2025人教B版高中数学选择性必修第三册强化练习题（含解析）--专题强化练6　导数综合运用中的多变量(参数)问题

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2025人教B版高中数学选择性必修第三册
专题强化练6　导数综合运用中的多变量(参数)问题
1.(2024广东四校联考)已知函数f(x)=ex,g(x)=ln x,若对于任意的s,t∈(0,+∞),且s>t,不等式g(s)-g(t)>k恒成立,求k的取值范围.
2.(2024河南周口期末)已知函数f(x)=x3-x2,g(x)=xln x-+5.
(1)若a=5,求函数g(x)的图象在x=1处的切线方程;
(2)若对任意的m,n∈,f(m)-g(n)+2≤0恒成立,求实数a的取值范围.
3.(2024山东东营模拟)已知f(x)=+nln x(m,n为常数),其图象在x=1处的切线方程为x+y-2=0.
(1)求f(x)的解析式并写出其定义域;
(2)若 x∈,使得在t∈上恒有f(x)≥t3-t2-2at+2成立,求实数a的取值范围.
4.(2024黑龙江鹤岗段考)已知函数f(x)=,g(x)=ln x-mx(m∈R).
(1)求函数g(x)的单调区间;
(2)当m>0时,对任意的x1∈[1,2],存在x2∈[1,2],使得f(x1)-3m>g(x2)成立,试确定实数m的取值范围.
答案与分层梯度式解析
1.解析　对于任意的s,t∈(0,+∞),且s>t,不等式g(s)-g(t)>k恒成立,等价于对于任意的s,t∈(0,+∞),且s>t,不等式g(s)-恒成立,
令h(x)=g(x)-=ln x-,则h(x)在(0,+∞)上单调递增,
故h'(x)=≥0在(0,+∞)上恒成立,
则对于任意x>0,不等式k≥-恒成立,
令n(x)=-,x>0,则n'(x)=-,
当00,n(x)单调递增;
当x>1时,n'(x)<0,n(x)单调递减,
所以n(x)max=n(1)=-e,
故k≥-e,即k的取值范围为[-e,+∞).
2.解析　(1)因为a=5,
所以g(x)=xln x-+5(x>0),
所以g(1)=0,即切点为(1,0).
易得g'(x)=ln x+1+(x>0),
所以g'(1)=6,
故所求的切线方程为y=6(x-1),
即y=6x-6.
(2)由对任意的m,n∈, f(m)-g(n)+2≤0恒成立,可得f(m)max≤g(n)-2对任意的m,n∈恒成立.
因为f(m)=m3-m2,m∈,
所以f'(m)=3m2-2m,
令f'(m)=0,得m=0或m=,
当m∈时, f'(m)<0, f(m)单调递减,
当m∈时, f'(m)>0, f(m)单调递增,
而f, f(2)=4,所以f(m)max=4.
所以g(n)-2≥4对任意的n∈恒成立,
即nln n-+5-2≥4对任意的n∈恒成立,
所以a≤n2ln n-n对任意的n∈恒成立.
设φ(n)=n2ln n-n,n∈,则a≤φ(n)min.
易得φ'(n)=2nln n+n-1,n∈.
设t(n)=2nln n+n-1,n∈,
则t'(n)=2ln n+3,n∈,
易得t'(n)>0在上恒成立,
所以t(n)在上单调递增,
即φ'(n)在上单调递增,而φ'(1)=0,
所以当n∈时,φ'(n)<0,φ(n)单调递减,
当n∈(1,2)时,φ'(n)>0,φ(n)单调递增.
所以当n=1时,φ(n)取得极小值,也是最小值,最小值为φ(1)=-1,所以a≤
-1,即实数a的取值范围为(-∞,-1].
3.解析　(1)易得函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=-,
由已知可得f'(1)=-+n=-1,①
又函数f(x)的图象在x=1处的切线方程为x+y-2=0,
所以切点坐标为(1,1),将(1,1)代入f(x)的解析式,可得=1,解得m=2,
将m=2代入①,可得n=-,
所以f(x)=ln x,x∈(0,+∞).
(2)由(1)知f'(x)=-<0,
所以当x∈时, f(x)单调递减,
所以f(x)在上的最小值为f(1)=1,
故只需t3-t2-2at+2≤1在t∈上恒成立,
即2a≥t2-t+对任意t∈恒成立.
令m(t)=t2-t+,t∈,
则m'(t)=2t-1-,t∈,
易知y=2t2+t+1>0在上恒成立,
令m'(t)=0,解得t=1,
所以当t∈时,m'(t)<0,m(t)单调递减,
当t∈(1,2]时,m'(t)>0,m(t)单调递增.
又m,
所以2a≥m(2)=,所以a≥,
即实数a的取值范围为.
4.解析　(1)由g(x)=ln x-mx(x>0),得g'(x)=-m.当m≤0时,g'(x)>0,所以g(x)的单调递增区间是(0,+∞),当m>0时,令g'(x)>0,解得0,所以g(x)的单调递增区间是,单调递减区间是.
综上所述,当m≤0时,g(x)的单调递增区间是(0,+∞);当m>0时,g(x)的单调递增区间是,单调递减区间是.
(2)当m>0时,对任意的x1∈[1,2],存在x2∈[1,2],使得f(x1)-3m>g(x2)成立,只需f(x)min-3m>g(x)min成立.
由f(x)=+ln x++1(x>0),
得f'(x)=.
令h(x)=x-ln x(x>0),则h'(x)=,所以当x∈(0,1)时,h'(x)<0,当x∈(1,+∞)时,h'(x)>0,所以h(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,且h(1)=1,所以h(x)≥h(x)min=h(1)=1>0,所以f'(x)>0,即f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)在[1,2]上单调递增,所以f(x)min=f(1)=2.
由(1)知,当m>0时,g(x)在上单调递增,在上单调递减.
①当0<≤1,即m≥1时,g(x)在[1,2]上单调递减,g(x)min=g(2)=ln 2-2m.
②当1<<2,即所以当当ln 2③当≥2,即0所以当0由得0当m>ln 2时,g(x)min=g(2)=ln 2-2m,
由得 ln 2所以0综上,实数m的取值范围是(0,2-ln 2).
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