2025人教B版高中数学选择性必修第三册强化练习题（含解析）--全书综合测评(一)

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2025人教B版高中数学选择性必修第三册
全书综合测评(一)
满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.数列1,3,7,15,…的一个通项公式为an=(　　)
A.2n　　　　B.2n+1　　　　C.2n-1　　　　D.2n-1
2.在等差数列{an}中,若a2=4,a4=2,则a6= (　　)
A.-1　　　　B.0　　　　C.1　　　　D.6
3.若函数f(x)=x2-aln x+1在[1,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是(　　)
A.[0,2]　　　　B.(-∞,1]　　　　C.[2,+∞)　　　　D.(-∞,2]
4.已知函数f(x)=x2+2cos x, f'(x)是f(x)的导函数,则函数f'(x)的图象大致为(　　)
5.已知直线y=kx+b既是曲线y=ln x的切线,也是曲线y=-ln(-x)的切线,则(　　)
A.k=,b=0　　　　 B.k=1,b=0
C.k=,b=-1　　　　D.k=1,b=-1
6.在正项数列{an}中,若a1+a2+a3+…+an=,n∈N+,则a2 023的值是(　　)
A.
C.
7.意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,8,13,21,…,该数列的特点如下:前两个数都是1,从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和.人们把由这样一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”,记Sn是数列{an}的前n项和,则(a3-S1)+(a4-S2)+(a5-S3)+…+(a100-S98)=(　　)
A.0　　　　B.1　　　　C.98　　　　D.100
8.已知不等式aex(x+3)-x-2<0(a<1)恰有2个整数解,则a的取值范围为　(　　)
A.≤a<C.≤a<二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.在数列{an}中,若=k(k为常数,n∈N+),则称{an}为“等差比数列”.下列对“等差比数列”的判断正确的是　(　　)
A.k不可能为0
B.等差数列一定是等差比数列
C.等比数列一定是等差比数列
D.等差比数列中可以有无数项为0
10.下图给出的是一道典型的数学无字证明问题,各矩形块中填写的数字从大到小构成一个无穷数列,所有数字之和等于1,矩形块按照面积由大到小排序.按照图示规律,有学生给出了以下结论,其中正确的是(　　)
A.矩形块中所填数字构成的是以1为首项,为公比的等比数列
B.前八个矩形块中所填写的数字之和等于
C.第九个矩形块中应填写的数字为
D.记bn为除前n块之外的矩形块的面积之和,则bn=
11.已知函数f(x)=,下列结论正确的有(　　)
A.函数f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增
B.对任意x∈(0,+∞), f(x)<1
C.当x2>x1>0时,
D.ln 2≤ln n(n≥2且n∈N+)
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.函数f(x)=(e2x+ex)cos x的图象在点(0,f(0))处的切线方程是　　　　　　.
13.某渔业公司今年年初用100万元购进一艘渔船用于捕捞.已知第一年捕捞工作需各种费用4万元,从第二年开始,每年所需费用均比上一年增加2万元.若该渔船预计使用n年,其总费用(含购买费用)为　　　　　　万元;当n=　　　　时,该渔船年平均费用(含购买费用)最低.
14.已知正数a,b满足ln b+≤ln a-a4+ln(2),则a+b=　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)在①an+1=2(),②an=Sn-1+n(n≥2),③an+1=2an+n-1这三个条件中任选一个,补充在下面问题中并作答.
已知n∈N+,数列{an}的前n项和为Sn,是否存在数列{an},满足S1=1,an+1≥1+an,　　　　 若存在,求出{an}的通项公式;若不存在,说明理由.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
16.(15分)已知f(x)=-a(x-1)+ln x-1(a∈R),其中e为自然对数的底数.设g(x)=f'(x).
(1)求g(x)的单调区间;
(2)若x≥1, f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.
17.(15分)已知数列{an}满足a1=2,a2=8,an+2=4an+1-3an.
(1)证明:数列{an+1-an}是等比数列;
(2)若bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
18.(17分)已知函数f(x)=-x+asin x.
(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程;
(2)当x∈(0,π)时, f(x)>0,求实数a的取值范围.
19.(17分)已知函数f(x)=x2+ln x-ax(a∈R).
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若函数f(x)有两个极值点x1,x2,且x1答案与解析
1.C　a1=21-1=1,a2=22-1=3,a3=23-1=7,a4=24-1=15,故可得an=2n-1.
