2024-2025学年上海市青浦区朱家角中学高一（上）第二次段考数学试卷（含答案）

2024-2025学年上海市青浦区朱家角中学高一（上）第二次段考
数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题4分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知：，：，则是的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充要也不必要条件
2.已知函数，分别由如表给出：
则满足的的值是( )
A. B. C. D. 和
3.地震里氏震级是地震强度大小的一种度量地震释放的能量单位：焦耳与地震里氏震级之间的关系为已知两次地震的里氏震级分别为级和级，若它们释放的能量分别为和，则( )
A. B. C. D.
4.若函数有且只有一个零点，则实数的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
5.设是实数，集合，，若，则的取值集合是 ．
6.关于的不等式的解集为______．
7.化简： ______．
8.已知，，试用，表示 ______．
9.设，方程的解集为______．
10.已知函数是幂函数，且在上单调递减，则实数 ______．
11.函数且恒过定点______．
12.对，，记，则函数的最小值为______．
13.若关于的方程有负根，则实数的取值范围是______．
14.利用函数图像解不等式：的解集是______．
15.“求方程的解”有如下解题思路：设，则是上的严格减函数，且，所以原方程有唯一解，类比上述解题思路，可得不等式的解集为______．
16.已知函数，正数，满足，则的最小值为______．
三、解答题：本题共5小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知集合，．
若，求；
若是的充分条件，求的取值范围．
18.本小题分
记，求时的值；
是否存在正数，使函数是偶函数？
19.本小题分
已知函数．
完成下列表格，并在坐标系中描点画出函数的简图；
根据的结果，若，，试猜想的值，并证明你的结论．
20.本小题分
某食品厂引进一条先进生产线生产某种奶类制品，其生产的总成本万元与年产量吨之间的函数关系式可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最大为吨．
求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；
若每吨产品平均出厂价为万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
21.本小题分
已知函数．
证明：函数是奇函数；
用定义证明：函数在上是增函数；
若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：因为，
所以，所以，，
因为，所以，，
当时，，；
因为是的充分条件，所以，
所以，即，
所以的取值范围为．
18.解：根据题意，，若，
则，解可得或，
根据题意，设，
假设存在正数，使函数为偶函数，则，即对于任意实数恒成立，
对于，
变形可得：，解可得或，
若对于任意实数恒成立，即或对于任意实数恒成立，
必有，
故存在，使函数是偶函数．
19.解：根据题意，函数，
则有
其大致图象如图：
猜想的值为，由于，假设，
若，必有，则有，，
若，即，则有，必有．
20.解：每吨平均成本为万元，
则，
当且仅当，即时取等号，
年产量为吨时，每吨平均成本最低为万元；
设年获得总利润为万元，
则，
时，有最大值为万元，
年产量为吨时，可获得最大利润万元．
21.解：证明：由函数，可得其定义域为，关于原点对称，
又由，
所以函数为定义域上的奇函数；
证明：当时，
，
任取，，且，
可得
，
因为，，且，
可得，，
所以，
即，
所以函数在上是增函数；
因为函数为定义域上的奇函数，且在上是增函数，
所以函数在上也是增函数，
又因为，
所以函数在上是增函数，
又由，
可得，
因为不等式对于任意实数恒成立，
即不等式对于任意实数恒成立，
可得不等式对于任意实数恒成立，
即不等式对于任意实数恒成立，
当时，不等式即为恒成立，符合题意；
当时，则满足，
解得，
综上可得，，
即实数的取值范围．
第1页，共1页