2025人教B版高中数学选择性必修第三册强化练习题（含解析）--全书综合测评(二)

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2025人教B版高中数学选择性必修第三册
全书综合测评(二)
满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.函数f(x)=x2+2sin x,则f'(1)=(　　)
A.1-2cos 1　　　　B.2-2cos 1
C.1+2cos 1　　　　D.2+2cos 1
2.若1,a2,a3,4成等差数列,1,b2,b3,b4,4成等比数列,则=(　　)
A.±
3.在等比数列{an}中,a1+a3=8,a5+a7=4,则a9+a11+a13+a15=(　　)
A.11　　　　B.6　　　　C.3　　　　D.18
4.曲线C1:y=x2和曲线C2:y=4ex-2的公切线方程为(　　)
A.4x-y-4=0　　　　B.x-2y-4=0
C.x-y+1=0　　　　 D.2x-y-2=0
5.某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹,通过观察发现,该黏菌繁殖符合如下规律:①黏菌沿直线繁殖一段距离后,就会以该直线为对称轴分叉(分叉的角度约为60°),再沿直线繁殖,……;②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.于是,该组同学将整个繁殖过程抽象为如图所示的一个数学模型:黏菌从圆形培养皿的中心O开始,沿直线繁殖到A11,然后分叉向A21与A22方向继续繁殖,其中∠A21A11A22=60°,且A11A21与A11A22关于OA11所在直线对称,A11A21=A11A22=OA11,…….若OA11=4 cm,为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁,则培养皿的半径r(r∈N*,单位:cm)至少为(　　)
A.6　　　　B.7　　　　C.8　　　　D.9
6.已知函数f(x)=x2+kln x,对任意的x2>x1>0,有 >2 022恒成立,则实数k的取值范围为(　　)
A.[0,+∞)　　　　 B.
C.
7.已知函数f(x)=x3-3ax+1,g(x)=x2-x-a2-a,若关于x的方程g(f(x))=0恰好有6个不同的实根,则实数a的取值范围为(　　)
A.
C.　　　　D.(1,+∞)
8.π和e是数学上两个神奇的无理数.π产生于圆周,在数学中无处不在,时至今日,科学家仍在借助超级计算机进行π的计算.而当涉及增长时,e就会出现,无论是人口、经济还是其他的自然数量,它们的增长总是不可避免地涉及e.已知a=eπ-3,b=ln(eπ-2e),c=,d=π-2,则a,b,c,d的大小关系是(　　)
A.cC.d二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知函数f(x)=x3-x2-3x+1,下列说法正确的是(　　)
A.y=f(x)有两个极值点
B.y=f(x)的极大值点为-1
C.y=f(x)的极小值为-9
D.y=f(x)的最大值为
10.已知数列{an}满足a1+4a2+…+(3n-2)an=n,其中bn=,Sn为数列{bn}的前n项和,则下列结论正确的是(　　)
A.数列{an}的通项公式为an=(n∈N+)
B.数列{an}为递减数列
C.Sn=(n∈N+)
D.若对于任意的n∈N+,都有Sn11.已知f(x)=x--sin x,则(　　)
A.f(x)的零点个数为4
B.f(x)的极值点个数为3
C.x轴为曲线y=f(x)的切线
D.若f(x1)=f(x2),则x1+x2=π
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,,1,…,其中第一项是1,接下来的两项依次是,1,再接下来的三项依次是,1,……,依此类推,若该数列的前n项和大于46,求满足条件的正整数n的最小值.那么该款软件的激活码是　　　　.
13.若函数f(x)=-3ln x-(k∈R)恰有两个极值点,则k的取值范围是　　　　　　.
14.“雪花”是非常美丽的图案,理论上,一片雪花的周长可以无限长,围成雪花的曲线称作“雪花曲线”,又称“科赫曲线”,是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线.下图是“雪花曲线”的一种形成过程:从一个正三角形开始,把每条边分成三等份,然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形,再去掉底边,重复进行这一过程,若第1个图形中的三角形的周长为1,则第n个图形的周长为　　　　;若第1个图形中的三角形的面积为1,则第n个图形的面积为　　　　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)在①S4=20,②S3=2a3,③3a3-a4=b2这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并作答.
已知等差数列{an}的前n项和为Sn,{bn}是各项均为正数的等比数列,a1=b4,　　　　,b2=8,b1-3b3=4,是否存在正整数k,使得数列的前k项和Tk> 若存在,求出k的最小值;若不存在,请说明理由.
