武汉市第十一中学2025届高三12月考
高三数学试卷
考试时间：2024年12月14日14:00-16:00 试卷满分：150分
一、单选题
1．设全集，集合，集合，则集合（ ）
A． B． C． D．
2．中文“函数”一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（）
A． B．
C． D．和
3．在复平面内，复数对应的向量分别是，则复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．已知向量，满足，，，则（ ）
A． B． C．3 D．2
5．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线：的左 右焦点分别为，，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则当取最小值10时，面积的最大值为（ ）
A．25 B． C． D．
8．设函数，若，且的最小值为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列选项中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．函数，，若与在有且仅有4个交点，则下列的取值可能是（ ）
A. B. C. . D. .
11．在边长为6的菱形中，，现将沿折起到的位置，使得二面角是锐角，则三棱锥的外接球的表面积可以是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
12．若直线与直线平行，则实数 .
13．已知等差数列（）中，，成等比数列，，则 .
14．已知抛物线，过B的直线交W于M，N两点，若四边形AMCN为等腰梯形，则它的面积为 ．
四、解答题
15．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求A；
(2)若，，求的周长.
16．如图，四棱锥的底面为直角梯形，，，，，为等边三角形，平面平面，，为的中点．
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
17．若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点．
(1)求椭圆的方程；
(2)不过原点的直线与椭圆交于两点，当的面积为 时，求直线的方程．
18．已知函数．
(1)求证：；
(2)过点作直线与函数的图象均相切，求实数的值；
(3)已知，若存在，使得成立，求实数的最大值．
19．已知等差数列，若存在有穷等比数列，满足，其中，则称数列为数列的长度为的“等比伴随数列”．
(1)数列的通项公式为，写出数列的一个长度为的“等比伴随数列”；
(2)等差数列的公差为，若存在长度为的“等比伴随数列”，其中，求的最大值；
(3)数列的通项公式为，数列为数列的长度为的“等比伴随数列”，其中，求的最大值．武汉市第十一中学2025届高三12月考
高三数学试卷
考试时间：2024年12月14日14:00-16:00 试卷满分：150分
一、单选题
1．
【答案】D
2．
【答案】B
3
【答案】C
4．
【答案】A
5．
【答案】B
6．
【答案】B
7．
【答案】B
8．
【答案】B
二、多选题
9．
【答案】AD
10．
ABC
11．
【答案】ACD
三、填空题
12．
【答案】
13．
【答案】25或13；
14．
【答案】
四、解答题
15．
【详解】（1）由得，
，
即，
故，
因为，
所以，
即，
因为，所以，故，
因为，所以；
（2），由正弦定理得，
因为，所以，
由（1）知，，由余弦定理得，
解得，故，所以，
所以的周长为.
16．
【详解】（1）因为为等边三角形，为的中点，
所以．
过作，垂足为，
因为底面为直角梯形，，，，，
所以，则，
由得，所以
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面．
因为平面，所以．
又，平面，所以平面．
（2）由（1）可知，，，两两垂直，以为原点，过且平行于的直线为轴，，所在直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，
设平面的法向量为，
则，令，则，
由（1）可知，轴⊥平面，不妨取平面的法向量为，
则，
故平面与平面夹角的余弦值为．
17．
【详解】（1）抛物线的焦点为
双曲线的焦点为
依题意可得，，则，
所以椭圆的方程为；
（2）根据题意，设，
联立直线与椭圆方程，可得，
消去并整理可得，，
则，，
由弦长公式可得，，
又点到直线的距离为，
依题意，令，
当且仅当，即或，此时均满足，
的面积取得最大值为,此时直线l的方程为或
即或
18．
【详解】（1）函数的定义域为，
不等式，
令，求导得，
当时，，当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，则，即，
因此，所以.
（2）依题意，，设直线与函数图象相切的切点为，
则切线的方程为：，
又直线过点，于是，
整理得，即，令，
求导得，即在上单调增，又，因此，
切线的方程为，由与函数的图象相切，得，
即，于是，解得，
所以实数的值是.
（3）①当时，，则，使，符合题意；
②当时，，
，则，又由（1）知，，
因此，不合题意；
③当时，令，
当时，，则，
当时，，则，
则，
令，求导得，
由，得时；由，得时，
函数在上单调递增，在上单调递减，
因此，即当时，不合题意，
所以的最大值为.
19．
【详解】（1）因为，所以，
因为，所以数列满足要求，
所以数列的一个长度为的“等比伴随数列”为（答案不唯一）.
（2）由题意可知，，所以，
联立，所以，即，
联立，所以，即，
联立，所以，即，
由上可知，， 当时，取的前项为，经验证可知满足条件，
综上所述，.
（3）设数列的公比为，由题意可知，对，当时，恒成立，
即对恒成立，即对恒成立，
当时，解得，当时，解得，
当时，则有，
所以；
设，所以，
令，均在上单调递减，
所以在上单调递减，所以，
所以，所以在上单调递减，所以；
令，所以，
因为，所以，
所以，所以在上单调递减，所以；
所以对恒成立，即对恒成立，
设，所以，
当时，显然单调递减，所以，所以在上单调递减，
又因为，
所以使得，所以的最大值为.
