | 2
则 = = = √ 2．
| | √ 2
19.【答案】解：(Ⅰ)当 = 2时， ( ) = ， ′( ) = ， ′( ) = 1， ( ) = 0，
故曲线 = ( )在点( , ( ))处的切线方程为 = ．
(Ⅱ)当 = 1时， ( ) = 2 + ( > 0)，则 ′( ) = 3 + ，
令 ′( ) < 0，得0 < < 3，令 ′( ) > 0，得 > 3，
所以 ( )在(0, 3)上单调递减，在( 3 ,+∞)上单调递增，
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所以 ( ) = ( 3) = 3极小值 ，无极大值．
(Ⅲ)令 ( ) = (1 + ) + 2，
由 (1) ≥ 0，得 1 (1 + ) + 1 = 1 ≥ 0，
令 ( ) = 1 ，则 ( )在 上单调递减，
又 (1) = 1 1 = 0，故 ≤ 1．
下面证明当 ≤ 1时， ( ) ≥ 0．
易知 (1 + ) + 2 ≥ 1 2 + 2，
设 ( ) = 1，则 ′( ) = 1，
当 ∈ ( ∞, 0)时， ′( ) < 0，当 ∈ (0,+∞)时， ′( ) > 0，
故 ( )在( ∞, 0)上单调递减，在(0, +∞)上单调递增，
则 ( ) ≥ (0) = 0，即 ≥ + 1，
1 1
设 ( ) = + 1( > 0)，则 ′( ) = 1 = ，

当 ∈ (0,1)时， ′( ) > 0，当 ∈ (1, +∞)时， ′( ) < 0，
故 ( ) = (1) = 0，则 + 1 ≤ 0，即 ≥ 1，
故 1 2 + 2 = 1 2 + ( ) ≥ 2 + = 0，则 ( ) ≥ 0，
故所求 的取值范围是( ∞, 1]．
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