2025人教B版高中数学选择性必修第三册强化练习题（含解析）--第五章　数列

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2025人教B版高中数学选择性必修第三册
第五章　数列
满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知数列1,-1,,…,则这个数列的第8项为(　　)
A.-
2.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S2=4,S3=9,则S5的值是(　　)
A.15　　　　B.30　　　　C.13　　　　D.25
3.已知等比数列{an}的公比为q,且a1>0,则“q>0”是“{an}是递增数列”的　(　　)
A.充分不必要条件　　　　B.必要不充分条件
C.充要条件　　　　 D.既不充分也不必要条件
4.已知数列{an}满足a1=1,a2=,则an的最小值为(　　)
A.2-12　　　　B.　　　　C.2-5　　　　D.2-6
5.记Sn为数列{an}的前n项和,Tn为数列{an}的前n项积,n∈N*,已知a1=-64,a3=-16,且Sn=,则下列说法不正确的是(　　)
A.数列{an}是递增数列
B.an=(-1)n·
C.S6=-42
D.当Tn取得最小值时,n=6
6.已知数列{an}满足a1=m(m为正整数),an+1=则下列选项正确的是(　　)
A.若m=40,则a8=1
B.若a6=11,则m的所有可能取值构成的集合为{1,8,56,58,352}
C.若m=10,则a100=a1 000
D.若m=2k,k为正整数,则{an}的前k项和为2k-1+1
7.已知从2开始的连续偶数构成如下数表,将该数表中位于第m行、第n列的数记为am,n,如a2,1=4,a4,2=16.若am,n=248,则m+n=(　　)
2
4　6
12　10　8
14　16　18　20
30　28　26　24　22
……
A.20　　　　B.21　　　　C.29　　　　D.30
8.数列{an}满足a1∈Z,an+1+an=2n+3,且其前n项和为Sn.若S13=am,则正整数m=(　　)
A.99　　　　B.103　　　　C.107　　　　D.198
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.若等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,,n∈N+,则下列说法正确的有(　　)
A.数列是递增数列
B.
C.
D.
10.已知数列{an}的前n项和为Sn,若a2=3,Sn+1=2Sn+n,则下列结论正确的是(　　)
A.an+1>Sn　　　　 B.{an+1}是等比数列
C.是递增数列　　　　D.Sn≥2an
11.螺旋线这个名词来源于希腊文,它的原意是“旋卷”或“缠卷”,平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线,如图(1)所示.图(2)中阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案,它的画法是这样的:正方形ABCD的边长为4,取正方形ABCD各边的四等分点E,F,G,H,作第2个正方形EFGH,然后取正方形EFGH各边的四等分点M,N,P,Q,作第3个正方形MNPQ,依此方法一直继续下去,就可以得到阴影部分的图案.设正方形ABCD的边长为a1,后续各正方形的边长依次为a2,a3,…,an,…;如图(2)阴影部分,设直角三角形AEH的面积为b1,后续各直角三角形的面积依次为b2,b3,…,bn,….下列说法正确的是(　　)
A.从正方形ABCD开始,连续三个正方形的面积之和为
B.an=4×
C.使不等式bn>成立的n的最大值为4
D.数列{bn}的前n项和Sn<4
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,S6=30,S9=70,则S3=　　　　.
13.已知a1=1,an=n(an+1-an)(n∈N+),{bn}是等差数列,且an=bn+bn+1,则数列{bn}的通项公式为bn=　　　　,令cn=,则数列{cn}的前n项和为　　　　　　　.
14.如图,P1是一块半径为2a的半圆形纸板,在P1的左下端剪去一个半径为a的半圆后得到图形P2,然后依次剪去一个更小的半圆(其直径为前一个被剪掉半圆的半径)得到图形P3,P4,…,Pn,…,记第n块纸板Pn的面积为Sn,则S3=　　　　,若 n∈N+,Sn> 恒成立,则a的取值范围是　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)设数列{an}的前n项和为Sn,且满足4Sn=n(n+1)(n∈N+).
(1)求数列{an}的通项公式;　　
(2)求数列的前n项和Tn.
