第26章 反比例函数--一次函数与反比例函数的交点问题 专题练 初中数学人教版九年级下册

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第26章 反比例函数--一次函数与反比例函数的交点问题 专题练 2024-2025学年初中数学人教版九年级下册
一、单选题
1．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数（是常数，且）与反比例函数的图象交于，两点，则不等式的解集是（ ）
A． B．或
C．或 D．
2．正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点，若点A的坐标为，则点B的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
3．在平面直角坐标系中，点是直线与双曲线的其中一个交点，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，直线与双曲线交于，两点，已知，则该函数的表达式为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，B两点，与双曲线交于点C，连接，过点C作轴，垂足为点M，且．则下列结论正确的个数是（ ）
①；②当时，随x的增大而减小，随x的增大而增大；③方程只有一个解为；④当，．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，反比例函数的图象与正比例函数的图像交于点，则下列说法正确的是（ ）
A．当，，
B．当或时，，
C．当或时，，
D．当或时，，
7．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解是（ ）

A．或 B．或
C．或 D．或
8．如图，双曲线与直线交于点M，N，并且点M坐标为，点N坐标为，根据图象信息可得关于不等式的解为（　　）
A． B．
C． D． 或
二、填空题
9．如图，直线与双曲线相交于点和点，则不等式的解集为 ．
10．如图，正比例函数的图象与反比例函数 图象相交于A，B两点，已知A，则B的坐标为 ．
11．直线与双曲线交于，两点，则 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与函数的图象交于点．若一次函数随的增大而增大，则的值可以是 （写出一个即可）．
13．我们规定：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．在平面直角坐标系中，双曲线与直线交于第一象限内的点，点在射线上，分别过点作轴、轴的垂线，交双曲线于点，将线段和函数的图像在之间的部分围成的区域（不含边界）记为区域．如果区域内恰有5个整点，那么点的横坐标的取值范围是 ．
14．一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点．若，则x的取值范围是 ．
三、解答题
15．如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于点、点，一次函数与轴交于点．
(1)求，的值；
(2)求的面积；
(3)若，是反比例函数图象上的两点，且，指出点，分别位于哪个象限，并比较，的大小．
16．一次函数与反比例函数相交于、两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式，并在网格中画出一次函数的图象（不要求列表计算）；
(2)点在反比例函数图象上且纵坐标为，连接，，求的面积；
(3)根据图象，当时，请直接写出的取值范围．
17．如图，直线交x轴于点B，交y轴于点，与反比例函数的图象交于，，连接，．
(1)求k的值；
(2)求的面积．
(3)根据图象直接写出时，x的取值范围．
(4)点M是反比例函数上一点，是否存在点M，使点M、C、D为顶点的三角形是直角三角形，且为直角边，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
18．如图，直线与双曲线交于A点，且点A的横坐标是4．双曲线上有一动点．过点A作x轴垂线，垂足为B，过点C作x轴垂线，垂足为D．
(1)求k的值；
(2)若，求点C坐标；
(3)连接、，当与的重合部分的面积值为1时，求的面积．
参考答案：
1．C
解：当函数图象都在函数图象的上方时，，
如函数图象可得，当或时，，
∴不等式的解集或，
2．C
解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，
∴A、B两点关于原点对称，
∵A的坐标为，
∴B的坐标为，
3．A
解，即可解题．
解：∵点是直线与双曲线的其中一个交点，
∴将点代入中，可得，
解得，
∴点坐标为，
将点代入中，可得，
解得，
4．D
解：如图：过点A作轴，
∵直线与双曲线交于，两点，
∴设，
则，
∵，
∴，
解得，
∴，
则，
解得，
∴
5．B
解：当时，，
∴点，
∴，
∵，
∴，
∴点，
把点代入中，
得，
∴点，，
∴，
∴①结论正确；
由图象可知，当时，随的增大而减小，随的增大而增大，
∴②结论正确；
由图象可知，一次函数与反比例函数交点在第二、四象限各有一个交点，
∴方程有两个解，
∴③结论错误；
由图象可知，当，，
∴④结论错误.
故正确的结论有①②，共计2个.
