2024-2025学年上海市浦东新区华东师大二附中高一（上）调研数学试卷（12月份）（含答案）

2024-2025学年上海市浦东新区华东师大二附中高一（上）调研
数学试卷（12月份）
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数中，既是奇函数又在其定义域上为增函数的是( )
A. B. C. D.
2.霉菌有着很强的繁殖能力，主要依靠孢子进行繁殖已知某种霉菌的数量与其繁殖时间天满足关系式：若繁殖天后，这种霉菌的数量为，天后数量为，则要使数量达到大约需要，结果四舍五入取整
A. 天 B. 天 C. 天 D. 天
3.已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
4.在整个数学当中，一个首要的概念是函数函数的定义是在数学家的不断研究而得到发展和完善的德国著名数学家狄利克雷给出一个数学史上著名的函数实例：，狄利克雷函数具体而深刻地显示了函数是数集到数集的映射这个现代函数的观点下面给出下列四个结论：函数是偶函数；存在常数使得函数是奇函数；函数有无数个零点；对任意恒成立其中，所有正确结论的个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.函数的定义域为______．
6.已知，，则______．
7.函数的对称中心是______．
8.若函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是______．
9.设是定义在上的奇函数，则 ______．
10.函数的严格减区间是______．
11.已知，，，则的最小值为______．
12.设函数的定义域为，则函数与的图像关于______对称．
13.已知函数是定义在上的偶函数，在上严格增函数若，则实数的取值范围是______．
14.设函数，关于的方程有三个不等实根，，，则的取值范围是______．
15.已知函数在区间内有零点，求实数的取值范围是______．
16.已知集合，定义集合到的函数：除以的余数，例如，，则函数的图像与的图像的交点为______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
求下列函数的值域：
；
．
18.本小题分
已知函数是定义在上的偶函数，且的图象关于直线对称．
证明：是周期函数．
若当时，，求当时，的解析式．
19.本小题分
已知函数，．
若对任意，不等式恒成立，求的取值范围；
若对任意，存在，使得，求的取值范围．
20.本小题分
若函数在区间上的值域恰为，则称区间为的一个“倒域区间”已知定义在上的奇函数，当时，．
求的解析式；
若关于的方程在上恰有两个不相等的根，求的取值范围；
求函数在定义域内的所有“倒域区间”．
21.本小题分
设是定义在上的函数，若对任何实数以及中的任意两数、，恒有，则称为定义在上的函数．
判断函数是否是定义域上的函数，说明理由；
若是上的函数，设，，，，，，其中是给定的正整数，，，记，对满足条件的函数，试求的最大值；
若是定义域为的函数，最小正周期为，试证明不是上的函数．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.，
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：因为，所以，
令，
根据对勾函数的单调性可知在上是严格递增函数，
所以，所以，
所以，
所以的值域为．
函数，
当时，；
当时，，
若时，，当且仅当即取等号，
则，所以，
若时，，当且仅当即取等号，
则，所以，
综上所述，函数在上的值域是．
18.解：证明：已知函数是定义在上的偶函数，且的图象关于直线对称，
所以，即有，又，
所以，
即是周期为的周期函数；
当时，，又是周期为的周期函数，
当，则，
所以，
所以，．
19.解：根据，，
则应满足，解得，
所以的取值范围为．
对于任意，存在，使得，
所以在上的值域包含在上的值域，
其中时，，
的对称轴为，
当时，则在上单调递减，
故，
是的子集，则，解得，
若，则在上单调递增，
故，
但不会是的子集，舍去；
综上，的取值范围是．
20.解：当时，则，
由奇函数的定义可得，
所以．
方程即，
因为在上恰有两个不相等的根，
设，，
由题意知，解得，
故的范围为；
因为在区间上的值域恰为，
其中且，，所以，则，
所以或．
当时，因为函数在上单调递增，在上单调递减，
故当时，，则，所以，所以，
则，解得，，
所以在内的“倒域区间”为；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
故当时，，所以，所以，所以，
则，解得，，
所以在内的“倒域区间”为．
综上所述，函数在定义域内的“倒域区间”为和．
21.解：是定义域上的函数．
理由：对任意的实数，，，
有
，
即，
所以是定义域上的函数；
对任意的，取，，，
因为是上的函数，且，，，
可得，
那么，
可得是函数，且使得，都成立，此时，
综上可得的最大值为；
证明：假设是上的函数，若存在，且，，使得，
若，设，，，则，且，
那么，
这与矛盾；
若，设，，，也可得到矛盾．
所以在上为常数函数，又因为为周期的函数，
所以在上为常数函数，这与的最小正周期为矛盾，
所以不是上的函数．
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