2.B　在等差数列{an}中,若a2=4,a4=2,则a4=(4+a6)=2,解得a6=0,故选B.
3.D　由f(x)=x2-aln x+1,得f '(x)=2x-,
由f(x)在[1,+∞)上单调递增,得 x≥1, f '(x)≥0,即2x2-a≥0,即a≤2x2,又 x≥1,恒有2x2≥2,所以a≤2.又a=2时, f '(x)=≥0在[1,+∞)上恒成立,所以f(x)在[1,+∞)上单调递增,
所以实数a的取值范围是(-∞,2].故选D.
4.C　易知f'(x)=2x-2sin x=2(x-sin x), f'(x)是奇函数,设g(x)=2(x-sin x),则g'(x)=2-2cos x,显然g'(x)≥0,所以f'(x)在R上单调递增.结合选项知选C.
5.A　设直线y=kx+b与曲线y=ln x的切点为(x1,ln x1),x1>0,
与曲线y=-ln(-x)的切点为(x2,-ln(-x2)),x2<0,
由y=ln x得y'=,
由y=-ln(-x)得y'=-,
则曲线y=ln x在点(x1,ln x1)处的切线方程为y-ln x1=·(x-x1),即y=x+ln x1-1,
曲线y=-ln(-x)在点(x2,-ln(-x2))处的切线方程为y+ln(-x2)=-·(x-x2),即y=-x+1-ln(-x2),
则
故k=,b=ln x1-1=0.
故选A.
6.A　设a1+a2+a3+…+an=Sn,则2Sn=an+,
当n=1时,2a1=a1+,得=1,
因为an>0,所以a1=1.
当n≥2时,2Sn=Sn-Sn-1+,得Sn+Sn-1=,得=1,
所以数列{}是首项为=1,公差为1的等差数列,
所以=1+(n-1)×1=n.
因为数列{an}是正项数列,
所以Sn>0,所以Sn=.
所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=,
又n=1时,a1=1也适合上式,
所以an=(n∈N+),
所以a2 023=.
故选A.
7.C　 当n≥2时,an-1+an=an+1,则an=an+1-an-1,
故当n≥2时,Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+(a3-a1)+(a4-a2)+…+(an+1-an-1)=(a1+a3+a4+…+an+1)-(a1+a2+…+an-1)=an+1+an-1,
此时an+2-Sn=an+1+an-(an+1+an-1)=1.
因为a3-S1=2-1=1,
所以(a3-S1)+(a4-S2)+(a5-S3)+…+(a100-S98)=98.
故选C.
8.C　 当x=-3时,aex(x+3)-x-2<0(a<1)即为0+3-2<0,即1<0,不成立.
当x<-3时,不等式等价于a>=e-x>e3>1,
又a<1,∴不成立.
当x>-3时,不等式等价于a<,
若a≤0,则不等式对于任意的x>-2恒成立,此时不等式的整数解有无穷多个,不符合题意.
若a>0,令g(x)=(x>-3),则g'(x)=-,
当x∈时,g'(x)>0,∴g(x)单调递增,
当x∈时,g'(x)<0,∴g(x)单调递减.
易知当x∈(-3,-2)时,g(x)<0,当x∈(-2,+∞)时,g(x)>0,
又∵在x趋近于+∞时,g(x)趋近于0,
∴函数g(x)在(-3,+∞)上的大致图象如图所示:
∵-2<<-1,∴当x>-3时,a<有2个整数解,这2个整数解必然是-1和0,则≤a<,
故选C.
9.AD　若k=0,则an+2-an+1=0,数列{an}为常数列,则an+1-an=0,所以k不可能为0,故A正确.
数列a,a,…,a(a≠0)既是等差数列,又是等比数列,但不满足=k,即不是等差比数列,故B,C不正确.
对于选项D,只要找到一个满足条件的数列即可,数列0,1,0,1,0,1,…显然为等差比数列,所以D正确.故选AD.
10.BD　设每个矩形块中的数字从大到小构成数列{an},
则{an}是首项为,公比为的等比数列,
所以an=,故A错误;
前八个矩形块中所填写的数字之和为,故B正确;
第九个矩形块中应填写的数字为a9=,故C错误;
按照规律继续下去,前n块矩形块的面积之和为,故bn=,故D正确.
故选BD.
