重庆市第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题（含答案）

1
重庆一中高2026届高二上期期中考试
数学试题卷
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．
2．答选择题时、必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂需，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．
一、单选题（本大题共8个小题，每题只有一个选项正确，每小题5分，共40分）
1. 过抛物线焦点的直线与交于、两点，则的最小值是（）
A. B. C. D.
2. 若直线与直线平行，则的值为（）
A B. 或 C. D.
3. 将正奇数按照如图排列，我们将……，都称为“拐角数”，则下面是拐角数的为（）
A. 55 B. 75 C. 111 D. 135
4. 数列的通项公式为，则当该数列的前n项和取得最小值时n的值为（）
A. 9 B. 8 C. 8或9 D. 7或8
5. 在四棱锥中，底面，底面是正方形，,，则直线与平面所成角的正弦值为（）
A. B. C. D.
6. 已知数列满足：，对任意的、恒成立，若，则（）
A. B. C. D.
7. 已知椭圆的左焦点为，上顶点为A，在以点F为圆心，c为半径的圆上存在点M，使得直线的斜率为，则椭圆C的离心率的取值范围是（）
A. B. C. D.
8. 已知数列满足：对任意成立，令是数列的前n项和，若对任意的恒成立，则整数t的最小值为（）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知曲线，则下列说法正确的是（）
A. 若，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B. 若，则C是椭圆，其离心率为
C. 若，则C是双曲线，其焦点在y轴上 D. 若，则C是双曲线，其离心率为
10. 已知数列满足：，对任意的成立，，其前n项和记为，则（）
A. 是等比数列 B. 是等差数列
C. D. 存在实数，使得为等比数列
11. 双曲线具有以下光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得：过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知O为坐标原点，分别为双曲线的左、右焦点，过C右支上一点作双曲线的切线交x轴于点，则（）
A.
B. 平面上点最小值为
C. 若经过左焦点的入射光线经过点A，且，则入射光线与反射光线的夹角为
D. 过点作，垂足为H，则
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12. 已知实数，若圆上恰有三个点到直线的距离为，则的值为_______．
13. 设等比数列的前项和为，，，则_______
14. 已知抛物线，过点的直线与抛物线交于、两点，若为定值，则实数的值为_______．
四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知为等差数列，其公差为，前项和为，为等比数列，其公比为，前项和为，若，，，．
（1）求公差和；
（2）记，证明：．
16. 如图，点D在平面内的射影点H在线段上，E为中点，F为中点．
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
17. 已知数列的前项和满足：,．
（1）求；
（2）若，求的前项和．
18. 已知的周长为定值，、、，的最大值为．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）为的左顶点，过点且不与坐标轴垂直的直线与交于、两点，线段的中点为，记直线的斜率为，的外心为，求的最大值．
19. 双曲线离心率为，焦点到渐近线的距离为，斜率为的直线与双曲线的右支交于、两点，过作直线垂直于轴，交曲线的另外一个点为，过作平行于的直线交曲线的另外一个点为，以此类推，直线垂直于轴，直线平行于，得到点列；记点的坐标为．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若过双曲线的右焦点，证明直线过定点；
（3）若且为双曲线右顶点，，记，求的值．
重庆一中高2026届高二上期期中考试
数学试题卷
一、单选题（本大题共8个小题，每题只有一个选项正确，每小题5分，共40分）
1.
【答案】D
2.
【答案】A
3.
【答案】C
4.
【答案】B
5.
【答案】A
6.
【答案】C
7.
【答案】C
8.
【答案】D
二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.
【答案】AD
10.
【答案】AC
11.
【答案】ABD
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12.
【答案】
13.
【答案】
14.
【答案】
四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.
【小问1详解】
因为为等差数列，其公差为，前项和为，则，
又因为，，则，
因为，即，可得，解得，故，
所以，，则，可得.
综上所述，.
【小问2详解】
由（1）可得，
所以，，
因此，
.
16.
【小问1详解】
在中，由，得，则，
由点D在平面内的射影点H在线段上，得平面，平面，
则，而平面，，于是平面，
又平面，则，由E为中点，得，
而平面，因此平面，又平面，
所以平面平面.
【小问2详解】
在平面内过作，由（1）知，平面，则直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
由，得，，，
则，
，
设平面的法向量，则，取，得，
设平面的法向量，则，取，得，
设平面与平面所成锐二面角大小为，
则，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值是.
17.
【分析】（1）令，求出的值，当时，由可得，作差可得，推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式；
（2）对任意的，计算出，问题转化为求数列的前项和，利用错位相减法结合分组求和可求得.
【小问1详解】
因为数列的前项和满足：，
则，则，可得，
当时，由可得，
上述两个等式作差可得，可得，
令，可得，则，解得，
所以，，且，
所以，数列为等比数列，首项为，公比为，
所以，，故.
【小问2详解】
因为，
对任意的，，
问题转化为求数列的前项和，记数列的前项和为，
，
则，
上式下式得
，
化简得，
因此，.
18.
【小问1详解】
设，，设，即，且，
由三角形的三边关系可得，则，
由余弦定理可得
，
当且仅当时，等号成立，
因为余弦函数在上为减函数，且，
故当取最大值时，取最小值，所以，，解得，
所以，，
因此，曲线是除去长轴端点的椭圆，且其长轴长为，焦距为，
所以，，
因此，动点的轨迹的方程为.
【小问2详解】
易知点，根据题意，设直线的方程为，其中，
设点、，
联立可得，
，
由韦达定理可得，，
则，
故点，所以，，
线段的中点为，，
所以，线段的中垂线方程为，
同理可得，线段的中垂线方程为，
其中，，
联立，可得，
所以，，
要求的最大值，只需考虑即可，
则，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最大值为.
19.
【解析】
【分析】（1）利用双曲线的焦点到渐近线的距离求出的值，结合离心率可得出的值，由此可得出该双曲线的标准方程；
（2）设直线的方程为，由题意可知，，将直线的方程与双曲线方程联立，列出韦达定理，由对称性知，直线过轴上的定点，求出直线的方程，将点的坐标代入直线的方程，求出的值，即可证得结论成立；
（3）将直线的方程与双曲线的方程联立，结合韦达定理可得出，再结合，可得，推导出数列为等比数列，确定该舒蕾的首项和公比，即可求得的值.
【小问1详解】
双曲线的渐近线方程为，即，
则该双曲线的焦点到渐近线的距离为，
又因为，可得，
因此，双曲线的标准方程为.
【小问2详解】
由（1）可得，则，
若直线与轴重合，则与双曲线的右支只有一个交点，不合乎题意，
设直线的方程为，由题意可知，，
联立可得，
由题意可得，解得，
由韦达定理可得，，
由对称性知，直线过轴上的定点，
，直线的方程为，
将点的坐标代入直线的方程得，
所以，
，
因此，直线过定点.
【小问3详解】
由题意可知，、、，
由题意可知，直线的方程为，
联立可得，
由题意可知，、为方程的两根，
所以，，可得，
由题意可得，可得，
因为点，记，则，
则
，
易知点，则，
所以数列为等比数列，且首项为，公比为，
因此，.
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