注:若选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分.
16.(15分)如图,已知A、B两个城镇相距20千米,设M是AB的中点,在AB的中垂线上有一高铁站P,P、M的距离为10千米.为方便居民出行,在线段PM上任取一点O(点O不与P、M重合)建设交通枢纽,从高铁站铺设快速路到O处,再铺设快速路分别到A、B两处.因地质条件等各种因素,快速路PO造价为1.5百万元/千米,快速路OA造价为1百万元/千米,快速路OB造价为2百万元/千米.设∠OAM=θ(rad),总造价为y(单位:百万元).
(1)求y关于θ的函数关系式,并指出函数的定义域;
(2)求总造价的最小值,并求出此时θ的值.
17.(15分)已知函数f(x)=2ln x+x2-4x+3.
(1)求函数f(x)在[1,2]上的最小值;
(2)若f(x)≤a(x-1)3,求实数a的值.
18.(17分)已知在每一项均不为0的数列{an}中,a1=3,且an+1=pan+(p,t为常数,n∈N+),记数列{an}的前n项和为Sn.
(1)当t=0时,求Sn;
(2)已知p=,t=2.
①求证:数列为等比数列;
②是否存在正整数m,使得不等式Sn-2n19.(17分)已知函数f(x)=2x--(k+1)ln x,k>0.
(1)当k=1时,过坐标原点O作曲线y=f(x)的切线,求此切线的方程;
(2)设定义在I上的函数y=h(x)的图象在点P(x0,y0)处的切线为y=l(x),对任意x≠x0,若[h(x)-l(x)](x-x0)>0在I上恒成立,则称点P为函数y=h(x)的“好点”.求函数f(x)在(0,+∞)上所有 “好点”的横坐标(结果用k表示).
答案与解析
1.D　因为f(x)=x2+2sin x,所以f'(x)=2x+2cos x,所以f'(1)=2+2cos 1.故选D.
2.B　因为1,a2,a3,4成等差数列,所以a3-a2=×(4-1)=1,
因为1,b2,b3,b4,4成等比数列,所以=1×4=4,=1×b3>0,所以b3=2,
所以,故选B.
3.C　设等比数列{an}的公比为q,
∵a1+a3=8,a5+a7=4,
∴(a1+a3)·q4=4,∴q4=,
∴a9+a11+a13+a15=(a5+a7)·q4+(a5+a7)·q8=4×+4×=3,
故选C.
4.A　由y=x2得y'=2x,由y=4ex-2得y'=4ex-2,
设曲线C1,C2的公切线与曲线C1的切点为(x1,),则切线的斜率为2x1,与曲线C2的切点为(x2,4),则切线的斜率为4,
所以2x1=4,即x1=2.
当曲线C1与曲线C2的切点相同时,x1=x2,,
所以x1=x2=2,所以切点为(2,4),
此时公切线的方程为4x-y-4=0;
当曲线C1与曲线C2的切点不同时,x1≠x2,2x1=,又x1=2,所以x2-1=,解得x2=2,则x1=2,与x1≠x2矛盾,
故不存在两切点不同的情况.
综上可得,曲线C1与曲线C2的公切线方程为4x-y-4=0.
故选A.
5.C　由题意可知,只要计算出黏菌沿直线一直繁殖下去,在OA11方向上繁殖的距离的范围,就可确定培养皿的半径的范围.
由黏菌的繁殖规律可得每次繁殖在OA11方向上前进的距离(单位:cm)依次为:4,2×,…,
若黏菌无限繁殖下去,则它每次繁殖在OA11方向上前进的距离(单位:cm)的和为,
因为7<<8,所以培养皿的半径r(r∈N*,单位:cm)至少为8.
故选C.
6.D　∵对任意的x2>x1>0,有 >2 022,
∴f(x2)-2 022x2>f(x1)-2 022x1,
设g(x)=f(x)-2 022x,则g(x)在(0,+∞)上单调递增.
∵g(x)=x2+kln x-2 022x,
∴g'(x)=2x+-2 022=≥0在(0,+∞)上恒成立,
∴2x2-2 022x+k≥0,即k≥2 022x-2x2在(0,+∞)上恒成立.
∵2 022x-2x2=-2,
∴k≥,即实数k的取值范围为.故选D.
7.D　设t=f(x),则g(t)=0时,t2-t-a2-a=0,解得t1=-a,t2=a+1,
由题意可知t1≠t2,且方程t1=f(x),t2=f(x)分别有3个不同的实根.