11.BCD　 对于选项A, f'(x)=,x∈(-1,0)∪(0,+∞),令g(x)=x-(x+1)ln(x+1),x∈(-1,0)∪(0,+∞),
则g'(x)=-ln(x+1),
当x∈(-1,0)时,g'(x)>0,g(x)单调递增;
当x∈(0,+∞)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,
所以对任意的x∈(-1,0)∪(0,+∞),g(x)所以f(x)在(-1,0),(0,+∞)上是减函数,故A错误.
对于选项B,“对任意x∈(0,+∞), f(x)<1”等价于“对任意x∈(0,+∞),ln(x+1)令φ(x)=ln x-x+1,x>0,则φ'(x)=.
当x∈(0,1)时,φ'(x)>0,φ(x)单调递增,
当x∈(1,+∞)时,φ'(x)<0,φ(x)单调递减,
又φ(1)=0,所以φ(x)=ln x-x+1≤0,即ln x≤x-1,
所以当x∈(0,+∞)时,ln(x+1)对于选项C,令h(x)=x2f(x)=xln(x+1),x∈(0,+∞),
则h'(x)=.
当x∈(0,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增,
所以当x2>x1>0时,h(x1)所以 ,故C正确.
对于选项D,由A知, f(x)在上单调递减,
则对任意x∈,f(x)≥f >ln 2,
即>ln 2,
所以当n≥2时,>ln 2,即ln 2所以ln 2=ln 2,ln 2故ln 2+ln 2+ln 2+…+ln 2≤ln 2+ln+…+ln,
即ln 2≤ln n(当n=2时,等号成立),故D正确.
故选BCD.
12.答案　3x-y+2=0
解析　由题可得,f(0)=2,f'(x)=(2e2x+ex)cos x+(-sin x)(e2x+ex),所以f'(0)=3,
故所求切线方程为y-2=3x,即3x-y+2=0.
13.答案　n2+3n+100;10
解析　由题意,得每年的费用(不含购买费用)可以构成首项为4,公差为2的等差数列,记总费用(含购买费用)为Sn万元,
则Sn=n×4+×2+100=n2+3n+100.
年平均费用为+3≥2+3=23(万元),当且仅当n=,即n=10时,等号成立,所以当n=10时,该渔船年平均费用(含购买费用)最低.
14.答案　
解析　由ln b+≤ln a-a4+ln(2),
得ln a-a4+ln)≥0.
令f(x)=ln x-x4,则f '(x)=,
故当x∈时, f '(x)>0, f(x)单调递增;
当x∈时, f '(x)<0, f(x)单调递减.
又f ln 2-,
所以f(x)≤-ln 2-,即f(x)+ln 2+≤0,
故f(a)+ln 2++f ln 2+=f(a)+f )≤0,当且仅当a=时,等号成立.
由题可知, f(a)+f )≥0,故f(a)+f )=0,
故a=,即a=,故a+b=.
15.解析　选①.an+1=Sn+1-Sn=().(2分)
∵S1=a1=1,an+1-an≥1,
∴>0,
∴=2,即{}是以1为首项,2为公差的等差数列,(5分)
∴=2n-1,∴Sn=(2n-1)2.(8分)
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n-1)2-(2n-3)2=8n-8.(11分)
显然,n=1时,上式不成立,故an=(13分)
选②.当n≥2时,an=Sn-1+n,即Sn-1=an-n,
∴an=Sn-Sn-1=an+1-(n+1)-(an-n),
整理得an+1+1=2(an+1).(4分)
又a2=S1+2=3,a2+1=4,
∴{an+1}是从第二项起的以4为首项,2为公比的等比数列.(8分)
∴当n≥2时,an+1=4·2n-2=2n,即an=2n-1.(11分)
显然,n=1时,上式成立,
∴an=2n-1.(13分)
选③.∵an+1=2an+n-1,
∴an+1+n+1=2(an+n).(3分)
又a1+1=2,
∴{an+n}是以2为首项,2为公比的等比数列.(8分)
∴an+n=2n,即an=2n-n.(13分)
16.解析　(1)由题意得f(x)的定义域为(0,+∞),
g(x)=f'(x)=-a,则g'(x)=.(2分)
易得g'(x)在(0,+∞)上单调递增,且g'(1)=0,
∴当x∈(0,1)时,g'(x)<0,g(x)在(0,1)上单调递减,
当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)在(1,+∞)上单调递增.
