2025人教B版高中数学选择性必修第三册强化练习题（含解析）--第2课时　简单复合函数的求导法则

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2025人教B版高中数学选择性必修第三册
第2课时　简单复合函数的求导法则
基础过关练
题组一　复合函数的求导法则
1.(2024四川仁寿第一中学月考)函数y=(2 024-8x)3的导数y'=(　　)
A.3(2 024-8x)2　 　B.-24x C.-24(2 024-8x)2　　D.24(2 024-8x)2
2.(2024江苏无锡江阴长泾中学月考)已知函数f(x)=asin 3x+bx3+3(a∈R,b∈R), f '(x)为f(x)的导函数,则f(2 021)+f(-2 021)+f '(2 022)-f '(-2 022)=(　　)
A.0　　　　B.2 021　　　　C.2 022　　　　D.6
3.(多选题)(2024山东大联考)下列复合函数的导数计算正确的有(　　)
A.若f(x)=e2x,则f '(x)=2e2x
B.若f(x)=ln,则f '(x)=-
C.若f(x)=33x+1,则f '(x)=33x+1ln 3
D.若f(x)=sin2,则f '(x)=3cos 6x
4.(2023山东潍坊月考)设函数f(x)=(2x2-ex)·cos(e为自然对数的底数)的导函数为f '(x),则f '(0)=　　　　.
5.(2024山东东明第一中学月考)求下列函数的导数:
(1)y=e-x(x+1)2;
(2)y=cos(3x-1)-ln(-2x+1);
(3)y=sin 2x+cos2x;
(4)y=.
题组二　复合函数求导的应用
6.(2024山东济宁邹城兖矿第一中学月考)函数f(x)=log2(3x)的图象在点P处的切线方程为(　　)
A.3x-y-1=0　　　　B.3x-3y-1=0
C.3x-(ln 2)y-1=0　　　　D.3x-(3ln 2)y-1=0
7.(2024江西抚州金溪第一中学月考)如图,现有一个底面直径为10 cm,高为25 cm的圆锥容器,以2 cm3/s的速度向该容器内注入液体,随着时间t(单位:s)的增加,圆锥容器内的液体高度也跟着增加,忽略容器的厚度,则当t=π时,圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率(单位:cm/s)为(　　)
A.
8.(2024广东四校联考)已知定义在R上的连续函数f(x)的导函数为g(x),则下列说法错误的是(　　)
A.若f(x)的图象关于(a,0)中心对称,则g(x)的图象关于直线x=a对称
B.若g(x)的图象关于直线x=a对称,则f(x)的图象有对称中心
C.若f(x)为周期函数,则g(x)为周期函数
D.若f(x+1)为奇函数,g(x-1)为偶函数,则g(x)的周期为2
9.(2024江苏淮阴中学月考)对任意x∈(1,+∞),都有cosx≥ax-a成立,则实数a的取值范围为　　　　.
10.已知曲线y=esin x在点(0,1)处的切线与直线l平行,且此切线与直线l间的距离为,则直线l的方程为　　　　　　　.
能力提升练
题组　复合函数的导数及其应用
1.(2024山东大联考)随着科学技术的发展,放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域,并取得了显著的经济效益.假设某放射性同位素的衰变过程中,其含量P(单位:贝克)与时间t(单位:天)满足函数关系P(t)=P0·,其中P0为t=0时该放射性同位素的含量.已知t=15时,该放射性同位素的瞬时变化率为-,则该放射性同位素含量为4.5贝克时,衰变所需时间为(　　)
A.20天　　　　B.30天　　　　C.45天　　　　D.60天
2.(多选题)关于双曲正弦函数sinh x=和双曲余弦函数cosh x=,下列结论正确的是(　　)
A.sinh(-x)=-sinh x
B.(cosh x)'=-sinh x
C.cosh(-1)D.sinh2x-cosh2x=1
3.若函数f(x)=sin ωx(ω>0)的图象与函数g(x)=的图象的任意连续三个交点的连线构成一个正三角形,则ω=(　　)
A.
4.设a∈R,函数f(x)=若关于x的方程f(x)=a(x+1)有且仅有1个实根,则a的取值范围为(　　)
A.(-∞,-1]∪[0,1]
B.[-1,0]∪[1,+∞)
C.[-1,1]
D.(-∞,-1]∪[1,+∞)
5.(2023山东青岛胶州月考)已知A(x1,y1),B(x2,y2)(x1>x2)是函数f(x)=ln|x|图象上的两个不同的点,且曲线f(x)在A,B两点处的切线互相垂直,则x1-x2的取值范围为(　　)
A.(0,+∞)　　　　B.(0,2)
C.[1,+∞)　　　　D.[2,+∞)
6.(2023安徽亳州一中月考)若函数y1=sin 2x1+,y2=x2+3,则的最小值为(　　)
A.
C.