由f(x)=x3-3ax+1得f '(x)=3x2-3a.
①当a≤0时, f '(x)≥0, f(x)单调递增,方程t=f(x)不可能有3个不同的实根.
②当a>0时,令f '(x)>0,得x<-或x>,令f '(x)<0,得-,故f(x)在(-∞,-,+∞)上单调递增,在(-)上单调递减,则f(x)极大值=f(-+1, f(x)极小值=f(+1.
要使原方程有6个不同的实根,则t1,t2∈(-2a+1).
(i)当-2a+1时,因为a>0,所以a+1<2a+1,解得a>;
(ii)当-2a+1时,因为a>0,所以-2a+1<-a,
设m=,则原不等式可转化为2m3-m2-1>0,即(m-1)(2m2+m+1)>0,所以m>1,即a>1.
综上,满足条件的a的取值范围是(1,+∞).故选D.
8.A　依题意得a=eπ-3=e(π-2)-1,b=ln(π-2)+1,c=2-.
令f(x)=ex-1-x,x>1,则f'(x)=ex-1-1>0,函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,
则f(x)>f(1)=0,即ex-1>x,
因为π-2>1,所以eπ-3>π-2,即a>d.
令g(x)=ln x-x+1,x>1,则g'(x)=-1<0,函数g(x)在(1,+∞)上单调递减,
则g(x)b.
令h(x)=ln x+-1,x>1,则h'(x)=>0,
函数h(x)在(1,+∞)上单调递增,则h(x)>h(1)=0,
即ln x>1- ln x+1>2-,
因此ln(eπ-2e)=ln(π-2)+1>2-,即b>c.
所以c9.AB　由题意得f'(x)=x2-2x-3=(x+1)(x-3),
令f'(x)>0,得x<-1或x>3,令f'(x)<0,得-1所以函数f(x)在(-∞,-1),(3,+∞)上单调递增,在(-1,3)上单调递减,
所以函数f(x)在x=-1处取得极大值,为f(-1)=,在x=3处取得极小值,为f(3)=-8,故A、B正确,C错误.
当x=6时,f(6)=×63-62-3×6+1=19>,故D错误.故选AB.
10.BC　对于A,由a1+4a2+…+(3n-2)an=n①可得,
当n=1时,a1=1;
当n≥2时,有a1+4a2+…+(3n-5)an-1=n-1,②
两式相减得(3n-2)an=1,即an=.
当n=1时,a1=1满足上式,
所以an=(n∈N+),故A错误.
对于B,an+1-an=<0,当n∈N+时恒成立,故an+1对于C,因为bn=,
所以Sn=,故C正确.
对于D,因为>0对任意n∈N+恒成立,故Sn=,
所以对于任意的n∈N+,都有Sn11.BC　f'(x)=1--cos x,令f'(x)=0,得1-=cos x.
作出y=1-和y=cos x的图象,如图所示:
由图知1-=cos x有三个解,即f'(x)=0有三个解,分别为0,,π.
所以x∈(-∞,0)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减,
x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
x∈(π,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.
所以当x=0时,f(x)取得极大值,为0,当x=时,f(x)取得极小值,为-1,当x=π时,f(x)取得极大值,为0,
所以函数f(x)有两个零点,三个极值点,A错误,B正确.
因为函数f(x)的极大值为0,所以x轴为曲线y=f(x)的切线,故C正确.
因为f(x)在(-∞,0)上单调递增,在上单调递减,
所以存在x1,x2满足x1<0显然x1+x2<,故D错误.故选BC.
12.答案　83
解析　由题意得该数列的前1+2+…+k=项和为S=1++…++…+,令>46,易得当k=12时,=45,则k≥13,
因为>1,
所以满足条件的最小正整数n=+5=83.
故该款软件的激活码为83.
13.答案　
解析　函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=[kex-(x-1)2],
令f'(x)=0,解得x=1或k=,设h(x)=,x>0.
若函数f(x)有两个极值点,则直线y=k与函数h(x)=的图象在(0,+∞)上恰有1个横坐标不为1的交点,
易得h'(x)=-,x>0,令h'(x)>0,得13,
故h(x)在(0,1)和(3,+∞)上单调递减,在(1,3)上单调递增,
且h(0)=1,h(1)=0,h(3)=,易知当x>0,且x≠1时,h(x)>0恒成立,画出h(x)在(0,+∞)上的图象,如图.
由图可得k∈.
