2024-2025学年湖北省云学部分重点高中高一12月联考数学试题（含答案）

2024-2025学年湖北省云学部分重点高中高一12月联考
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则( )
A. B. C. D.
3.已知，为实数，下列命题为真命题的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
4.已知定义在上的函数满足：为奇函数，为偶函数，当时，，则( )
A. B. C. D.
5.定义在上的奇函数满足：，且，都有，，则满足不等式的实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
6.已知幂函数是定义域上的奇函数，则满足的实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
7.已知且，函数在上单调递增，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知方程在上有实根，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 命题：“，”的否定是“，”
B. “”是“”的一个必要不充分条件
C. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为
D. 函数的值域为
10.下列说法正确的是( )
A. 函数的最小值为
B. 已知正实数，满足，则的最大值为
C. 已知正实数，满足，则的最小值为
D. 已知实数，，且满足，则的最大值为
11.已知函数的图像在上是连续的，定义，，则下列说法正确的是( )
A. 若，，则，，，
B. 设，，若，则实数的取值范围为
C. 设，，若，则实数的取值范围为
D. 已知，若对任意恒成立，则实数的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，则 ．
13.已知函数，关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为
14.记数集中的最小元素与最大元素的算术平均数为集合的“均值”，特别地，集合的“均值”为已知集合，对于集合任意一个非空子集，记其“均值”为，则所有这样的的算术平均数为
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
计算：
16.本小题分
已知函数的定义域为，集合
若，求，
若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围
17.本小题分
已知为定义在上的奇函数，且满足当时，
求的解析式
判断函数在区间上的单调性，并用定义证明
18.本小题分
一般的，设函数定义域为，若对任意，都有，则函数的图像关于点成中心对称图形已知函数，
计算的值，并求的对称中心
若函数的值域为，求实数的取值范围
若，将区间分成等分，记等分点的横坐标分别为，，，，问：是否存在正整数，使得不等式对任意恒成立，若存在，求出所有的值若不存在，说明理由
19.本小题分
对于函数，我们把满足的实数叫做函数的不动点，满足的实数叫做函数的稳定点，记函数的不动点的集合为，函数的稳定点的集合为
求函数的不动点
若为定义在上的单调递增函数，求证：
设，若恰好有两个稳定点，，且对任意，都有，求实数的取值范围
参考答案
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15.解：原式
；
原式
．
16.解：由得，所以，
当时，，所以，
，
；
由题意知，
若，则，解得；
若，则，解得，
综上所述，实数的取值范围为．
17.解：
函数是定义在上的奇函数，当时，，
设，则，，，
则函数．
函数在上单调递增证明如下：
由题可知，当时，，
设，则
又，，，，
则函数在上单调递增．

18.解：，
所以的对称中心为
由题意知的值能取遍每一个正数，
若，则，其值能取遍每一个正数，符合题意；
若，则，解得．
综上所述，实数的取值范围为
当时，，
，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为，
因为图像关于点对称，区间关于对称，所以，
，，，，
所以
所以，解得．
所以存在正整数数，，，符合题意．
19.解：令得，得或，
所以函数的不动点为和；
首先，有，所以，所以，所以，
其次，，有，因为单调递增，
若，则，与矛盾，舍；
若，则，与矛盾，舍，
若，则，满足题意．
所以，所以，所以，
综上所述，；
因为恰好有两个稳定点，
令得，
所以该方程有且仅有两个不等实数根，
若，则该方程为，其仅有一个实根，不合题意；
若，则和一定是该方程的两个不同的根，
所以要么无实根，要么有实根且实根只能为或，
当方程无实根时，，解得，
当方程有根为时，，解得，
此时方程为，其根为，符合题意；
当方程有根为时，，解得，
此时方程为，其根为，符合题意，
综合得且，
又，都有，
令有，，
所以，得，
所以，，所以，所以，
而当时，的对称轴且即，
所以在上，的值域为即，
又，即，
所以的值域为即，
而，即即成立，
综上所述，实数的取值范围为．
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