2025人教B版高中数学选择性必修第三册强化练习题（含解析）--5.1.1　数列的概念

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2025人教B版高中数学选择性必修第三册
第五章　数列
5.1　数列基础
5.1.1　数列的概念
基础过关练
题组一　对数列概念的理解
1.下列说法正确的是(　　)
A.数列2,4,6,8可以表示为{2,4,6,8}
B.数列-2,-1,0,1,2与数列2,1,0,-1,-2是相同的数列
C.数列若用图象表示,从图象看都是一群孤立的点
D.数列的项数一定是无限的
2.下列数列中,既是递增数列又是无穷数列的是(　　)
A.-1,-2,-3,-4,…
B.-1,-,…
C.-1,-2,-4,-8,…
D.1,,…,
题组二　数列的通项公式及其应用
3.(2024广东广州期末)数列2,-5,10,-17,…的一个通项公式为an=(　　)
A.(-1)n+1(3n-1)　　　　B.(-1)n(3n-1)
C.(-1)n+1(n2+1)　　　　D.(-1)n(n2+1)
4.(多选题)(2024吉林省实验中学期末)下列有关数列的说法正确的是(　　)
A.已知数列,…,按照这个规律,这个数列的第211项为
B.数列{an}的通项公式为an=n(n+1),则120是该数列的第11项
C.在数列1,,…中,第8项是2
D.数列3,5,9,17,33,…的一个通项公式为an=2n+1
5.(多选题)(2023湖南衡阳衡山期末)已知数列{an}的前5项依次如图所示,则{an}的通项公式可能为(　　)
A.an=sin 　　　　B.an=|n-3|-1
C.an=　　　　D.an=(n-3)2-1
6.(2024辽宁教研联盟调研)大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和,是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.已知该数列从第一项起依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,则该数列的第18项为(　　)
A.200　　　　B.162　　　　C.144　　　　D.128
7.若数列{an}的通项公式是an=3-2n,则a2n=　　　　,=　　　　.
8.已知数列1,,…,则它的一个通项公式为an=　　　,3是它的第　　　项.
9.某少数民族的刺绣有着悠久的历史,图(1)(2)(3)(4)为最简单的四个图案,这些图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图案包含f(n)个小正方形,则f(6)=　　　　.
10.(教材习题改编)写出以下各数列{an}的一个通项公式.
(1)-,…;
(2),…;
(3)7,77,777,7 777,….
11.(教材习题改编)在数列{an}中,a1=2,a17=66,an是关于n的一次函数.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求a2 023;
(3)2 023是不是数列{an}中的项
题组三　数列的单调性
12.(多选题)(2023山东省实验中学二诊)若数列{an}是递增数列,则{an}的通项公式可能为(　　)
A.an=n2-3n+1　　　　B.an=-
C.an=n+
13.(2024福建厦门一中月考)已知函数f(x)的定义域为[1,+∞),数列{an}满足an=f(n),n∈N+,则“{an}为递增数列”是“f(x)为增函数”的(　　)
A.充分不必要条件　　　　B.必要不充分条件
C.充要条件　　　　D.既不充分也不必要条件
14.已知k>0且k≠1,函数f(x)=数列{an}满足an=f(n),且{an}是递增数列,则实数k的取值范围是　(　　)
A.(1,+∞) B.(2,+∞) C.(1,3) D.(3,+∞)
题组四　数列的最大(小)项
15.(多选题)数列{an}满足an=(n+1)·,则当an取得最大值时,n的值为(　　)
A.2 020　　B.2 021　　C.2 022　　D.2 023
16.(2023广东深圳宝安期末)已知数列{an}的通项公式为an=,则an的最小值为　　　　,此时n的值为　　　　.
17.数列{(25-2n)·2n-1}的最大项的序号为　　　　.
18.在数列{an}中,an=1+,且a6为{an}的最大项,则实数m的取值范围是　　　　.
19.已知数列{bn}的通项公式为bn=,n∈N+,则数列{bn}的最大项的值为　　　　　.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.C　A中,{2,4,6,8}表示集合,不是数列;B中,虽然两个数列中包含的数相同,但数的排列顺序不同,不是相同的数列;D中,数列的项数可以是有限的,也可以是无限的.故选C.
2.B　A,B,C中的数列都是无穷数列,但是A,C中的数列是递减数列,只有B中的数列是递增数列,故选B.
3.C　对于A,当n=3时,(-1)n+1(3n-1)=8≠10,舍去;
对于B,当n=1时,(-1)n(3n-1)=-2≠2,舍去;
对于D,当n=1时,(-1)n(n2+1)=-2≠2,舍去;
对于C,经检验,数列2,-5,10,-17,…的一个通项公式为an=(-1)n+1(n2+1).故选C.
4.ACD　对于A,由题意得该数列的一个通项公式为an=,则a211=,故A正确;
对于B,令n(n+1)=120,则n2+n-120=0,显然11不是方程的解,故B错误;
对于C,数列1,,…可改写为,…,所以数列的一个通项公式为an=,所以第8项是,故C正确;
对于D,数列3,5,9,17,33,…可改写为21+1,22+1,23+1,24+1,25+1,…,所以该数列的一个通项公式为an=2n+1,故D正确.
