2025人教B版高中数学选择性必修第三册强化练习题（含解析）--专题强化练9　利用导数解决生活中的最优化问题

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2025人教B版高中数学选择性必修第三册
专题强化练9　利用导数解决生活中的最优化问题
1.(多选题)(2024山东大联考)某粮食加工企业设计了一种容积为63 000π立方米的粮食储藏容器,已知该容器分上下两部分,上部分是底面半径和高都为r(r≥10)米的圆锥,下部分是底面半径为r米、高为h米的圆柱,如图所示.经测算,圆锥的侧面每平方米的建造费用为a元,圆柱的侧面、底面每平方米的建造费用均为a元.设每个容器的制造总费用为y元,则下列说法正确的是(　　)
A.10≤r<40
B.h的最大值为
C.当r=21时,y=7 029aπ
D.当r=30时,y有最小值,最小值为6 300aπ
2.(2024陕西西安第八十五中学月考)从商业化书店到公益性城市书房,再到“会呼吸的文化森林”——图书馆,建设高水平、现代化、开放式的图书馆一直以来是大众的共同心声.现有一块不规则的地,其平面图形如图1所示,AC=8百米,建立如图2所示的平面直角坐标系,将曲线AB看成函数f(x)=k图象的一部分,线段BC为一次函数图象的一部分,若在此地块上建立一座图书馆,平面图为直角梯形CDEF(如图2),则图书馆占地面积的最大值为　　　　万平方米.
图1
图2
3. (2024北京通州期中)球形物体天然萌,某食品厂沿袭老字号传统,独家制造并使用球形玻璃瓶用于售卖酸梅汤,其中瓶子的制造成本c(分)与瓶子的半径r(cm)的平方成正比,且当r=2时,c=3.2π.已知每出售1 mL的酸梅汤,可获利0.2分,且制作的瓶子的最大半径为6 cm.
(1)写出每瓶酸梅汤的利润y(分)与r(cm)的关系式;
(2)瓶子半径多大时,每瓶酸梅汤的利润最大 最大为多少 (结果用含π的式子表示)
答案与分层梯度式解析
1.BCD　由题意可得πr2×r+πr2h=63 000π,所以h=r,由h>0,得r>0,解得r<30,所以10≤r<30,故A错误.
易知h随r的增大而减小,所以当r=10时,h取得最大值,且最大值为,故B正确.
易得圆锥的母线长l=r米,所以圆锥的侧面积S1=πrl=πr×πr2平方米,
圆柱的侧面积S2=2πrh=2πr平方米,圆柱的底面积S3=πr2平方米,
所以总费用y=元.
当r=21时,y==7 029aπ,故C正确.
y'=,
当10≤r<30时,y'<0,函数y=单调递减,
当300,函数y=单调递增,
所以当r=30时,y取得最小值,最小值为=6 300aπ,故D正确.
故选BCD.
2.答案　
解析　由已知得曲线AB是函数f(x)=k(0≤x≤4)的图象,点B的坐标为(4,4),
所以4=k·,故k=2,
所以f(x)=2(0≤x≤4).
设线段BC对应的函数解析式为y=mx+n(4≤x≤8),
因为直线BC经过点(4,4),(8,0),
所以
所以y=-x+8(4≤x≤8),
设AD=t(0由2=-x+8可得x=8-2,
所以点F的坐标为(8-2),
所以EF=8-2-t,
所以直角梯形CDEF的面积S=(0所以S'=-3,
令S'=0,可得t=,
当00,函数S=-2上单调递增,
当所以当t=时,函数S=-2取最大值,最大值为.
3.解析　(1)由题意可设c=kr2,当r=2时,c=3.2π,
∴k=0.8π,∴c=0.8πr2.
∴y=0.2×,0(2)由(1)得y'=0.8π(r2-2r).令y'=0,得r=0(舍去)或r=2.
当r∈(0,2)时,y'<0;当r∈(2,6]时,y'>0.
∴函数y=0.8π在(0,2)上单调递减,在(2,6]上单调递增,
∴当瓶子半径为6 cm时,每瓶酸梅汤的利润最大,最大利润为28.8π分.
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