故g(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1).(6分)
(2)由(1)知g(x)在(1,+∞)上单调递增,即f'(x)在(1,+∞)上单调递增,
则当x≥1时,g(x)≥g(1)=2-a,
即f'(x)≥2-a.(8分)
当a≤2时, f'(x)≥0, f(x)在[1,+∞)上单调递增,
∴f(x)≥f(1)=0,符合题意;(10分)
当a>2时,∵f'(1)=2-a<0, f'(1+ln a)=>0,
∴存在x0∈(1,1+ln a),使f'(x0)=0,
则x∈(1,x0)时, f'(x)<0, f(x)单调递减,此时f(x)≤f(1)=0,不符合题意,舍去.(13分)
综上,实数a的取值范围为(-∞,2].(15分)
17.解析　(1)证明:由an+2=4an+1-3an,得an+2-an+1=3(an+1-an),(3分)
又a2-a1=6,
∴数列{an+1-an}是以6为首项,3为公比的等比数列.(6分)
(2)由(1)得an+1-an=6·3n-1=2·3n,(8分)
则an-an-1=2·3n-1,an-1-an-2=2·3n-2,an-2-an-3=2·3n-3,……,a2-a1=2×31,
累计相加,可得an-a1=2×(3+32+…+3n-1)=2×=3n-3.
又a1=2,∴an=3n-1.(10分)
∴bn==(-1)n·.(12分)
当n为偶数时,Tn=+…+;
当n为奇数时,Tn=Tn+1-bn+1=.(14分)
综上所述,Tn=.(15分)
18.解析　(1)当a=2时, f(x)=-x+2sin x,则f '(x)=x-1+2cos x,(2分)
所以切线的斜率k=f '(0)=1,
又f(0)=0,所以切线方程为y=x.(4分)
(2)①当a≥1时,因为x∈(0,π),所以sin x>0,
所以f(x)=-x+asin x≥-x+sin x.
令g(x)=-x+sin x,则g'(x)=x-1+cos x,
令h(x)=g'(x)=x-1+cos x,则h'(x)=1-sin x.
当x∈(0,π)时,h'(x)≥0,则g'(x)在(0,π)上单调递增,
所以g'(x)>g'(0)=0,
所以g(x)在(0,π)上单调递增,
所以g(x)>g(0)=0,所以f(x)>0.(9分)
②当a<1时,由已知得f '(x)=x-1+acos x,
当x∈(0,π)时,sin x∈(0,1],
令φ(x)=f '(x)=x-1+acos x,则φ'(x)=1-asin x,
若a≤0,则φ'(x)>0,即f '(x)在(0,π)上单调递增;
若00,
所以f '(x)在(0,π)上单调递增.
所以当a<1时, f '(x)在(0,π)上单调递增.(14分)
因为f '(0)=a-1<0, f '-1>0,
所以存在x0∈,使得f '(x0)=0,
所以当x∈(0,x0)时, f '(x)<0,即f(x)在(0,x0)上单调递减,
所以f(x0)综上可知,实数a的取值范围为[1,+∞).(17分)
19.解析　(1)易知f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=x+-a.(1分)
∵x>0,∴x+≥2=2,当且仅当x=1时,等号成立,
∴当a≤2时, f'(x)≥0, f(x)在(0,+∞)上单调递增;(2分)
当a>2时,令f'(x)=0,则x+-a=0,即x2-ax+1=0,
解得x=或x=,(3分)
∴当x∈时,f'(x)>0,
当x∈时,f'(x)<0,
当x∈时,f'(x)>0,
∴f(x)在上单调递增,在上单调递减.(5分)
∴当a≤2时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当a>2时,f(x)在上单调递增,在上单调递减.(6分)
(2)证明:由(1)知,若函数f(x)有两个极值点,则a>2,x1+x2=a,x1x2=1,
∴x2 f(x1)=.(8分)
设g(x)=,
则g'(x)=.(10分)
∵a>2,
∴x1=∈(0,1).(12分)
设h(x)=4-2ln x-x2,
易知h(x)在(0,1)上单调递减,且h(x)>h(1)=3>0,
∴g'(x)>0在(0,1)上恒成立,
∴g(x)在区间(0,1)上单调递增.(15分)
∴g(x)∴2x2·f(x1)+3<0.(17分)
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