故选ACD.
5.ABC　对于A,a1=sin =1,a2=sin =0,a3=sin =-1,a4=sin =0,a5=sin =1,满足题意,故A正确;
对于B,a1=|1-3|-1=1,a2=|2-3|-1=0,a3=|3-3|-1=-1,a4=|4-3|-1=0,a5=|5-3|-1=1,满足题意,故B正确;
对于C,a1=-1+2=1,a2=-2+2=0,a3=-3+2=-1,a4=4-4=0,a5=5-4=1,满足题意,故C正确;
对于D,a1=(1-3)2-1=3,不满足题意,故D错误.故选ABC.
6.B　题中所给数列的偶数项分别为2,8,18,32,50,…,
即2×1,2×4,2×9,2×16,2×25,…,记为{an},则偶数项对应的一个通项公式为an=2n2,
易知原数列的第18项为{an}的第9项,
故a9=2×92=2×81=162,故原数列的第18项为162.
7.答案　3-4n;
解析　因为an=3-2n,所以a2n=3-22n=3-4n,.
8.答案　;23
解析　因为1=,……,
所以该数列的一个通项公式是an=.
令,解得n=23,
所以3是数列的第23项.
9.答案　61
信息提取　①四个对称图形;②f(1)=1, f(2)=1+3+1, f(3)=1+3+5+3+1, f(4)=1+3+5+7+5+3+1,从而归纳出f(n).
解析　由题图得f(1)=1,
f(2)=1+3+1=2×1+3=2×(2-1)2+3,
f(3)=1+3+5+3+1=2×(1+3)+5=2×(3-1)2+5,
f(4)=1+3+5+7+5+3+1=2×(1+3+5)+7=2×(4-1)2+7,
故f(n)=2(n-1)2+2n-1=2n(n-1)+1.
所以f(6)=2×6×5+1=61.
10.解析　(1)这个数列的前4项的分母都是序号乘比序号大1的数,并且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式为an=,n∈N+.
(2)这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数,分子都是序号乘比序号大2的数,所以它的一个通项公式为an=,n∈N+.
(3)这个数列的前4项可以变形为×9 999,
即×(1 000-1),×(10 000-1),
即×(104-1),
所以它的一个通项公式为an=×(10n-1),n∈N+.
11.解析　(1)依题意设an=kn+b(k≠0),
∵a1=2,a17=66,∴
∴an=4n-2,n∈N+.
(2)由(1)得a2 023=4×2 023-2=8 090.
(3)令4n-2=2 023,解得n= N+,
∴2 023不是数列{an}中的项.
12.BD　选项A,an+1-an=(n+1)2-3(n+1)+1-n2+3n-1=2n-2,所以a2-a1=0,故{an}不是递增数列;
选项B,an+1-an=->0,所以{an}是递增数列;
选项C,an+1-an=n+1+,所以a2-a1=0,故{an}不是递增数列;
选项D,an+1-an=ln>0,所以{an}是递增数列.故选BD.
13.B　不妨取f(x)=x2-x,x≥1,即an=n2-n,n∈N+,因为an+1-an=>0对任意的n∈N+恒成立,
所以数列{an}为递增数列,但函数f(x)=x2-x在[1,+∞)上不单调;
若函数f(x)在[1,+∞)上为增函数,则对任意的n∈N+, f(n+1)>f(n),即an+1>an,故数列{an}为递增数列.
因此,“数列{an}为递增数列”是“函数f(x)为增函数”的必要不充分条件.故选B.
导师点睛　数列是一种特殊的函数,因此,我们可以借用函数的研究方法来研究数列,但要时刻注意两者之间的区别:一般函数的定义域为连续区间[a,b],而数列的定义域则为正整数集的子集.
14.D　由题意,知an=因为{an}是递增数列,所以解得k>3,所以实数k的取值范围是(3,+∞).
15.AB　∵,
∴当n>2 020时,<1;当n<2 020时,>1;
当n=2 020时,a2 021=a2 020,
∴当n=2 020或n=2 021时,an取得最大值.故选AB.
16.答案　;3
解析　an=易知{an}先减后增,又a3=,
∴an的最小值为,此时n=3.
17.答案　11
解析　令an=(25-2n)·2n-1,
设{an}的最大项为ak,
则
解得≤k≤,又k∈N+,所以k=11,
易知a1=23,a11=3 072,显然a1所以数列{(25-2n)·2n-1}的最大项的序号为11.
18.答案　(-11,-9)
解析　令y=1+,其大致图象如图:
∵a6为{an}的最大项,∴5<<6,
∴-1119.答案　
解析　易得bn+1-bn=,且n∈N+,
∴当n=1,2,3,4,5时,bn+1-bn>0,即b1当n=6,7,8,…时,bn+1-bn<0,即b6>b7>b8>….
∴数列{bn}的最大项为b6=.
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