2024-2025学年北京三十五中高二（上）月考数学试卷（12月份）（含答案）

2024-2025学年北京三十五中高二（上）月考数学试卷（12月份）
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.点到直线的距离等于( )
A. B. C. D.
3.若直线与直线垂直，则的值为( )
A. B. C. D.
4.抛物线的焦点到准线的距离为( )
A. B. C. D.
5.如图，在四面体中，，，，为的中点，为的中点，则可用向量，，表示为( )
A. B.
C. D.
6.已知椭圆的焦点为，过点的直线与交于，两点．若的周长为，则椭圆的标准方程为( )
A. B. C. D.
7.已知直线：和圆：，则直线与圆的位置关系为( )
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定
8.“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的( )
A. 充而分不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.已知抛物线：过点，点为平面直角坐标系平面内一点，若线段的垂直平分线过抛物线的焦点，则点与原点间的距离的最小值为( )
A. B. C. D.
10.均匀压缩是物理学一种常见现象．在平面直角坐标系中曲线的均匀压缩，可用曲线上点的坐标来描述．设曲线上任意一点，若将曲线纵向均匀压缩至原来的一半，则点的对应点为同理，若将曲线横向均匀压缩至原来的一半，则曲线上点的对应点为若将单位圆先横向均匀压缩至原来的一半，再纵向均匀压缩至原来的，得到的曲线方程为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.在平面直角坐标系中，圆以原点为圆心，且经过点，则圆的方程为______；若直线与圆交于两点，，则弦长 ______．
12.写出一个离心率且焦点在轴上的双曲线的标准方程 ，并写出该双曲线的渐近线方程 ．
13.设椭圆的两个焦点分别为，，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 ．
14.为抛物线上一动点，当点到直线的距离最短时，点的坐标是______．
15.如图，在棱长为的正方体中，点，分别在线段和上
出下列四个结论：
的最小值为；
四面体的体积为；
有且仅有一条直线与垂直；
存在点，，使为等边三角形．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共4小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
如图，在长方体中，，，点在上，且．
Ⅰ求直线与所成角的余弦值；
Ⅱ求二面角的余弦值．
17.本小题分
已知椭圆的一个顶点为，且离心率为．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ直线：与椭圆交于，两点，且，求的值．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，底面为平行四边形，，点在上，且平面．
Ⅰ证明：；
Ⅱ求的值；
Ⅲ求点到平面的距离．
19.本小题分
椭圆，经过点，且离心率为．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ过椭圆右焦点的直线与椭圆交于，两点，点，为坐标原点，证明：．
参考答案
1.
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4.
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9.
10.
11.
12.答案不唯一

13.
14.
15.
16.解：Ⅰ根据题意，以为原点，的方向分别为轴、轴、轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，．
所以，．
所以．
所以直线与所成角的余弦值为．
Ⅱ因为．
设平面的法向量为，则即
令，则，．
于是．
显然是平面的一个法向量．
因为，
所以二面角的余弦值为．
17.解：Ⅰ设椭圆的半焦距为．
由题意得
解得，
所以椭圆的方程为．
Ⅱ由 得，
由，解得，
设，，则，
设线段的中点为，
则，，
“”等价于“”，
所以，
解得，符合题意，
所以．
18.Ⅰ证明：因为平面，平面，
所以．
因为平面，平面，
所以．
，，平面，
所以平面，又平面，
所以．
Ⅱ解：取中点，连接．
由Ⅰ得四边形为菱形，
所以．
因为，
所以
因为，，两两互相垂直，
以为原点，的方向分别为轴、轴、轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，．
所以．
设，其中．
所以．
因为平面，
所以，即．
所以．
解得，即．
Ⅲ解：由Ⅱ得．
因为，．
设平面的法向量为，则
即
令，则，于是．
所以点到平面的距离为
19.解：由题设知，，
结合，解得，
所以椭圆的方程为．
证明：由可得椭圆的右焦点为，
当直线斜率存在时，设直线的方程为，，，
代入椭圆方程，
可得，易知，
，，
则，
则；
当直线斜率不存在时，垂直轴，由对称性易知，
综上，．
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