2025人教B版高中数学选择性必修第三册强化练习题（含解析）--专题强化练1　数列的递推公式及通项公式

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2025人教B版高中数学选择性必修第三册
专题强化练1　数列的递推公式及通项公式
1.在数列{an}中,a1=14,-3,则(　　)
A.是等比数列　　　　B.是等比数列
C.是等比数列　　　　D.是等比数列
2.(2024湖南湘潭第一中学月考)已知数列{an}满足a1=1,,n∈N*,则下列结论错误的是(　　)
A.a4=2
B.数列{nan}是等比数列
C.数列{an}为递增数列
D.数列{an-6}的前n项和Sn的最小值为S6
3.(2024河南部分学校联考)若数列{an}满足a3-a2=9,an-4an-1+3an-2=0(n≥3),则an-a1=(　　)
A.　　　　C.2·3n-6　　　　D.
4.(多选题)(2024重庆南开中学月考)已知函数f(x)=,f(1)=1,f(3)=-3,若xn+1=f(xn),x1=,则(　　)
A.a=-1,b=2　　　　B.为等差数列
C.
5.(2024云南师范大学附属中学月考)已知数列{an}满足a1=1,an+1=pan+q(p,q∈R,n∈N*),设{an}的前n项和为Sn,则下列说法不正确的有(　　)
A.若p=-1,q=3,则a10=2
B.若p=-1,q=3,则S10=15
C.若p=2,q=1,则a10=1 024
D.若p=2,q=1,则S10=2 036
6.已知数列{an}满足a1=t,an+1-2an=-n+1,若{an}是递减数列,则实数t的取值范围为(　　)
A.(-1,1)　　　　B.(-∞,0)
C.(-1,1]　　　　D.(1,+∞)
7.(多选题)(2024广东广州执信中学期中)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,an+1=pan+3n(n∈N*,p∈R),则下列结论正确的是(　　)
A.若p=0,则Sn=
B.若p=1,则an=
C.若p=2,则数列{an-3n}是等比数列
D.若p=3,则数列是等差数列
8.(2023重庆巴蜀中学月考)已知数列{an}中,a1=2,+an+1=3an+1(n∈N*),Sn是数列的前n项和,则S2 023=(　　)
A.1-
C.1-
9.(2023湖南常德临澧一中开学考试)已知数列{an}满足a1=1,a2=6,an+1+an-1=2an+2n-1+2(n∈N*,且n≥2).
(1)求证:数列{an+1-an-2n}是等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
答案与分层梯度式解析
1.B　由-3,得,
因为-3=4≠0,
所以是等比数列,且首项为4,公比为2.
故选B.
2.C　由,得=2,
因为1·a1=1,
所以数列{nan}是首项为1,公比为2的等比数列,则nan=2n-1,即an=,B中结论正确;
a4==2,A中结论正确;
因为a2==1=a1,所以数列{an}不是递增数列,C中结论错误;
显然an>0,,当n≥2时,an+1>an,故数列{an}从第2项起单调递增,又a6=>6,因此数列{an-6}的前6项均为负数,从第7项起均为正数,所以数列{an-6}的前n项和Sn的最小值为S6,D中结论正确.故选C.
3.A　由已知得an-an-1=3(an-1-an-2)(n≥3),
所以a3-a2=3(a2-a1)=9,即a2-a1=3,
所以{an+1-an}是以3为首项,3为公比的等比数列,
因此an+1-an=3×3n-1=3n,
当n≥2时,a2-a1=3,a3-a2=32,……,an-an-1=3n-1,
累加得an-a1=3+32+…+3n-1=.
故选A.
4.ACD　由A正确;
由A选项可得f(x)=,则xn+1=,所以-1,所以,又-1=2,所以数列是首项为2,公比为2的等比数列,所以-1=2n,即xn=,B错误,D正确;
+…++…+<1,C正确.故选ACD.
5.C　对于A,B,若p=-1,q=3,则an+1+an=3,an+2+an+1=3,两式相减可得an+2=an,∴{an}是周期为2的周期数列,
由a1=1,an+1+an=3,得a2=2,则a10=a2=2,S10=5(a1+a2)=5×3=15,故A,B中说法正确;
对于C,D,若p=2,q=1,则an+1=2an+1,
可得an+1+1=2(an+1),∵a1+1=2,
∴数列{an+1}是以2为首项,2为公比的等比数列,
∴an+1=2n,则an=2n-1,∴a10=210-1=1 023,
S10=a1+a2+…+a10=21-1+22-1+…+210-1=21+22+…+210-10=-10=2 036,故C中说法错误,D中说法正确.故选C.
6.B　由an+1-2an=-n+1得an+1-(n+1)=2(an-n),
易知当t=1时,a1=1,a2=2,不满足{an}是递减数列,故t≠1,
因此数列{an-n}是以a1-1=t-1为首项,2为公比的等比数列,
故an-n=(t-1)2n-1,因此an=n+(t-1)2n-1,
由于{an}是递减数列,因此an+1化简得(1-t)2n-1>1,故1-t>,因此1-t>=1,解得t<0.故实数t的取值范围为(-∞,0).故选B.
方法技巧　求形如an+1=pan+qn+r形式的递推数列的通项公式时,可设an+1+(n+1)x+y=p(an+nx+y),移项整理,对比系数可得x,y的值,从而构造等比数列求得an+nx+y的表达式,进而求出an.
7.CD　对于A,当p=0时,an+1=3n,所以an=3n-1=1·3n-1,
即{an}是以1为首项,3为公比的等比数列,
所以Sn=,故A错误;
对于B,当p=1时,an+1=an+3n,则an=an-1+3n-1,……,a2=a1+3(n≥2),
利用累加法可知an=a1+(n≥2),显然a1=1符合上式,故an=(n∈N*),故B错误;
对于C,当p=2时,an+1=2an+3n,则an+1-3n+1=2an+3n-3n+1=2(an-3n),
显然an≠3n,所以{an-3n}是以a1-3=-2为首项,2为公比的等比数列,故C正确;
对于D,当p=3时,an+1=3an+3n,则,即为首项,为公差的等差数列,故D正确.故选CD.
8.B　因为+an+1=3an+1,所以+an-2=3an+1-3,即(an+2)(an-1)=3(an+1-1),
两边同时取倒数得,
整理得,即,
所以S2 023=+…++…+.故选B.
9.解析　(1)证明:当n=1时,a2-a1-21=6-1-2=3,
当n≥2时,由an+1+an-1=2an+2n-1+2,
得an+1-an=an-an-1+2n-1+2,
则(an+1-an-2n)-(an-an-1-2n-1)
=(an-an-1+2n-1+2-2n)-(an-an-1-2n-1)=2,
∴数列{an+1-an-2n}是首项为3,公差为2的等差数列.
(2)由(1)得an+1-an-2n=3+(n-1)×2=2n+1,即an+1-an=2n+2n+1,∴当n≥2时,a2-a1=21+3,a3-a2=22+5,……,an-an-1=2n-1+(2n-1),
将以上各式左右两边分别相加,
可得(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=21+22+…+2n-1+[3+5+…+(2n-1)],即an-a1==2n+n2-3,又a1=1,∴an=2n+n2-2.
解题模板　求数列通项公式的常用方法:①利用an=求数列的通项公式;②若递推公式为an-an-1=f(n)(n≥2),则利用累加法求通项公式;③若递推公式为=f(n)(n≥2),则利用累乘法求通项公式.
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