2024-2025学年安徽省江南十校高二上学期12月联考数学试题（含答案）

2024-2025学年安徽省江南十校高二上学期12月联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，，，则( )
A. B. C. D.
2.条件，，条件方程表示的曲线是椭圆，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.若点是直线和的公共点，则相异两点和所确定的直线方程是( )
A. B. C. D.
4.六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途六氟化硫分子结构为正八面体结构正八面体每个面都是正三角形，可以看作是两个棱长均相等的正四棱锥将底面重合的几何体如图所示，在正八面体中，是的重心，记，，，，则等于( )
A. B.
C. D.
5.已知是直线的方向向量，直线经过点，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
6.已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
7.焦点为的抛物线上有一点不与原点重合，它在准线上的投影为。设直线与抛物线交于，两点，若，则的面积为( )
A. B. C. D.
8.若圆为双曲线的“伴随圆”，过的左焦点与右支上一点，作直线交“伴随圆”于，，若，则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.给出下列命题，其中真命题为( )
A. 过点与坐标轴围成三角形的面积为的直线有且仅有条
B. 已知点，，则满足到点距离为，到点距离为的直线有且仅有条
C. 过点与抛物线仅有个公共点的直线有条
D. 过双曲线的右焦点被截得线段长为的直线有且仅有条
10.已知正方体的棱长为，动点满足，且，，，下列说法正确的是( )
A. 当，，时，的最小值为
B. 当，，时，三棱锥的体积为
C. 当，，时，经过，，三点截正方体所得截面面积的取值范围是
D. 当，且时，则的轨迹总长度为
11.过抛物线上一点作斜率分别为，的两条直线，与分别交于，两点异于点，则( )
A. 过点与相切的直线方程为
B. 若点，关于轴对称，则为定值
C. 若，则直线经过定点
D. 分别以，，为切点作抛物线的三条切线，，，若，两点的横坐标相等，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.抛物线的焦点坐标是 ．
13.蓄有水的圆柱体茶杯，适当倾斜能得到椭圆形水面，当椭圆形水面与圆柱底面所成的二面角为时，则水面椭圆的离心率为 ．
14.如图，在正方体中，，分别为棱和上的点，则与所成角的余弦值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆的圆心在直线上，且经过，两点过定点的动直线与圆交于，两点，为坐标原点．
求圆的标准方程
求的最大值．
16.本小题分
已知双曲线的离心率，左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，与轴交于点，且，．
求双曲线的方程
过右焦点且倾斜角为的直线交双曲线于，两点，若的中点为，为坐标原点，直线交直线于点，求的最小值．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面底面，是边长为的正三角形，，分别是线段和上的点，．
试确定点的位置，使得平面，并证明
若直线与平面所成角的正切值为，求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
如图，已知椭圆与椭圆有相同的离心率，在上，过点的两条不重合的直线，与椭圆相交于，两点，与椭圆相交于，和，四点．
求椭圆的标准方程
求证：
设直线，的倾斜角互补，求证：．
19.本小题分
设和是空间中的两个不同点，则，，三点共线的充要条件是存在实数，使得，并且每个实数唯一对应直线上的点仿照上面定义，设，，是共线的三个不同点，定义点关于点，的分比为．
设，为空间中任意取定的一点，求证：
若，，，是共线的四个不同点，满足，求的值
如图，设，和分别是的边，和上的点，若三条直线，和交于一点，求证：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：易求，中点坐标为，，
故AB中垂线为，即，
与联立解得圆心点坐标为，
圆的半径，
故圆，
设，中点坐标为，
，故点在为直径的圆上，
设中点，以为直径的圆的方程：，
即，
故，
当且仅当，，三点共线时取等号，
故．
16.解：由题意结合双曲线的对称性可知，得，即轴，
把
代入方程，可得，
又，，即，又
解得，，双曲线的方程为：
设直线的方程为：，联立方程，
化简得
设，则，，结合直线的方程得，
即中点坐标为，
于是，
倾斜角，
当时，，
直线方程为：，
令得，此时，
于是， 令，
则，
因为在上单调增，即在上单调减，
亦即在上单调增，
所以当即时，取得最小值，
综上：的最小值为．
17.解：取为三等分点，且，
过作，则，
所以为平行四边形，所以，
又面，面，
所以平面，证毕
由题意平面底面，平面底面，所以面，
所以直线与平面所成角的平面角为，
在中，由，得．
设中点为，设中点为，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
设平面的一个法向量为，
由
取，可得，
易求平面法向量，
设平面与平面夹角为，
则，，
故平面与平面夹角的余弦值为．
18.解：由题意知，，
又在椭圆上，，
，，
故椭圆
若斜率不存在或为，由对称性知：；
若斜率存在且不为，设中点为，，，
则，
得：
，
．，即，
设中点为，同理可得：，
又，故与重合．
，，，得证．
由题意可知，不垂直于轴．
由知：，同理，，
同理，即证：．
设直线，
代入，整理得：．
设，，则，．
，
因为直线，的倾斜角互补，则的斜率为，
同理可得，得证．
19.解：，
，
，
设，即，
，，是共线的三个不同点，
故．
所以，
，
，即．
同理，
所以．
设，因为，和三点共线，，
由可得：
又因为，，三点共线，所以存在，使得，代入式可得：
同理，利用，
可以找到实数和，使得
联立消去，
联立消去，可得：，
，
又因为和中任意两个向量不共线，故有，
由此得出，，
即．
第1页，共1页