16.(15分)某企业2023年年初有资金5千万元,由于引进了先进生产设备,资金年平均增长率可达到50%.每年年底扣除下一年的消费基金1.5千万元后,剩余资金投入再生产.设从2023年年底起,每年年底企业扣除消费基金后的剩余资金依次为a1,a2,a3,…(单位:千万元).
(1)写出a1,a2,a3,并证明数列{an-3}是等比数列;
(2)至少到哪一年年底,企业扣除消费基金后的剩余资金会超过21千万元 (注:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)
17.(15分)在等差数列{an}中,a5=-10,a6+a7+a8=-18,其前n项和为Sn.
(1)求Sn的最小值及此时n的值;
(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.
18.(17分)已知数列{an}的前n项和为Sn,3an=2Sn+2n(n∈N+).
(1)证明:数列{an+1}为等比数列,并求Sn;
(2)设bn=log3(an+1+1),证明:+…+<1.
19.(17分)设数列{an}的前n项和为Sn.若≤2(n∈N*),则称{an}是“紧密数列”.
(1)已知数列{an}是“紧密数列”,其前5项依次为1,,求x的取值范围;
(2)若Sn=(n2+3n),判断{an}是不是“紧密数列”,并说明理由;
(3)设数列{an}是公比为q的等比数列,若数列{an}与{Sn}都是“紧密数列”,求q的取值范围.
答案与解析
1.B　∵1=,……,
∴该数列的一个通项公式是an=(-1)n+1·,
∴a8=(-1)9×.故选B.
2.D　设{an}的首项为a1,公差为d,
则
故S5=5a1+10d=25.
3.B　当a1=1,q=时,an+1-an=<0,则数列{an}为递减数列;
当{an}是递增数列时,an+1-an=a1qn-a1qn-1=a1qn-1(q-1)>0,
因为a1>0,所以q>1,则可得q>0.
所以“q>0”是“{an}是递增数列”的必要不充分条件,
故选B.
4.D　因为a1=1,a2=,所以an≠0,所以,
所以数列为等比数列,首项为,公比为4,
所以·4n-1=4n-3,
当n≥2时,an=·a1=4n-4×4n-5×…×4-2×1=2(n-1)(n-6),
因为n=1时,a1=1满足上式,所以an=2(n-1)(n-6).
因为y=(n-1)(n-6)=,
所以当n=3或n=4时,an取得最小值,为2-6.
故选D.
5.A　由Tn为数列{an}的前n项积,得=an+1,则有Sn=(a1-an+1),
当n≥2时,Sn-1=(a1-an),
故有Sn-Sn-1=an=an+1,即an+1=-an,故数列{an}是以-64为首项,-为公比的等比数列,
故an=-64×=(-1)n·,{an}不是递增数列,故A中说法不正确,B中说法正确.
S6=-64+32-16+8-4+2=-42,故C中说法正确.
由an=(-1)n·,得当n>7时,|an|<1,当n≤6时,|an|>1,
当n=7时,|an|=1,
故|Tn|取最大值时,n=6或n=7,又T6=(-64)×32×(-16)×8×(-4)×2<0,T7=-T6>0,
故Tn取最小值时,n=6,故D中说法正确.
故选A.
6.C　若m=40,则a2=20,a3=10,a4=5,a5=16,a6=8,a7=4,a8=2,故A不正确.
若a6=11,则a5=22,a4=44或a4=7,
当a4=44时,a3=88,a2=176,a1=352或a3=88,a2=29,a1=58;
当a4=7时,a3=14,a2=28,a1=56或a3=14,a2=28,a1=9或a3=2,a2=4,a1=8或a3=2,a2=4,a1=1,
故m的所有可能取值构成的集合为{1,8,9,56,58,352},故B不正确.
若m=10,则a2=5,a3=16,a4=8,a5=4,a6=2,a7=1,a8=4,a9=2,……,
所以{an}从第5项开始为周期数列,且周期为3,
则a100=a3×31+7=a7=1,a1 000=a3×331+7=a7=1,故a100=a1 000,故C正确.
若m=2k,则a2=2k-1,a3=2k-2,……,ak=2,
所以{an}的前k项和为=2k+1-2,故D不正确.故选C.
