2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市德强高级中学高三（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市德强高级中学高三（上）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则( )
A. B. C. D.
2.已知命题；命题，则( )
A. 和都是真命题 B. 的否定和都是真命题
C. 和的否定都是真命题 D. 的否定和的否定都是真命题
3.已知平面向量满足，则( )
A. B. C. D.
4.以下命题中真命题的是( )
A. 各侧面都是矩形的棱柱是长方体 B. 有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱
C. 体对角线都相等的平行六面体是长方体 D. 各侧面都是全等的矩形的直棱柱是正棱柱
5.，，函数的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知函数，若关于的方程有实数解，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知正三棱台的侧面积为，，，则与平面所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
8.如图，在长方体中，，，点在矩形内运动包括边界，，分别为，的中点，若平面，当取得最小值时，的余弦值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，且，，则( )
A. B.
C. D.
10.已知等差数列和的前项和分别为和，且，，则下列结论正确的有( )
A. 数列是递增数列 B.
C. 使为整数的正整数的个数为 D. 的最小值为
11.已知定义在实数集上的函数，其导函数为，且满足，，，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，，则 ______．
13.已知正三棱柱的体积与以的外接圆为底面的圆柱的体积相等，则正三棱柱与圆柱的侧面积的比值为 ．
14.将两个观赏球体封闭在一个正方体容器内，设正方体棱长为，则两个球体体积之和的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在锐角中，内角，，所对的边分别为，，．，．
求；
若，求的周长．
16.本小题分
已知函数．
当时，求在处的切线方程；
若存在最大值，且最大值小于，求的取值范围．
17.本小题分
已知数列满足，且．
设，证明：是等比数列；
求数列的通项公式．
18.本小题分
如图，菱形的边长为，，为的中点将沿折起，使到达，连接，，得到四棱锥．
证明：；
当二面角的平面角在内变化时，求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
19.本小题分
当，且时，我们把叫做数列的阶子数列，若成等差等比数列，则称为数列的阶等差等比子数列已知项数为，且的等差数列的首项，公差．
写出数列，，，的所有阶等差子数列；
数列中是否存在阶等比子数列，若存在，请至少写出一个；若不存在，请说明理由；
记数列的阶和阶等差子数列个数分别为，，求证：．
参考答案
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15.解因为 ，
由 ， ，所以 ．
由正弦定理 ，所以 ．
因为 为锐角，所以 ．
由正弦定理得 ．
在锐角 中， ，即 ，
解得 或 ．
当 时， ，为钝角，不符合题意．
当 时，经验证，符合题意．
故 的周长为 ．

16.解：当时，，函数定义域为，
可得，
此时，
又，
所以在处的切线方程为，
即；
易知，
当时，对任意恒成立，
所以在上单调递增，无极值，不符合题意；
当时，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，取得极大值，极大值，无极小值，
此时，
即，
设，
可得，
所以在上单调递减，
又，
此时不等式等价于，
解得．
综上所述，的取值范围为．
17.解：证明：数列满足，且．
，
，，，
，
，，，
，，
，
数列是以为首项，为公比的等比数列．
数列是以为首项，为公比的等比数列．
，即，
，，
，，
．
18.解：证明：在菱形中，为的中点，，
，
在翻折过程中，恒有，，
又，平面，平面，
平面，
又平面，
；
由题意及得，为二面角的平面角，记其为，则，
以的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量，
则，即，
则可取，
则，
令，得，，
当且仅当时，等号成立，
设直线与平面所成角为，
则，
，
直线与平面所成角的正弦值的最大值为．
19.解：所求三阶等差子数列为，，；，，；，，；，，；，，；，，．
由题意得等差数列的通项为，
假设存在三阶等比子数列，，，
则，
即，
化简得，
所以
消得，
即，
所以与矛盾，故假设不成立，
因此数列不存在三阶等比子数列．
先求的值，
当为奇数时，；
当为偶数时，，
所以．
再求的值，
当时，，
当时，，
当时，，
所以
所以当时，，
因为在上单调递增，所以，
即此时，即成立；
同理当时，，即成立；
当时，，即成立；
当时，，要证成立，只需证明
，因为，
故，即成立；
当时，，即成立；
当时，，即成立，
综上成立．
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