2024-2025学年北京市海淀区八一学校高三上学期12月月考数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年北京市海淀区八一学校高三上学期12月月考数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 37.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-12-20 08:42:45 | ||
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文档简介
2024-2025学年北京市海淀区八一学校高三上学期12月月考数学试题
一、单选题：本大题共10小题，共50分。
1.已知集合，，且，那么的值可以是
A. B. C. D.
2.下列函数中，定义域为的奇函数是( )
A. B. C. D.
3.已知双曲线的一个焦点是，则其渐近线的方程为( )
A. B. C. D.
4.已知函数，则下列结论错误的是( )
A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称
C. 的一个零点为 D. 在上单调递减
5.已知半径为的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为 ．
A. B. C. D.
6.已知与是非零向量，且，则是与垂直的( )
A. 充分不必要条件； B. 必要不充分条件；
C. 充要条件； D. 既不充分也不必要条件．
7.已知直线与圆有公共点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.直线过点且与双曲线仅有一个公共点，则这样的直线有( )
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
9.已知点是抛物线上的动点，设点到此抛物线的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是( )
A. B. C. D.
10.已知圆与圆交于、两点，则为圆的圆心面积的最大值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11.已知，其中为虚数单位，，则 ．
12.设等比数列的各项均为正数，其前项和为若，则 ； ．
13.已知正方形的边长为，以为圆心的圆与直线相切．若点是圆上的动点，则的最大值是 ．
14.已知，且双曲线与椭圆有共同的焦点，则双曲线的离心率为 ．
15.给定曲线为曲线，点为曲线上任一点，给出下列结论：
；
点在圆的内部；
曲线关于原点对称，也关于直线对称；
曲线至少经过个整点即横、纵坐标均为整数的点．
其中正确命题的序号为 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知函数．
求函数的最小正周期；
若对恒成立，求实数的取值范围．
17.在中，内角所对的边分别为，．
求；
再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上高线的长．
条件：；
条件：；
条件：．
注：如果选择的条件不符合要求，第问得分；如果选择多个要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
18.已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
是否存在，使得曲线在点和点处的切线互相垂直？并说明理由参考数据：
19.已知函数．
设是的极值点．求的值，并讨论的零点个数；
证明：当时，．
20.已知椭圆的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形，且其周长为．
求椭圆的方程
设过点的直线与椭圆相交于两点，点关于原点的对称点为，若点总在以线段为直径的圆内，求的取值范围．
21.设数列：已知，定义数表，其中
若，写出；
若是不同的数列，求证：数表满足“”的充分必要条件为“”；
若数列与中的共有个，求证：数表中的个数不大于．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.解：Ⅰ函数
