2025人教B版高中数学选择性必修第三册强化练习题（含解析）--专题强化练5　利用导数与辅助函数解决有关不等式问题

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2025人教B版高中数学选择性必修第三册
专题强化练5　利用导数与辅助函数解决有关不等式问题
1.(2024河北保定月考)若函数f(x)的定义域为R,且f '(x)>1,则不等式f(x)-f(2)>x-2的解集为(　　)
A.(1,+∞)　　　　B.(-∞,1)
C.(2,+∞)　　　　D.(-∞,2)
2.(多选题)(2024重庆南开中学开学考试)已知函数f(x)的定义域是(0,+∞),其导函数是f'(x),且满足ln x·f'(x)+·f(x)>0,则下列结论正确的是(　　)
A.f>0　　　　B.f<0
C.f(e)>0　　　 　D. f(e)<0
3.(2024海南文昌中学月考)设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数, f '(x),g'(x)为其导函数,当x<0时, f '(x)g(x)+f(x)g'(x)<0,且g(-3)=0,则使不等式f(x)g(x)<0成立的x的取值范围是(　　)
A.(-∞,0)∪(3,+∞)　　　　B.(-3,0)∪(3,+∞)
C.(-∞,3)　　　　 D.(0,3)∪(6,+∞)
4.(2024广东深圳适应性测试)已知a=1-,其中e是自然对数的底数,则(注:e≈2.718,ln 2≈0.693)(　　)
A.b5.(2024山东东明第一中学月考)若函数f(x)的定义域为R,满足f(0)=2, x∈R,都有f(x)+f '(x)>1,则f(x)>e-x+1的解集为(　　)
A.{x|x>1}　　　　B.{x|x>e}
C.{x|x<0}　　　　D.{x|x>0}
6.(2023湖北武汉洪山高级中学月考)已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f'(x)·x0的解集为　　　　.
7.已知偶函数f(x)的定义域为R,其导函数为f'(x),当x>0时, f(x)+xf'(x)+>0, f(5)=,则不等式f(x)>的解集为　　　　　　.
8.(2024河南开封摸底考试)实数x,y满足ex-2≤(x-3y-1)e3y,则-y的值为　　　　.
9.已知函数f(x)=x2-2kx+2ln x(k为正实数).
(1)当k=时,讨论函数f(x)的单调性;
(2)若H=f(x1)-f(x2)≥H(x1,x2为f'(x)的两个零点,且x1答案与分层梯度式解析
1.C　构造函数g(x)=f(x)-x,则g'(x)=f '(x)-1>0,所以g(x)在R上单调递增.
由f(x)-f(2)>x-2,得f(x)-x>f(2)-2,即g(x)>g(2),得x>2.故选C.
2.AC　设g(x)=f(x)·ln x,x∈(0,+∞),
则g'(x)=ln x·f'(x)+·f(x)>0,
∴g(x)在(0,+∞)上单调递增.
又g(e)=f(e)·ln e=f(e),g=f ·ln=-f ,g(1)=f(1)·ln 1=0,e>1>,
∴g(e)>g(1)>g,得f(e)>0,g=-f <0,则f>0.故选AC.
B　因为f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,所以f(-x)=
-f(x),g(-x)=g(x),
令h(x)=f(x)·g(x),
则h(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x)=-h(x),
故h(x)=f(x)·g(x)为R上的奇函数,
易得h'(x)=f '(x)·g(x)+f(x)·g'(x),
则当x<0时,h'(x)<0,
所以h(x)=f(x)·g(x)在(-∞,0)上单调递减,
所以奇函数h(x)在(0,+∞)上也单调递减,
又g(-3)=0,所以g(3)=0,所以h(-3)=h(3)=0,
所以当x∈(-3,0)∪(3,+∞)时,h(x)=f(x)·g(x)<0.故选B.
4.C　令f(x)=,则f'(x)=,
令f'(x)=0,得x=1,
易得f(x)=在(1,+∞)上单调递减,
∴b==f(4ln 2).
∵4ln 2≈4×0.693=2.772>e,∴b>c.
∵c=,
∴c-a=ln (ln ).
令g(x)=ln x-(x≥1),
则g'(x)=≥0,
∴g(x)在[1,+∞)上单调递增,
∴g()=ln =ln >g(1)=0,∴c>a.
综上,b>c>a.故选C.
5.D　因为f(x)+f '(x)>1,所以f(x)+f '(x)-1>0,所以exf(x)+exf '(x)-ex>0,
构造函数F(x)=ex[f(x)-1],则F'(x)=exf(x)+exf '(x)-ex=ex[f(x)+f '(x)-1]>0,
所以F(x)在R上单调递增,因为f(0)=2,所以F(0)=1,
所以不等式f(x)>e-x+1 exf(x)-ex>1 F(x)>F(0),
因为F(x)在R上单调递增,所以x>0,所以不等式f(x)>e-x+1的解集为{x|x>0},故选D.
6.答案　(0,3)
解析　设g(x)=,
则g'(x)=,因为f'(x)·x因为f(3)=0,所以g(3)=0,
因此 >0,即g(x)>g(3),所以07.答案　(-∞,-5)∪(5,+∞)
解析　令g(x)=xf(x)-(x≠0),
则g'(x)=f(x)+xf'(x)+,当x>0时,g'(x)>0,
所以g(x)在(0,+∞)上单调递增.
因为f(x)是偶函数,g(-x)=-xf(-x)-=-g(x),
所以g(x)是奇函数,
所以g(x)在(-∞,0)上也单调递增.
因为f(5)=,
所以g(5)=5f(5)-=0,
所以g(-5)=-g(5)=0.
又不等式f(x)>>0,
所以解得x>5或x<-5.
8.答案　
解析　因为ex-2≤(x-3y-1)e3y,所以ex-3y-2≤x-3y-1.
显然x-3y-1>0,令x-3y-2=t,则t>-1,且et≤t+1,
令f(t)=et-t-1(t>-1),则f'(t)=et-1,
当-10时,f'(t)>0,
所以f(t)在(-1,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,
所以 t>-1,f(t)≥f(0)=0,即et≥t+1,当且仅当t=0时等号成立.
综上,当t=0时,et≤t+1成立,
此时x-3y-2=0,所以.
9.解析　(1)易知函数f(x)的定义域为(0,+∞).
当k=时, f(x)=x2-2x+2ln x,
则 f'(x)=2x-2.
令f'(x)>0,解得0,
令f'(x)<0,解得,
所以f(x)在上单调递增,在上单调递减.
(2)由已知得f'(x)=2x-2k+.
由题意知方程2x2-2kx+2=0在(0,+∞)上有两个不等的正实根x1,x2(x1所以解得k>2.
H=f(x1)-f(x2)
=()-2k(x1-x2)+2(ln x1-ln x2)
=()-2(x1+x2)(x1-x2)+2(ln x1-ln x2)
=+2(ln x1-ln x2)
=+2ln
=+2ln ,
令t=,则t∈(0,1),则H(t)=-t+2ln t,
H'(t)=-<0,
所以H(t)在(0,1)上单调递减,
又H(t)≥H,所以0又k2=+2≥,当且仅当t=时等号成立,所以k≥.
综上,k的取值范围为.
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