7.A　前m行共有个数,因为248=2×124,所以从2开始算起,248是第124个偶数,当m=15时,前15行共有120个偶数,故第124个偶数在第16行,第4列,故m+n=20,
故选A.
8.B　由an+1+an=2n+3,得an+1-(n+1)-1=-(an-n-1),
∴{an-n-1}是公比为-1的等比数列,其首项为a1-2,
∴an-n-1=(-1)n-1(a1-2),
∴an=(-1)n-1(a1-2)+n+1,
∴am=(-1)m-1(a1-2)+m+1.
易得S13=a1+(a2+a3)+…+(a12+a13) =a1+2×(2+4+…+12)+3×6=a1+102.
①当m为奇数时,a1-2+m+1=a1+102,m=103;
②当m为偶数时,-(a1-2)+m+1=a1+102,m=2a1+99.
∵a1∈Z,m=2a1+99只能为奇数,
∴m为偶数时,S13=am不成立.
综上所述,m=103.
9.AB　,所以是递增数列,A选项正确.
,所以,B选项正确,C选项错误.
当n=1时,,D选项错误.
故选AB.
10.AC　对于A,由Sn+1=2Sn+n得an+1=Sn+n,故an+1>Sn,A正确.
对于B,由Sn+1=2Sn+n得Sn=2Sn-1+n-1(n≥2),
两式相减得an+1=2an+1,
即an+1+1=2(an+1)(n≥2),
又n=1时,S2=2S1+1 3+a1=2a1+1 a1=2,a2+1≠2(a1+1),
所以{an+1}从第二项开始成等比数列,公比为2,
故n≥2时,an+1=2n-2(a2+1)=2n,即an=2n-1,
所以an=
B错误.
对于C,当n=1时,S1=2,
当n≥2时,Sn=2+(22-1)+(23-1)+…+(2n-1)=2+22+23+…+2n-(n-1)=-(n-1)=2n+1-n-1,
因为S1=2满足上式,
所以Sn=2n+1-n-1,n∈N+,
令cn=,
则cn+1-cn=>0,
即cn+1>cn,所以数列{cn}是递增数列,C正确.
对于D,当n≥2时,Sn-2an=2n+1-n-1-(2n+1-2)=1-n≤-1,
S1<2a1显然成立,故Sn<2an恒成立,D错误.
故选AC.
11.ABD　由题意可得a1=4,
a2=a1,
a3=a2,
……
an=an-1(n≥2),
则(n≥2),
所以数列{an}是以4为首项,为公比的等比数列,
则an=4×,显然B正确.
连续三个正方形的面积之和S=,故A正确.
由题意可得b1=,……,bn=,
则bn=,
所以{bn}是以为首项,为公比的等比数列.
令,则,
而,故C错误.
Sn=<4,故D正确.故选ABD.
12.答案　10
解析　易知S3,S6-S3,S9-S6成等比数列,
则(S6-S3)2=S3(S9-S6),
所以(30-S3)2=S3(70-30),解得S3=10或S3=90,
因为{an}的各项均为正数,
所以S6>S3,因此S3=10.
13.答案　;(n-1)×2n+1+2
解析　易知{an}的各项均不为0.
因为an=n(an+1-an),所以(n+1)an=nan+1,
则,
因此,……,,
累计相乘,得×…×=n,
又a1=1,所以an=n.
设等差数列{bn}的公差为d,
因为an=bn+bn+1,所以
则
所以bn=.
因此cn==n·2n.
记数列{cn}的前n项和为Tn,
则Tn=c1+c2+c3+…+cn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n,①
所以2Tn=1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1,②
①-②,得-Tn=2+22+23+…+2n-n×2n+1=-n×2n+1=2n+1-2-n×2n+1=(1-n)×2n+1-2,
所以Tn=(n-1)×2n+1+2.
14.答案　,+∞)
解析　依题意得,S1=π×(2a)2=2πa2,
S1-S2=πa2,
S2-S3=πa2,
∴S3=S2-πa2.
易知{Sn+1-Sn}是以S2-S1=-πa2为首项,为公比的等比数列.