14.答案　
解析　记第n个图形为Pn,其三角形边长为an,边数为bn,周长为Ln,面积为Sn.
若第1个图形中的三角形的周长为1,则a1=,b1=3,
则P1有b1=3条边,边长为a1=;P2有b2=4b1条边,边长为a2=a1;P3有b3=42b1条边,边长为a3=a1;……,
则an=,bn=b1·4n-1=3×4n-1.
所以Ln=anbn=×3×4n-1=.
由题意可知Pn是在Pn-1的每条边上生成一个小三角形,即Sn=Sn-1+bn-1×,n≥2,
故Sn-Sn-1=×bn-1,Sn-1-Sn-2=×bn-2,……,S2-S1=×b1,
累加可得Sn-S1=·bn-1+·bn-2+…+·b1).
因为数列{an}是以为公比的等比数列,数列{bn}是以4为公比的等比数列,故{·bn-1}是以为公比的等比数列,
若第1个图形中的三角形的面积为1,则S1=1,即=1,
此时,则,又b1=3,
所以·bn-1+·bn-2+…+·b1=,
所以Sn-S1=, 所以Sn=.
15.解析　设等比数列{bn}的公比为q,q>0,
则(舍去),(3分)
所以bn=16×,则a1=b4=2.(4分)
设等差数列{an}的公差为d.
若选①,存在.由S4=4a1+d=8+6d=20,得d=2,所以an=2n,(5分)
则Sn=×n=n(n+1),
所以,(8分)
则Tn=+…++…+,(11分)
由Tk=得k>3,由k为正整数,得k的最小值为4.(13分)
若选②,存在.由S3=2a3,即3a1+d=2(a1+2d),可得d=a1=2,
所以an=2n.(5分)
以下同①.
若选③,存在.由3a3-a4=b2,可得3(a1+2d)-(a1+3d)=8,
即3d=4,解得d=,
所以Sn=2n+n(n+2),(5分)
则,
所以Tn=+…+
=,(8分)
令Tk=,即k2-k-4>0,解得k>,(11分)
又k为正整数,所以k的最小值为3.(13分)
16.信息提取　①AB=20千米,PM=10千米;②快速路PO、OA、OB造价分别为1.5百万元/千米、1百万元/千米、2百万元/千米;③设∠OAM=θ(rad),求总造价y关于θ的函数关系式,并求出y的最小值及y取最小值时θ的值.
数学建模　本题以道路建设中的造价最少问题为背景,构建三角函数模型,将造价最少转化为利用导数求相应函数的最小值,而借助题中所给的图形便能直观地得到函数关系式.
解析　(1)∵∠OAM=θ,PM⊥AB,M为AB的中点,
∴OA=OB=,OM=10tan θ,OP=10-10tan θ,(3分)
∴y=×1+×2+(10-10tan θ)×1.5=-15tan θ+15
=15.(6分)
(2)设f(θ)=-tan θ=,
则f'(θ)=.(8分)
令f'(θ)=0,得sin θ=,
又0<θ<,∴θ=.(10分)
当0<θ<时,sin θ<, f'(θ)<0, f(θ)单调递减;
当<θ<时,sin θ>, f'(θ)>0, f(θ)单调递增.(12分)
∴f(θ)min=f ,此时y取得最小值,且ymin=15+15.(14分)
∴总造价的最小值为(15+15)百万元,此时θ=.(15分)
17.解析　(1)由f(x)=2ln x+x2-4x+3,得f'(x)=,(2分)
易得f'(x)≥0在[1,2]上恒成立,当且仅当x=1时,f'(x)=0,所以f(x)在[1,2]上单调递增,所以f(x)在[1,2]上的最小值为f(1)=0.(4分)
(2)根据题意得f(x)-a(x-1)3≤0,
设g(x)=f(x)-a(x-1)3=2ln x+x2-4x+3-a(x-1)3,x>0,
则g'(x)=,x>0.(6分)
①若a≤0,则由(1)知当x>1时,f(x)>0恒成立,
而此时a(x-1)3≤0,所以g(x)=f(x)-a(x-1)3≤0不恒成立. (8分)
②若0<<1,即a>,则当x>时,g'(x)≤0,当且仅当x=1时,g'(x)=0,
所以g(x)在上单调递减,所以g>g(1)=0,故g(x)≤0不恒成立.(10分)
③若>1,即0所以g(x)在上单调递增,所以g>g(1)=0,故g(x)≤0不恒成立.(12分)
④若=1,即a=,则g'(x)=-,
当00,故g(x)在(0,1)上单调递增;
当x>1时,g'(x)<0,故g(x)在(1,+∞)上单调递减.
