广东省“衡水金卷”2025届高三上学期12月份联考数学试题（含答案）

广东省“衡水金卷”2025届高三上学期12月份联考
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.中，，，，则( )
A. B. C. D.
3.四川耙耙柑以果肉饱满圆润，晶莹剔透等特点深受民众喜爱，某耙耙柑果园的质检员对刚采摘下来的耙耙柑采用随机抽样的方式对成筐的耙耙柑进行质检，记录下了筐耙耙柑中残次品的个数为，，，，，，，，则该组样本数据的第百分位数为( )
A. B. C. D.
4.集合的子集个数为( )
A. B. C. D.
5.设公比不为的等比数列的前项和为，已知，则( )
A. B. C. D.
6.已知椭圆的一个焦点为，上不与共线的两点，满足周长的最大值为，则的离心率为( )
A. B. C. D.
7.已知圆台的上、下底面圆的半径分别为和，母线长为，且该圆台上、下底面圆周上的点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A. B. C. D.
8.已知函数在区间上单调，其中为大于的整数，若是的一个零点，，要使通过平移成为偶函数，可以将其向右平移个单位( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，则( )
A. B. C. D.
10.某高中开展一项课外实践活动，参与活动并提交实践报告可以获得学分，且该校对报告的评定分为两个等级：合格，不合格评定为合格可以获得学分，评定为不合格不能获得学分若评定为不合格，则下一次评定为合格的概率为，若评定为合格，则下一次评定为合格的概率为已知小李参加了次课外实践活动，则( )
A. “小李第一次评定合格”与“小李第一次评定不合格”是互斥事件
B. 若小李第一次评定为不合格，则小李获得学分的概率为
C. 若小李第一次评定为合格，则小李第三次评定为合格的概率为
D. “小李第一次评定合格”与“小李第三次评定合格”相互独立
11.在平面直角坐标系中，设双曲线与圆交于，，，四个点，构成四边形，则( )
A. 的两条渐近线相互垂直
B. 当时，的取值范围是
C. 当时，的取值范围是
D. 四边形的面积不超过
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ．
13.甲乙二人参加一种游戏：在一副扑克牌中取出张数字分别为，，，，的牌，随后两人分别从其中随机取走一张甲声称：我不知道谁牌上的数字更小，乙思考片刻后，作出了与甲同样的判断在二人的判断均准确的前提下，甲推断出了乙手中牌上的数字，其为 ．
14.已知函数的定义域为，若，，，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知箱子中有除颜色外其他均相同的个红球，个黄球，从中随机连续抽取次，每次取个球．
求有放回抽样时，取到黄球的次数的期望与方差
求不放回抽样时，取到黄球的个数的分布列．
16.本小题分
已知的内角，，的对边分别为、、，且．
求
探究与的等量关系．
17.本小题分
已知函数
若，证明：
若过坐标原点的直线能与曲线相切，求的取值范围．
18.本小题分
空间直角坐标系中，点，过点的直线与过点的直线的倾斜角之和为，且与平面内的抛物线交于，两点，与轴交于，为轴正半轴一点，且均在平面内
若的倾斜角为，求二面角的余弦值
求三棱锥体积的最大值．
19.本小题分
已知数列的前项和为，且记的前项积为，且当时，．
求
求的通项公式
探究与的大小关系，并给出证明．
参考答案
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15.解：有放回抽样时，每次抽到黄球的概率均为，
次取球可以看成次独立重复试验，服从二项分布，即∽，
故E
．
不放回抽样时，取到的黄球个数可能的取值为，，，
，
，
，
故的分布列为：

16.解：由正弦定理得，
设，，，
由余弦定理得，
则．
由可知，，
，
则C.
由，得，则
因为，所以
17.解：由题意可得，当时，，
所以，
显然可知单调递增，且，
故当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故．
设切点坐标为，
则，
得到，显然不成立，
由此可转化为方程有解的问题，
令函数，，
易得当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，
当时，，当时，，
故，
18.解：若的倾斜角为，则，
建立如图所示的空间直角坐标系：
易得，，，，
则，，，，
设平面，平面的法向量分别为，，
则，令，则，
同理可得，
设二面角所成角为，则，，
由图观察可得为锐角，故二面角的余弦值为．
由题意可知，直线的斜率显然不为，
设，，，
联立，可得，
又，设与轴交于，则，
故，
，则，，
则，
当时，，
故三棱锥体积的最大值为．
19.解：令，可得，则．
因为，且，
由于，则，故时，，
则时，，
经检验当时，，
故．
又，则时，，
故．
当时，
当时，
当时，，
综上，
，证明如下：
易得，，
则，
令，且，则，
易知，
故，
即单调递增，，
则，即．
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