记S2-S1=-πa2=S,
则S3-S2=S,……,Sn-Sn-1=S,
∴Sn-S1=,
∴Sn=S1+
=.
∵Sn>对任意n∈N+恒成立,且(Sn)min>πa2,
∴πa2≥,
∴a2≥505,
又∵a>0,∴a≥,
即a的取值范围是[,+∞).
15.解析　(1)因为4Sn=n(n+1),
所以当n=1时,有4a1=1×(1+1)=2,解得a1=.(2分)
当n≥2且n∈N+时,有4Sn-1=n(n-1),
所以4an=4Sn-4Sn-1=n(n+1)-n(n-1)=2n,
即an=(n≥2且n∈N+),(5分)
经检验,当n=1时,a1=满足an=,
所以an=(n∈N+).(7分)
(2)由(1)知,(9分)
所以Tn=2
=2(n∈N+).(13分)
16.解析　(1)依题意知,a1=5×1.5-1.5=6,
a2=6×1.5-1.5=7.5,
a3=7.5×1.5-1.5=9.75,(3分)
……
an+1=1.5an-1.5,
所以an+1-3=1.5(an-3),(5分)
又a1-3=3,
所以{an-3}是首项为3,公比为1.5的等比数列.(8分)
(2)由(1)知,an-3=3×1.5n-1,所以an=3+3×1.5n-1.(10分)
令3+3×1.5n-1>21,化简得1.5 n-1>6,
所以n-1>≈4.42,
所以n>5.42,因为n∈N+,所以nmin=6.(13分)
所以至少到2028年年底,企业扣除消费基金后的剩余资金会超过21千万元.(15分)
17.解析　(1)设{an}的公差为d.
∵a6+a7+a8=3a7=-18,∴a7=-6.
∵a5=-10,∴d==2,
∴a1=a5-4d=-18.(3分)
∴Sn=na1+,
∴当n=9或n=10时,Sn取得最小值,且最小值为-90.(6分)
(2)由(1)得an=2n-20,
则当n≤10时,an≤0,当n≥11时,an>0,(8分)
∴当n≤10时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=-a1-a2-…-an=-Sn=19n-n2,(10分)
当n≥11时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=-a1-a2-…-a10+a11+a12+…+an=-S10+(Sn-S10)=Sn-2S10=n2-19n+180.(13分)
综上,Tn=(n∈N+).(15分)
18.解析　(1)当n=1时,3a1=2S1+2,即a1=2. (2分)
由3an=2Sn+2n,得3an-1=2Sn-1+2(n-1),n≥2,
两式相减可得3an-3an-1=2an+2,即an=3an-1+2,
所以an+1=3(an-1+1),
因为a1+1=3≠0,所以数列{an+1}是首项为3,公比为3的等比数列.(4分)
所以an+1=3×3n-1=3n,所以an=3n-1,(6分)
所以Sn=(3+32+…+3n)-n=-n.(8分)
(2)证明:因为bn=log3(an+1+1)=log33n+1=n+1,(10分)
所以,(13分)
所以+…++…+<1.(17分)
19.解析　(1)若数列{an}为“紧密数列”,
则x≠0,且(2分)
解得≤x≤,故x的取值范围为.(4分)
(2)数列{an}为“紧密数列”.理由如下:(5分)
当n=1时,a1=S1=×(1+3)=1;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=,
又=1=a1,所以a1=1满足上式,
因此an=(n∈N*),(7分)
所以对任意n∈N*,,
所以<2,
因此数列{an}为“紧密数列”.(9分)
(3)因为数列{an}是公比为q的等比数列,其前n项和为Sn,
所以当q=1时,an=a1,Sn=na1,
所以=1≤2,≤2,满足题意,(11分)
当q≠1时,an=a1qn-1,Sn=,
因为{an}为“紧密数列”,所以=q≤2,即≤q<1或1当≤q<1时,=1,
=1+qn<2,
所以≤2,满足{Sn}为“紧密数列”;(15分)
当12,不满足{Sn}为“紧密数列”.(16分)
综上,实数q的取值范围是.(17分)
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