所以g(x)≤g(1)=0,
故g(x)≤0恒成立.(14分)
综上所述,实数a的值为.(15分)
18.解析　(1)当t=0时,an+1=pan,
因为an≠0,所以p≠0,
所以数列{an}是首项为3,公比为p的等比数列,(2分)
当p=1时,Sn=3n;当p≠1时,Sn=.
故Sn=(4分)
(2)①证明:当p=,t=2时,an+1=,
则an+1+2=,(6分)
若存在k≥2且k∈N+,使得ak=2,
则2=ak-1=ak-2=…=a1,与a1=3矛盾,故an≠2,
易知an>0,所以>0,则lg =lg =2lg ,
因为lg =lg 5≠0,所以数列是首项为lg 5,公比为2的等比数列.(8分)
②由①知lg =2n-1×lg 5,即,
故an=,(10分)
因为an-2>0,所以,
即an+1-2<(an-2),(12分)
当n≥2时,an-2<(an-2-2)<…<,
则Sn-2n=(a1-2)+(a2-2)+…+(an-2)
≤1++…+(当且仅当n=1时取“=”),
故Sn-2n≤,所以m≥,(15分)
又m∈N+,
所以存在正整数m满足条件,且m的最小值为2.(17分)
19.解析　(1)当k=1时, f(x)=2x--2ln x, f '(x)=2+,
设切点坐标为(x1, f(x1)),
则切线方程为y=-2ln x1,
由切线过原点,得0=-2ln x1,
即--ln x1+1=0,(2分)
令g(x)=--ln x+1,则g'(x)=,
当x∈(0,1)时,g'(x)>0,g(x)在(0,1)上单调递增,
当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0,g(x)在(1,+∞)上单调递减,
所以g(x)≤g(1)=0,
故x1=1是方程--ln x1+1=0的唯一解,
所以切点坐标为(1,1),切线斜率k=f '(1)=1,切线方程为y=x.(5分)
(2)设点P(x0,y0)是函数f(x)的图象上一点,且函数f(x)的图象在点P(x0,y0)处的切线为y=l(x),
则l(x)=-(k+1)ln x0.
令F(x)=f(x)-l(x),
所以F(x0)=f(x0)-l(x0)=0,
F'(x)=f '(x)-l'(x)=-(k+1)· =,k>0.(7分)
(i)当(k+1)x0-k≤0,即x0≤时,[(k+1)x0-k]x-kx0<0,
则当x∈(x0,+∞)时,F'(x)<0,
所以F(x)在(x0,+∞)上单调递减,
故F(x)不满足对任意x≠x0,[f(x)-l(x)](x-x0)>0,
所以x0≤时,P(x0,y0)不是函数f(x)在(0,+∞)上的“好点”.(9分)
(ii)当(k+1)x0-k>0,即x0>时,F'(x)=[(k+1)x0-k].
①若x0<,即x0<,
则当x∈时,F'(x)<0,
所以F(x)在上单调递减,
故F(x)不满足对任意x≠x0,[f(x)-l(x)](x-x0)>0,所以当时,P(x0,y0)不是函数f(x)在(0,+∞)上的“好点”.(12分)
②若x0>,即x0>,
则当x∈时,F'(x)<0,
所以F(x)在上单调递减,
故F(x)>F(x0)=0,即f(x)>l(x),
不满足对任意x≠x0,[f(x)-l(x)](x-x0)>0,所以当x0>时,P(x0,y0)不是函数f(x)在(0,+∞)上的“好点”.(14分)
③若x0=,即x0=,
则当x∈(0,+∞)时,F'(x)≥0恒成立,
所以F(x)在(0,+∞)上单调递增,
故当x∈(0,x0)时,F(x)即f(x)所以当x∈(0,x0)时,[f(x)-l(x)](x-x0)>0;
当x∈(x0,+∞)时,F(x)>F(x0)=0,
即f(x)>l(x),
所以当x∈(x0,+∞)时,[f(x)-l(x)](x-x0)>0,
即对任意x≠x0,[f(x)-l(x)](x-x0)>0,所以当x0=时,P(x0,y0)是函数f(x)在(0,+∞)上的“好点”.(16分)
综上所述,函数f(x)在(0,+∞)上存在“好点”P(x0,y0),
其横坐标x0=.(17分)
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