，
所以函数的最小正周期为．
Ⅱ对恒成立，所以，
由于，所以，
当时，即时，，
即时，故实数的取值范围为．
17.解：因为，
由正弦定理可得，
又，则 ，
所以，则，
又，解得；
若选条件：，
由正弦定理知，可得，
又，故满足所选条件的三角形不存在，不满足题意；
若选条件：，
由余弦定理可得， ，
即得负值舍去，所以满足条件的三角形唯一，
设边上的高为，
由三角形等面积法可知 ，
即，解得 ，
故边上高线的长为 ．
若选条件：，
由正弦定理可得，即，
所以，
又，解得或，有两解，不符合题意，
综上，应该选， 边上高线的长为 ．
18.解：Ⅰ的导数为，
可得曲线在点处的切线斜率为，
切点为，
所以切线的方程为；
Ⅱ设，，
由，可得，
在递减，在递增，
，，，
所以时，，
若切线相互垂直，则存在，，且，
存在这样的，，使得，．
19.的定义域为，
，
由题设知，，所以，
从而，
当时，；当时，，
可得在上单调递减，在上单调递增，
，
由易知，由零点存在定理可得函数有两个零点
证明：当时，；
设，则，
当时，；当时，，
是的极小值点，也是最小值，
故当时，，
因此，当时，
20.解：由题意得．
因为，所以，
所以椭圆的方程为．
当直线的斜率不存在时，由题意知的方程为，
此时，为椭圆的上下顶点，且．
因为点总在以线段为直径的圆内，且，
所以．
当直线的斜率存在时，设的方程为．
由，得
．
因为直线与椭圆有两个公共点，
即．
设，
则．
设的中点为，
则．
所以，
所以
，
．
因为点总在以线段为直径的圆内，所以对于恒成立，
所以，
将其化简，可得，将其整理，可得，
而，
当且仅当时，等号成立，所以．
又因为，所以．
综上，可知实数的取值范围是．
21.将代入计算可得．
证明：
充分性：
若，由于
令，由此数列．
由于．
从而有，即充分性成立；
必要性：
若．
由于是不同的数列，
设，对任意的正整数，
若，可得，
所以．
若，可得，
所以．
同理可证时，有成立．
设，对任意的正整数，
若，可得，
所以有，则是相同的数列，不符合要求．
若，可得，
所以有，则是相同的数列，不符合要求．
同理可证时，是相同的数列，不符合要求．
综上，数表满足“”的充分必要条件为“”；
证明：
由于数列中的共有个，设中的个数为，因此中的个数为，中的个数为，中的个数为，
若，则数表的第行为数列，
若，则数表的第行为数列；
所以数表中的个数为；
因此，数表中的个数不大于．
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一、单选题：本大题共10小题，共50分。
1.已知集合，，且，那么的值可以是
A. B. C. D.
2.下列函数中，定义域为的奇函数是( )
A. B. C. D.
3.已知双曲线的一个焦点是，则其渐近线的方程为( )
A. B. C. D.
4.已知函数，则下列结论错误的是( )
A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称
C. 的一个零点为 D. 在上单调递减
5.已知半径为的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为 ．
A. B. C. D.
6.已知与是非零向量，且，则是与垂直的( )
A. 充分不必要条件； B. 必要不充分条件；
C. 充要条件； D. 既不充分也不必要条件．
7.已知直线与圆有公共点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.直线过点且与双曲线仅有一个公共点，则这样的直线有( )
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
9.已知点是抛物线上的动点，设点到此抛物线的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是( )
A. B. C. D.
10.已知圆与圆交于、两点，则为圆的圆心面积的最大值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11.已知，其中为虚数单位，，则 ．
12.设等比数列的各项均为正数，其前项和为若，则 ； ．
13.已知正方形的边长为，以为圆心的圆与直线相切．若点是圆上的动点，则的最大值是 ．
14.已知，且双曲线与椭圆有共同的焦点，则双曲线的离心率为 ．
15.给定曲线为曲线，点为曲线上任一点，给出下列结论：
；
点在圆的内部；
曲线关于原点对称，也关于直线对称；
曲线至少经过个整点即横、纵坐标均为整数的点．
其中正确命题的序号为 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知函数．
求函数的最小正周期；
若对恒成立，求实数的取值范围．
17.在中，内角所对的边分别为，．
求；
再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上高线的长．
条件：；
条件：；
条件：．
注：如果选择的条件不符合要求，第问得分；如果选择多个要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
18.已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
是否存在，使得曲线在点和点处的切线互相垂直？并说明理由参考数据：
19.已知函数．
设是的极值点．求的值，并讨论的零点个数；
证明：当时，．
20.已知椭圆的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形，且其周长为．
求椭圆的方程
设过点的直线与椭圆相交于两点，点关于原点的对称点为，若点总在以线段为直径的圆内，求的取值范围．
21.设数列：已知，定义数表，其中
若，写出；
若是不同的数列，求证：数表满足“”的充分必要条件为“”；
若数列与中的共有个，求证：数表中的个数不大于．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.解：Ⅰ函数
，
所以函数的最小正周期为．
Ⅱ对恒成立，所以，
由于，所以，
当时，即时，，
即时，故实数的取值范围为．
17.解：因为，
由正弦定理可得，
又，则 ，
所以，则，
又，解得；
若选条件：，
由正弦定理知，可得，
又，故满足所选条件的三角形不存在，不满足题意；
若选条件：，
由余弦定理可得， ，
即得负值舍去，所以满足条件的三角形唯一，
设边上的高为，
由三角形等面积法可知 ，
即，解得 ，
故边上高线的长为 ．
若选条件：，
由正弦定理可得，即，
所以，
又，解得或，有两解，不符合题意，
综上，应该选， 边上高线的长为 ．
18.解：Ⅰ的导数为，
可得曲线在点处的切线斜率为，
切点为，
所以切线的方程为；
Ⅱ设，，
由，可得，
在递减，在递增，
，，，
所以时，，
若切线相互垂直，则存在，，且，
存在这样的，，使得，．
19.的定义域为，
，
由题设知，，所以，
从而，
当时，；当时，，
可得在上单调递减，在上单调递增，
，
由易知，由零点存在定理可得函数有两个零点
证明：当时，；
设，则，
当时，；当时，，
是的极小值点，也是最小值，
故当时，，
因此，当时，
20.解：由题意得．
因为，所以，
所以椭圆的方程为．
当直线的斜率不存在时，由题意知的方程为，
此时，为椭圆的上下顶点，且．
因为点总在以线段为直径的圆内，且，
所以．
当直线的斜率存在时，设的方程为．
由，得
．
因为直线与椭圆有两个公共点，
即．
设，
则．
设的中点为，
则．
所以，
所以
，
．
因为点总在以线段为直径的圆内，所以对于恒成立，
所以，
将其化简，可得，将其整理，可得，
而，
当且仅当时，等号成立，所以．
又因为，所以．
综上，可知实数的取值范围是．
21.将代入计算可得．
证明：
充分性：
若，由于
令，由此数列．
由于．
从而有，即充分性成立；
必要性：
若．
由于是不同的数列，
设，对任意的正整数，
若，可得，
所以．
若，可得，
所以．
同理可证时，有成立．
设，对任意的正整数，
若，可得，
所以有，则是相同的数列，不符合要求．
若，可得，
所以有，则是相同的数列，不符合要求．
同理可证时，是相同的数列，不符合要求．
综上，数表满足“”的充分必要条件为“”；
证明：
由于数列中的共有个，设中的个数为，因此中的个数为，中的个数为，中的个数为，
若，则数表的第行为数列，
若，则数表的第行为数列；
所以数表中的个数为；
因此，数表中的个数不大于．
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