2025人教B版高中数学选择性必修第三册强化练习题（含解析）--专题强化练4　利用导数的运算法则求解切线的有关问题

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2025人教B版高中数学选择性必修第三册
专题强化练4　利用导数的运算法则求解切线的有关问题
1.(2024四川成都段考)已知曲线y=xln x+ae-x在点x=1处的切线方程为2x-y+b=0,则b=(　　)
A.-1　　　　B.-2　　　　C.-3　　　　D.0
2.(2024河南郑州月考)已知函数f(x)=x2-xf'(1),则曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为(　　)
A.3x-y-4=0　　　　B.3x-y+4=0
C.3x+y+4=0　　　　D.3x+y-4=0
3.(2024吉林辽源期末)已知直线ax-by+c=0与曲线f(x)=-cos 2x+在点P处的切线互相垂直,则的值为(　　)
A.-　　　　C.-1　　　　D.1
4.已知曲线y=x3+x2在点P处的切线的斜率为3,则点P的坐标为　(　　)
A.或(-3,0)　　　　B.或(3,18)
C.或(3,18)　　　　D.或(-3,0)
5.(2023山西三晋名校联盟顶尖计划联考)若直线y=x+a与函数f(x)=ex和g(x)=ln x+b的图象都相切,则a+b=(　　)
A.-1　　　　B.0　　　　C.1　　　　 D.3
6.(2024辽宁葫芦岛模拟)曲线y=f(x)=ax2+1(a<0)在点(1, f(1))处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积的最小值为(　　)
A.4　　　　B.2 C.1　　　　D.
7.(多选题)(2024辽宁沈阳期末)若过点P(a,0)只能作曲线y=xex的两条切线,则实数a的值可以是(　　)
A.2　　　　B.-2　　　　C.-4　　　　D.-6
(2023湖北十一校联考)已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)=x2-m,g(x)=
6ln x-4x,若曲线y=f(x)与y=g(x)在公共点处的切线相同,则实数m=
　　　　.
9.在曲线y=上求一点,使在该点处的切线平行于x轴,则该点的坐标为　　　　　,切线方程为　　　　.
10.(2024山东威海期末)已知直线kx-y-k=0与曲线y=ln(x-1)有公共点,则实数k的最大值为　　　　.
11.设函数f(x)=ax+(a,b∈Z),曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为y=3.求:
(1)f(x)的解析式;
(2)曲线y=f(x)上任意一点处的切线与直线x=1,直线y=x所围成的三角形的面积.
答案与分层梯度式解析
1.C　由题意可得y'=ln x+1-ae-x,
所以曲线y=xln x+ae-x在点x=1处的切线斜率为1-=2,解得a=-e.
所以y=xln x-e1-x,当x=1时,y=-1,所以切点为(1,-1),代入切线方程可得2+1+b=0,解得b=-3.故选C.
2.A　由f(x)=x2-xf'(1),得f'(x)=2x-f'(1),
所以f'(1)=2-f'(1),解得f'(1)=1,
所以f(x)=x2-x,f'(x)=2x-1,
所以f(2)=22-2=2,f'(2)=2×2-1=3,
所以所求切线方程为y-2=3(x-2),即 3x-y-4=0,故选A.
3.C　易得f'(x)=sin 2x,所以f'=1,由题意得×1=-1,解得=-1.故选C.
4.A　∵y=x3+x2,∴y'=x2+2x.∵曲线在点P处的切线的斜率为3,∴x2+2x=3,解得x=1或x=-3,
∴点P的坐标为或(-3,0).
5.D　设直线y=x+a与函数f(x)和g(x)的图象分别相切于点A(x1,y1),B(x2,y2).
由f(x)=ex,得f'(x)=ex,令=1,得x1=0,y1=1,
将(0,1)代入y=x+a中,得a=1.
由g(x)=ln x+b,得g'(x)=,令=1,得x2=1,y2=b,将(1,b)代入y=x+1中,得b=2.
所以a+b=3.故选D.
6.C　由题可得f(1)=a+1, f'(x)=2ax,故f'(1)=2a,
所以切线方程为y-(a+1)=2a(x-1).
令x=0,得y=1-a,令y=0,得x=.
故围成的三角形的面积S=|1-a|·.
又a<0,所以-a>0,->0,
所以S=×(2+2)=1,
当且仅当-a=-,即a=-1时等号成立.故所求的三角形的面积的最小值为1.故选C.
AD　易知y'=(x+1)ex.设切点为(x0,x0),则,所以切线方程为y-x0·(x-x0).因为切线过点P(a,0),所以
-x0·(a-x0),即-ax0-a=0.由题意知方程-ax0-a=0有两个不相等的实数解,则有Δ=a2+4a>0,解得a>0或a<-4.故选AD.
8.答案　5
解析　设曲线y=f(x)与y=g(x)的公共点为(x0,y0).
∵f(x)=x2-m,g(x)=6ln x-4x,
∴f'(x)=2x,g'(x)=-4,由题意得f'(x0)=g'(x0),即2x0=-4,得x0=-3(舍去)或x0=1,
又f(x0)=g(x0),∴-m=6ln x0-4x0,
即m=-6ln x0+4x0=5.
9.答案　(0,1);y-1=0
解析　设所求点的坐标为(x0,y0),
由题意可知=0,
又y'==0,解得x0=0,
此时y0==1.
∴该点的坐标为(0,1),切线方程为y-1=0.
10.答案　
解析　直线方程kx-y-k=0可化为y=k(x-1),
所以直线恒过定点(1,0).
设过点(1,0)的直线与曲线y=ln(x-1)相切,切点为(x0,ln(x0-1)),
由y=ln(x-1),得y'=,
则,解得x0=1+e,
所以切点为(e+1,1),
所以切线的斜率为.
因为直线kx-y-k=0与曲线y=ln(x-1)有公共点,所以k≤,所以实数k的最大值为.
11.解析　(1)由题意得f'(x)=a-,
于是
因为a,b∈Z,所以a=1,b=-1,
所以f(x)=x+.
(2)由(1)知f(x)=x+,则f'(x)=1-.
在曲线y=f(x)上任取一点(x0≠1),
则f'(x0)=1-,故曲线在该点处的切线方程为y-x0-(x-x0).
令x=1,得y=,则切线与直线x=1的交点坐标为.
令y=x,得x=2x0-1,则切线与直线y=x的交点坐标为(2x0-1,2x0-1).
易得直线x=1与直线y=x的交点坐标为(1,1).
故所围成的三角形的面积为·|2x0-1-1|=·|2x0-2|=2.
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