2024-2025学年河北省高三（上）调研数学试卷（二）（11月份）（含答案）

2024-2025学年河北省高三（上）调研数学试卷（二）（11月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，，则集合( )
A. B.
C. D.
2.函数的定义域为( )
A. B. C. D.
3.若事件，发生的概率分别为，，，则“”是“”的条件．
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分且必要 D. 既不充分又不必要
4.球是棱长为的正方体的外接球，则球的内接正四面体体积为( )
A. B. C. D.
5.某同学掷一枚正方体骰子次，记录每次骰子出现的点数，统计出结果的平均数为，方差为，可判断这组数据的众数为( )
A. B. C. D.
6.已知，，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知函数的定义域为，且为奇函数，，则一定正确的是( )
A. 的周期为 B. 图象关于直线对称
C. 为偶函数 D. 为奇函数
8.已知函数在区间上有且仅有一个零点，当最大时在区间上的零点个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，则( )
A.
B.
C.
D.
10.已知平面内点，，点为该平面内一动点，则( )
A. ，点的轨迹为椭圆
B. ，点的轨迹为双曲线
C. ，点的轨迹为抛物线
D. ，点的轨迹为圆
11.如图，圆锥的底面直径和母线长均为，其轴截面为，为底面半圆弧上一点，且，，，则( )
A. 当时，直线与所成角的余弦值为
B. 当时，四面体的体积为
C. 当且面时，
D. 当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.双曲线：的左焦点为，右顶点为，点到渐近线的距离是点到渐近线距离的倍，则的离心率为______．
13.已知数列满足，其前项中某项正负号写错，得前项和为，则写错的是数列中第______项
14.如图所示，中，，是线段的三等分点，是线段的中点，与，分别交于，，则平面向量用向量，表示为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，且．
求角的大小；
若，的面积为，求的周长．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，为等边三角形且垂直于底面．
求证：；
求平面与平面夹角的正弦值．
17.本小题分
已知函数．
当时，求的图象在点处的切线方程；
当时，求的单调区间；
若函数单调递增，求实数的取值范围．
18.本小题分
椭圆：左右顶点分别为，，且，离心率．
求椭圆的方程；
直线与抛物线相切，且与相交于、两点，求面积的最大值．
19.本小题分
在复数范围内解方程；
设，且，证明：；
设复数数列满足：，且对任意正整数，均有证明：对任意正偶数，均有．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：根据题干已知，
根据余弦定理可得，
因此，所以，
所以．
又因为，所以．
由于三角形的面积为，所以，
所以．
根据余弦定理得．
所以．
因此三角形周长为．
16.解：证明：如图所示，取中点，为等边三角形，所以，
又因为面垂直于底面，交线为，
得面，
又面．
底面为直角梯形，，，
，，，
所以≌，，，
所以，得，
又，得面，面，
所以；
由知面，
不妨设，则，
以为坐标原点，过点与平行的直线为轴，分别以、所在直线为轴和轴建立如图所示的空间直角坐标系，
得，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，，
可取，
设平面的一个法向量为，
则，即，
可取，
设平面与平面夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的正弦值为．
17.解：当时，，
得导函数，所以，
因此函数的图象在点处的切线方程为．
由于当时，函数，
导函数，．
因此导函数在上单调递增，又因为，
所以当时，导函数，函数单调递增，
当时，导函数，函数单调递减，
综上所述：函数单调递增区间为，单调递减区间为．
根据函数，且函数，
得函数单调递增，
因此导函数在上恒成立，
又因为导函数
根据题意恒成立，所以，
所以恒成立，所以恒成立，
设函数，得导函数，
极大值
因此当时，函数最大为．
因此恒成立，可得．
综上所述，如果单调递增，那么实数的取值范围为．
18.解：因为，
所以，
解得，
因为椭圆的离心率为，
所以，
解得，
又，
则椭圆的方程为；
直线斜率不存在时，直线方程为，
此时，
则；
当直线斜率存在时，
设直线的方程为，
联立，消去并整理得，
此时，
解得，
联立，消去并整理得，
因为，
所以，
此时，
解得，
设，，
由韦达定理得，，
所以
，
又点到直线的距离，
所以
，
易知当时，取得最大值，最大值为．
综上所述，的面积的最大值为．
19.解：由得，即，
由解得，
由，利用二次方程求根公式得，即，
的根为，，．
证明：由，，
可设，，．
；
，
故．
证明：由于，且对任意正整数，均有，故，
整理得，
解得．
，故
进而由得，
，
为偶数，，
又，
利用得，
，
对任意正偶数，均有．
第1页，共1页