7.(2024湖南长沙第一中学月考)已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x)+f(3-x)=4, f(x)的导函数为g(x),函数y=g(x-1)的图象关于点(2,1)中心对称,则f +g(2 024)=(　　)
A.3　　　　B.-3　　　　
C.1　　　　D.-1
8.(2024湘豫名校联考)已知曲线y=ex-1与曲线y=f(x)关于直线x-y=0对称,则与两曲线均相切的直线的方程为　　　　.
9.(2024湖南株洲第二中学入学考试)设函数f(x)=sin 2x-2cos x+ax-1,x∈,曲线y=f(x)有两条斜率为3的切线,则实数a的取值范围是　　　　.
10.(2024陕西师大附中期末)已知P,Q分别是曲线y=eex和y=上的点,其中e是自然对数的底数,则|PQ|的最小值为　　　　.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.C　y'=3(2 024-8x)2×(2 024-8x)'=3(2 024-8x)2×(-8)=-24(2 024-8x)2.故选C.
2.D　依题意, f(x)的定义域为R,因为f(x)=asin 3x+bx3+3,所以f(-x)=-(asin 3x+bx3)+3,所以f(x)+f(-x)=6,所以f(2 021)+f(-2 021)=6.
又f '(x)=3acos 3x+3bx2,所以f '(-x)=f '(x),所以f '(2 022)-f '(-2 022)=0,所以f(2 021)+f(-2 021)+f '(2 022)-f '(-2 022)=6.故选D.
3.ABD　对于A,f '(x)=e2x·2=2e2x,所以A正确;
对于B, f '(x)=,所以B正确;
对于C, f '(x)=3×33x+1ln 3=33x+2ln 3,所以C错误;
对于D, f '(x)=2sin=3cos 6x,所以D正确.故选ABD.
4.答案　
解析　f '(x)=(4x-ex)cos-2(2x2-ex)·sin,∴f '(0)=-.
5.解析　(1)y'=-e-x(x+1)2+e-x·2(x+1)=e-x(1-x2).
(2)y'=-3sin(3x-1)-.
(3)y'=2cos 2x+2cos x(-sin x)=2cos 2x-sin 2x.
(4)y'=.
6.C　由已知得f '(x)=,
所以f ',
所以切线方程为y=,
即3x-(ln 2)y-1=0.故选C.
7.C　设注入液体的时间为t(单位:s)时,圆锥容器内液体的高度为h(单位:cm),
则π··h=2t,得h=,
则h'=,当t=π时,h'=,即圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为 cm/s.
故选C.
8.D　对于A,若f(x)的图象关于(a,0)中心对称,则f(x)+f(2a-x)=0,
两边求导,可得f '(x)-f '(2a-x)=0,即g(x)=g(2a-x),
所以g(x)的图象关于直线x=a对称,故A中说法正确;
对于B,若g(x)的图象关于直线x=a对称,则g(x)=g(2a-x),
令F(x)=f(x)+f(2a-x),则F'(x)=f '(x)-f '(2a-x)=g(x)-g(2a-x)=0,
所以F(x)=C(C为常数),即f(x)+f(2a-x)=C,所以f(x)的图象有对称中心,故B中说法正确;
对于C,若f(x)为周期函数,则f(x+T)=f(x)(T≠0),
两边求导,可得f '(x+T)=f '(x),即g(x+T)=g(x),故C中说法正确;
对于D,若f(x+1)为奇函数,则f(-x+1)=-f(x+1),两边求导,可得-f '(-x+1)=-f '(x+1),
即g(-x+1)=g(x+1)①,
又g(x-1)为偶函数,所以g(-x-1)=g(x-1),可得g(-(x-2)-1)=g((x-2)-1),
即g(-x+1)=g(x-3)②,
由①②得到g(x+1)=g(x-3),故g(x)的周期为4,故D中说法错误.故选D.
9.答案　
解析　如图,画出函数y=cosx和y=ax-a的图象,易知两个函数的图象都过点(1,0),
由y=cosx得y'=-x,
当直线y=ax-a与y=cosx的图象在点(1,0)处相切时,有a=-
,
由图可知,若对任意x∈(1,+∞),都有cos≥ax-a成立,则a≤-.
10.答案　x-y-1=0或x-y+3=0
解析　∵y=esin x,∴y'=esin xcos x,∴y'x=0=1.
∴曲线y=esin x在点(0,1)处的切线方程为y-1=x,即x-y+1=0.
∵直线l与直线x-y+1=0平行,
∴直线l的方程可设为x-y+m=0(m≠1).
则,解得m=-1或m=3.
∴直线l的方程为x-y-1=0或x-y+3=0.
能力提升练
1.D　由题意得P'(t)=-·P0·ln 2,则P'(15)=-·P0=-,解得P0=18,则P(t)=18·,令P(t)=4.5,得18·=4.5,即,所以-=-2,解得t=60.故选D.