6．D
解：如图，设反比例函数的图象与正比例函数的图象另一个交点为，
∵反比例函数的图象与正比例函数的图像交于点，
∴点，
、当时，根据图象可知：与大小不能确定，原选项不符合题意；
、当时；时，，原选项不符合题意；
、当或时，，原选项不符合题意；
、当或时，，原选项符合题意；
7．B
解：∵在反比例函数图象上，
∴，
∴反比例函数解析式为，
∵在反比例函数图象上，
∴，
∴，
由题意得关于x的不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围，
∴关于x的不等式的解集为或，
8．D
本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，利用图象法，确定不等式的解集即可．
故选D．
9．或
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握数形结合思想成为解题的关键．
观察函数图象得到当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方，即的解集．
解：∵直线与双曲线相交于点和点，
∴由函数图象可得，当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方，
∴不等式的解集为或．
故答案为：或．
10．
本题考查正比例函数与反比例函数图象的交点问题，根据两个函数的图象均关于原点对称，进而得到两点关于原点对称，即可得出结果．
解：由题意，得：两点关于原点对称，
∵A，
∴B的坐标为；
故答案为：．
11．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键．由直线经过第一、三象限，且与双曲线交于A、B两点，可得A、B两点关于原点对称，即，再由反比例函数可得，，将原式化简再代入数据即可解答．
解：由题意得，直线经过第一、三象限，且与双曲线交于A、B两点，则A、B两点关于原点对称，
，
又，在双曲线上，
，，
．
故答案为：．
12．（答案不唯一）
本题考查一次函数和反比例函数图象的交点问题，过点分别作轴与轴的垂线，分别交反比例函数图像于点和点，求出，，又一次函数的值随值的增大而增大，即可得到的取值范围，然后选取一个即可，找到两个临界点是解题的关键．
解：如图，过点分别作轴与轴的垂线，分别交反比例函数图像于点和点，
把代入中，得；
把代入中，得；
∴，，
∵一次函数的值随值的增大而增大，
∴点只能在点与点之间，
∴的取值范围是，
故答案为：（答案不唯一）．
13．
本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，根据题意画出两个函数的函数图像，再由题意得，点P只能在线段的延长线上，据此找到区域内恰有5个整点的临界情况，结合函数图像即可得到答案．
解：由题意得，点P只能在线段的延长线上，
在中，当时，，
由函数图像可知，当时，区域内恰有5个整点，
故答案为：．
14．或
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数和一次函数的图象和性质，学会利用图象法解不等式是解题的关键．令，得到一次函数与反比例函数的交点坐标，画出和的图象，利用图象法，写出反比例函数的图象在一次函数的图象上方对应的x取值范围即可．
解：令，则，
解得：，
，
如图，画出和的图象，
当，即反比例函数的图象在一次函数的图象上方，
由图象可得：或．
故答案为：或．
15．(1)
(2)
(3)点在第三象限，点在第一象限，
本题考查反比例函数和一次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，解题的关键是灵活运用反比例函数和一次函数的图象与性质解决问题．
（1）先求出点，，再利用待定系数法即可求解；
（2）先求得，再利用铅锤法求面积即可；
（3）结合图象即可判断．
（1）解：把点代入，得：，
∴，
再把点代入，得：，
∴，
∴点，，
∵点，在的图象上，
∴，解得．
（2）解：由（1）可知：，，
∴一次函数解析式为：，
当时，，
∴点，
∴，
∴．
（3）解：由图像可知，点在第三象限，点在第一象限，．
16．(1)一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为；见解析
(2)
(3)或
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，采用数形结合的思想是解此题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可得出函数解析式，再画在图象即可；
（2）求出，作轴交于，得出，再由三角形面积公式计算即可得解；
（3）根据函数图象即可得解．
（1）解：把代入得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为；
把代入得：，
解得：，
∴反比例函数的解析式为；
把代入反比例函数解析式可得：，即，
画出图象如图所示：
；
（2）解：∵点在反比例函数图象上且纵坐标为，
∴点的横坐标为，即，
如图，作轴交于，
则点的横坐标为，故点的纵坐标为，即，
∴，
∴的面积；
（3）解：由图象可得：当时，的取值范围为或．
17．(1)
(2)4
(3)或
(4)点M的坐标为或
本题考查了反比例函数与一次函数综合、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）把A的坐标代入求出b，即可得出一次函数的表达式，把，代入求出C、D的坐标，把C的坐标代入的，求出k即可；
（2）求出，分别求出和的面积，相加即可；
（3）根据C、D的坐标和图象得出即可；
（4）设，分两种情况讨论并结合勾股定理求解即可．
（1）解：把代入得：，
即一次函数的表达式为，
把，代入得：，，
解得，，
即，，
把C的坐标代入得：，
解得：；
（2）解：由可知：当时，，解得，即，
∴，
∴的面积为；
（3）解：由图象可知：时，x的取值范围是或；
（4）解：设，
则，，，
∵点M、C、D为顶点的三角形是直角三角形，且为直角边，
∴当时，，
解得：（不符合题意，舍去）或，
此时；
当时，，
解得：或（不符合题意，舍去），
此时，
综上，点M的坐标为或．
18．(1)
(2)
(3)
（1）首先将A点横坐标代入求出，然后代入求解即可；
（2）首先求出，得到，然后得到点C的纵坐标为6，然后代入求解即可；
（3）设与的重合部分的面积值为，设，根据三角形的面积公式得到，求得，根据梯形的面积公式即可得到结论．
（1）∵点A的横坐标是4
∴将代入
∴
∴将代入，得，
的值为8；
（2）∵
∴
∵，轴
∴
∴
∵轴
∴点C的纵坐标为6
∴将代入得，
解得
∴；
（3）如图，连接，设与的重合部分的面积值为，
在直线上，
设点的坐标为，
，
，
解得或（舍去），
，
，
点在函数的图象上，
，
梯形的面积，
由（1）知，，
，
梯形的面积，
梯形的面积．
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