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4.3.2.1等比数列的前n项和公式-自检定时练-解析版
单选题
1．已知是等比数列的前项和，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设等比数列公比为，利用等比数列通项公式与求和公式，解出基本量代入求解即可.
【详解】设等比数列的公比为，由，
解得，所以，解得，
所以.
故选：B.
2．已知等比数列单调递增，前项和为，，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据下标和性质求出，即可求出、，即可求出，再由求和公式计算可得.
【详解】因为等比数列单调递增，，则，又，
解得或（舍去），所以，
所以.
故选：D
3.数列中，已知对任意自然数，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据条件，利用与，求得，进而得到，再利用等比数列的前和公式，即可求解.
【详解】因为①，
当时，②，由①②得，
又，满足，所以，
由，得到，
所以，
故选：C.
4．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”.由此推算，在这5天中，织布超过1尺的天数共有（ ）
A．1天 B．2天 C．3天 D．4天
【答案】B
【分析】设这女子每天分别织布尺，则数列是等比数列，公比．利用等比数列的通项公式及其前项和公式即可得出．
【详解】设这女子每天分别织布尺，
则数列是等比数列，公比．
则，解得．
数列的通项公式为，
，
当时，则，
当时，则，
故超过1尺的天数共有2天.
故选：B．
5．数列中，，，若，则（ ）
A．3 B．5 C．4 D．6
【答案】D
【分析】令，得到，可得数列是等比数列，求出，利用等比数列求和公式得到方程，求出.
【详解】由题意，数列中，，
令，可得，又，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以．
又由，
解得．
故选：D
6．如图，正三角形的边长为，取边的中点，作正三角形；取边的中点，作正三角形；如此继续下去，可得到一列三角形，，，，记这些三角形的面积分别为，，，；若，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由等边三角形及相似三角形可知数列为等比数列，根据等比数列求和公式化简解不等式即可.
【详解】由已知正三角形的边长为，则，
取中点作正三角形，可得，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
即，
所以，
即，
化简可得，，
又单调递增，且，，
所以满足的的最小值为.
故选：C.
多选题
7.已知数列的前n项和，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．数列是递增数列
C． D．
【答案】AC
【分析】根据所给递推关系求判断A，由关系得出数列为等比数列判断BC，由求和公式判断D.
【详解】当时，，解得，故A正确；
当时，由可得，，两式相减得，
数列是等比数列，公比，且首项，所以数列是递减数列，故B错误；
由等比数列求和公式知，，故C正确；
由C知，，故D错误.
故选：AC
8．已知等比数列的公比，其前n项和记为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】借助等比数列求和公式可计算出数列的通项公式，借助通项公式即可得A；借助作差法后对分奇偶进行讨论可得B；求出后对分奇偶讨论可得C、D.
【详解】由题意可得，即，
故，
对A：，故A正确；
对B：，
若为奇数，则，
若为偶数，则，随的增大而增大，
故，故B正确；
对C：，
当为奇数时，，且随的增大而减小，
当为偶数时，，随的增大而增大，
则当时，有最大值，即，
当时，有最小值，即，
故C错误，D正确.
故选：ABD.
填空题
9．若数列的前项和为，且，则 .
【答案】
【分析】根据条件，得，，，，再利用等比数列的前项和公式，即可求解.
【详解】因为，所以，，，，
所以，
故答案为：.
10．已知数列的前项和为，，则数列的前项和 .
【答案】
【分析】先根据与的关系求出数列的通项公式，再利用裂项相消法求解即可.
【详解】由，
当时，，所以，
当时，，
即，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以，
所以.
故答案为：.
解答题
11．已知数列的前n项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，求数列的前n项和为．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据计算即可求解；
（2）由（1）可得，结合分组求和法计算即可求解.
【详解】（1）当时，.
当时，，
又符合上式，所以.
（2）由（1）知，
所以.
12.已知数列的首项为，且满足.
(1)求证：是等比数列.
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析 (2)
【分析】（1）变形得到，从而得到为首项为，公比为的等比数列；
（2）由（1）求得，结合等比数列的求和公式，即可求解.
【详解】（1）由题意，数列满足，即，
则，
又由，可得，
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）知，得到，
所以数列的前项和.
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4.3.2.1等比数列的前n项和公式-自检定时练-学生版
【1】知识清单
①等比数列前n项和公式
注意：应用该公式时，一定不要忽略q＝1的情况．
②等比数列前n项和公式的变式：若{an}是等比数列，且公比q≠1，则前n项和Sn＝(1－qn)＝A(qn－1)．其中A＝.
【2】微型自检报告
完成时间 不会解答的题号 解答错误的题号 需要重点研究的题目
分钟
【3】自检定时练(建议40分钟)
4.3.2.1等比数列的前n项和公式-自检定时练-解析版
单选题
1．已知是等比数列的前项和，若，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知等比数列单调递增，前项和为，，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3.数列中，已知对任意自然数，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”.由此推算，在这5天中，织布超过1尺的天数共有（ ）
A．1天 B．2天 C．3天 D．4天
5．数列中，，，若，则（ ）
A．3 B．5 C．4 D．6
6．如图，正三角形的边长为，取边的中点，作正三角形；取边的中点，作正三角形；如此继续下去，可得到一列三角形，，，，记这些三角形的面积分别为，，，；若，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
多选题
7.已知数列的前n项和，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．数列是递增数列
C． D．
8．已知等比数列的公比，其前n项和记为，且，则（ ）
A． B． C． D．
填空题
9．若数列的前项和为，且，则 .
10．已知数列的前项和为，，则数列的前项和 .
解答题
11．已知数列的前n项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，求数列的前n项和为．
12.已知数列的首项为，且满足.
(1)求证：是等比数列.
(2)求数列的前项和.
【4】核对简略答案,详解请看解析版！
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D C B D C AC ABD
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】(1) (2)
12.【答案】(1)证明见解析 (2)
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