2.AC　sinh(-x)==-sinh x,
∴A中结论正确;
(cosh x)'==sinh x≠-sinh x,
∴B中结论错误;
cosh 2-cosh(-1)=>0,
∴cosh 2>cosh(-1),∴C中结论正确;
sinh2x-cosh2x==-1,
∴D中结论错误.故选AC.
3.A　由f(x)=sin ωx得f '(x)=ωcos ωx,所以g(x)=cos ωx.
在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)=sin ωx和g(x)=cos ωx的大致图象,如图所示,
设两图象相邻的三个交点分别为A,B,C,则△ABC为正三角形,作BD⊥AC,垂足为D,
当sin ωx=cos ωx时,sin ωx=cos ωx=±,
所以|BD|=2×,
所以|AC|=4,
所以f(x)=sin ωx的最小正周期T=4,故=4,所以ω=.故选A.
4.A　问题转化为函数y=f(x)和y=a(x+1)的图象有且仅有一个交点,
由解析式知y=f(x)和y=a(x+1)的图象都经过点(-1,0),所以只需直线y=a(x+1)与函数y=f(x)的图象在其他点处均不相交.
作出直线y=a(x+1)与函数y=f(x)的图象,如图,
对于y=x2+3x+2,有y'=2x+3,故y'|x=-1=1;
对于y=ln(-x),有y'=,故y'|x=-1=-1.
结合图象可知,当a≤-1或0≤a≤1时,y=f(x)与y=a(x+1)的图象有且仅有一个交点.
所以a∈(-∞,-1]∪[0,1].故选A.
5.D　当x>0时, f(x)=ln x, f '(x)=,
当x<0时, f(x)=ln(-x), f '(x)=-,
因为曲线f(x)在A,B两点处的切线互相垂直,
所以f '(x1)·f '(x2)==-1,即x1x2=-1,
又x1>x2,所以x1>0>x2,
因此x1-x2=x1+≥2=2,
当且仅当x1=,即x1=1时,等号成立,
所以x1-x2的取值范围为[2,+∞).故选D.
6.D　(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值即点(x1,y1)和(x2,y2)之间的距离的平方的最小值.
由题可得y'1=2cos 2x1,令y'1=1,则cos 2x1=,
又x1∈,所以x1=,所以y1=,故函数y1=sin 2x1+处的切线与直线y2=x2+3平行.
易得切点到直线y2=x2+3的距离为,
易知到直线y2=x2+3的距离的平方,
所以.
故选D.
A　因为f(x)+f(3-x)=4,所以函数f(x)的图象关于点中心对称,
f =2.
对f(x)+f(3-x)=4两边求导,得f '(x)-f '(3-x)=0,即f '(x)=f '(3-x),即g(x)=g(3-x),所以函数g(x)的图象关于直线x=对称,g(1)=g(2).
根据图象变换的规律,由y=g(x-1)的图象关于点(2,1)中心对称,
得g(x)的图象关于点(1,1)中心对称,g(1)=1,
则g(x)的周期T=4×=2,故g(2 024)=g(2)=g(1)=1,故f +
g(2 024)=2+1=3.故选A.
8.答案　x-y=0
解析　设曲线y=ex-1上任一点的坐标为(x,y),满足y=ex-1,
则该点关于直线x-y=0的对称点为(y,x),得x=ey-1,整理可得y=f(x)=ln(x+1).
设公切线与曲线y=ex-1切于点(x1,-1),与曲线y=ln(x+1)切于点(x2,ln(x2+1)),
易得y=ex-1的导函数为y'=ex,y=ln(x+1)的导函数为y'=,则
整理得x1=-(x2+1)ln(x2+1),
所以,即(x2+1=(x2+1)-1,解得x2=0,所以x1=0.
所以公切线与两曲线均切于点(0,0),且公切线的斜率为1,故与两曲线均相切的直线的方程为x-y=0.
9.答案　
解析　因为f(x)=sin 2x-2cos x+ax-1,
所以f '(x)=2cos 2x+2sin x+a=2(1-2sin2x)+2sin x+a=-4sin2x+2sin x+a+2,
令f '(x)=3,可得f '(x)=-4sin2x+2sin x+a+2=3,
可得4sin2x-2sin x+1-a=0,
已知x∈,令t=sin x,则-1≤t≤1,且函数t=sin x在上单调递增,
令h(t)=4t2-2t+1-a,-1≤t≤1,
因为曲线y=f(x)有两条斜率为3的切线,
所以函数h(t)在[-1,1]上有两个不相等的零点,
所以因此实数a的取值范围是.
10.答案　
解析　由y=eex得ln y=ex,即x=,
所以函数y=eex的反函数是y=,因此它们的图象关于直线y=x对称,
因此当|PQ|取得最小值时,P,Q两点一定关于直线y=x对称,且曲线y=eex在点P处的切线及曲线y=在点Q处的切线均与直线y=x平行.
由y=得y'=,令=1,得x=,此时y=-,
因此曲线y=上斜率为1的切线的切点坐标为,它到直线y=x的距离d=,
由对称性知|PQ|的最小值为2d=.
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