2024-2025学年重庆市万州三中高二（上）月考数学试卷（12月份）（含答案）

2024-2025学年重庆市万州三中高二（上）月考数学试卷（12月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，点是点在坐标平面内的射影，则( )
A. B. C. D.
2.圆：与圆：的位置关系为( )
A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 外离
3.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为( )
A. B. 且
C. D.
4.下列可使，，构成空间的一个基底的条件是( )
A. B. ，，两两垂直
C. D.
5.如图，为坐标原点，为抛物线：的焦点，为上一点，若，则的面积为( )
A.
B.
C.
D.
6.由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知双曲线的左，右焦点分别为，，为坐标原点，焦距为，点在双曲线上，，且的面积为，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知点，分别为椭圆：的左、右焦点，过点作轴的垂线交椭圆于，两点，，，分别为，，的内切圆圆心，则的周长是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则下列四个选项中正确的是( )
A. 直线的一个方向向量为
B. 线段的长度为
C. 平面的法向量中
D. 向量与向量夹角的余弦值为
10.已知直线：，直线：，则下列说法正确的为( )
A. 若，则
B. 若两条平行直线与间的距离为，则
C. 直线过定点
D. 点到直线距离的最大值为
11.已知正方体的棱长为，为的中点，为所在平面上一动点，则下列命题正确的是( )
A. 若与平面所成的角为，则点的轨迹为圆
B. 若，则的中点的轨迹所围成图形的面积为
C. 若点到直线与直线的距离相等，则点的轨迹为抛物线
D. 若与所成的角为，则点的轨迹为双曲线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线：与直线：互相垂直，则实数的值为______．
13.若，，为空间中两两夹角都是的单位向量，则 ______．
14.已知圆：，圆：若圆上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，，使得，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线经过点，点．
求直线的方程；
若圆经过点，点，且圆心在直线上，求圆的方程．
16.本小题分
如图，在四面体中，，且，为的中点，点是线段上的动点含端点．
以为基底表示；
求的最小值．
17.本小题分
已知双曲线的方程为，实轴长和离心率均为．
求双曲线的标准方程及其渐近线方程；
过且倾斜角为的直线与双曲线交于，两点，求的值为坐标原点．
18.本小题分
如图，四棱锥中，底面，四边形中，，，，，．
Ⅰ若为的中点，求证：平面平面；
Ⅱ若平面与平面所成的角的余弦值为．
(ⅰ)求线段的长；
(ⅱ)设为内含边界的一点，且，求满足条件的所有点组成的轨迹的长度．
19.本小题分
已知椭圆的上、下顶点分别为，，其右焦点为，且．
求椭圆的方程；
若点，在直线上存在两个不同的点，满足若直线与直线分别交于点，异于点，证明：，，三点共线．
参考答案
1.
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4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.解：因为直线经过点，点，
所以直线的斜率，
所以直线的方程为，
即；
因为点，点，所以，
则的中点，
由点法式可得线段的中垂线方程为，
即，
由题意可得圆心为两条直线的交点，
联立，解得，，
即圆心，且圆的半径，
所以圆的方程为．
16.解：由题意可知，，
所以；
设，
因为，
所以，
当且仅当时，取得最小值，最小值为．
17.解：因为双曲线的实轴长和离心率均为，
所以，
解得，，
则双曲线的标准方程为；渐近线方程为，
因为直线的倾斜角为，且过点，
所以设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得．
所以．

18.解：Ⅰ证明：在四棱锥中，底面，平面，则，
而，，，平面，于是平面，
又平面，
则，由，为的中点，
得，，，平面，
因此平面，而平面，
所以平面平面．
Ⅱ由Ⅰ知，直线，，两两垂直，以点为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
过作于，由，，得，令，
则，，，，，
设平面的法向量，则，令，得，
由平面，得平面的一个法向量，
依题意，，
整理得，而，
解得，所以线段的长为．
(ⅱ)显然平面，而平面，则，
又，于是，解得，
因此点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆的，
所以点的轨迹的长度为．
19.解：由题意知，，，
由，得，
即，
所以，
又，所以，
故椭圆的方程为：；
证明：因为点，，
所以，
根据题意设，，
则，，
所以，即，
根据题意可知：直线的斜率一定存在，
设直线的方程为，，，
联立得，
，即，
且，，
因为直线过点，
所以，即，
解得，
同理可得，
代入式，得，
所以，
因为，异于点，直线的方程为，所以，
则，即，
则直线的方程为，恒过点．
因此，，三点共线．
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