2024-2025学年上海市松江二中高一（上）月考数学试卷（12月份）（含答案）

2024-2025学年上海市松江二中高一（上）月考
数学试卷（12月份）
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如果，那么下列不等式中正确的是( )
A. B. C. D.
2.已知是锐角，那么是( )
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 小于的正角 D. 第一或第二象限角
3.设，函数若恰有一个零点，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
4.已知是定义在上的偶函数，若、且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.角是第象限角______．
6.函数的定义域是______．
7.已知为锐角，已知，则 ______．
8.不等式的解集为______．
9.已知，，则用，表示 ______．
10.若关于的不等式的解集为，则实数的值为______．
11.已知函数，且，那么的值为______．
12.已知，则的最小值为 ．
13.关于的方程有两个不相等的实数根，，且满足，则实数的取值范围是______．
14.已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是______．
15.已知函数，，对于任意的都能找到，使得，则实数的取值范围是______．
16.已知函数对函数，定义关于的“对称函数”为，满足：对任意，两个点，关于点对称，若是关于的“对称函数”且恒成立，则实数的取值范围是______．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知函数的定义域为集合，集合，且．
求实数的取值范围；
求证：函数是奇函数但不是偶函数．
18.本小题分
已知函数．
当时，求不等式的解集；
当时，，求实数的取值范围．
19.本小题分
某学习小组在社会实践活动中，通过对某种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内以天计的日销售价格单位：元与时间单位：天的函数关系近似满足为正常数，该商品的日销售量单位：个与时间部分数据如表所示：
天
个
已知第天该商品的日销售收入为元．
求的值；
给出以下二种函数模型：
，
，
请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量与时间的关系，并求出该函数的解析式；
求该商品的日销售收入单位：元的最小值．
20.本小题分
已知函数，．
当时，若，求的最大值；
若，求的最小值；
若，使得成立，求的取值范围．
21.本小题分
设是定义在上的函数，若存在，使得在区上是增函数，且在区间上是减函数，则称为“含峰函数”，称为峰点，称为含峰区间．
试判断是否为上的“含峰函数”？若是，指出峰点；若不是，请说明理由；
若、、是定义在上峰点为的“含峰函数”，且值域为，求的取值范围；
若是上的“含峰函数”，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.三
6.
7.
8.或
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：令，解得，所以，
因为，所以，
解得，
即实数的取值范围是；
证明：函数的定义域，定义域关于原点对称，
，
而，，所以，
所以函数是奇函数但不是偶函数．
18.解：当时，
，即，，解得，
故所求不等式的解集为；
令，，
，
则，即，
，当且仅当时，等号成立，
故，解得，
故实数的取值范围为．
19.解：依题意可得，该商品的日销售收入，
因第天该商品的日销售收入为元，
则，
即，解得，
故的值为．
由表中的数据可知，当变化时，日销售量并不单调，
则选择模型，
从表中取两组数，，代入中，
可得，解得，
即，显然表中其它各组值均满足这个函数，
故函数的解析式
由知，，，，
由知，，
当，， 在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得最小值元，
当，， 在上单调递减，
当时，取得最小值元，
显然，则当，， 元，
故商品的日销售收入的最小值为元．
20.解：当时，．
由，得，
当时，取得最大值为；
，其对称轴方程为，
当，即时，此时在上单调递增，，
当，即时，此时在上单调递减，在上单调递增，
，
当，即时，此时在上单调递减，．
综上，；
，使得成立，
故在上恒成立，
即，令，则，
则，即对任意恒成立，
可得对任意恒成立，
令，，
当时，．
，即的取值范围是．
21.解：函数的图象开口向下，对称轴为的抛物线，
则在区间上是严格增函数，在区间上是严格减函数，
是区间上的“含峰函数”，峰点为；
记函数，，，
则在区间上是严格增函数，在区间上是严格减函数，，
则，解得，
，，
则在上严格递增，在上是严格减函数，，，
由，则或舍去，
此时，，
则在上严格递增，在上严格递减，，．
综上，当【，时，的取值为；
当时，的取值范围是．
记，设任意，，且，
则，
当时，由，，且，
可知，，
，，
则为上严格增函数，不符合题目要求，
当时，设任意，，且，此时，
，则，即，为上严格增函数，
设任意，，且，此时，
，则，，为上严格减函数，
是上峰点为的“含峰函数”，
综上，的取值范围是．
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