2025人教B版高中数学选择性必修第三册强化练习题（含解析）--5.1.2　数列中的递推

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2025人教B版高中数学选择性必修第三册
5.1.2　数列中的递推
基础过关练
题组一　递推关系的理解与应用
1.若数列{an}满足a1+2a2+…+nan=16n,则a4=(　　)
A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.8
2.(2024河南济源期末)已知数列{an}满足a2=0,a2n+1=a2n+(n∈N*),则数列{an}的第2 024项为(　　)
A.
3.(2024天津英华实验学校月考)已知数列{an}满足an+1=an,且a1=1,则an=(　　)
A.
4.(多选题)(2024山东德州第一中学期中)已知正项数列{an}满足an+1=则下列结论正确的是(　　)
A.若a1=10,则a2 023=2
B.若a3=16,则a1的值有3种情况
C.若数列{an}满足an+2=an,则a1=3
D.若an为奇数,则an-1=2an(n≥2)
题组二　数列的周期性
5.(2024辽宁沈阳铁路实验中学阶段检测)若数列{an}满足an+1=,a1=2,则a2 024=(　　)
A.2　　　　B.-1　　　　C.　　　　D.-2
6.(2024山东新泰第一中学月考)若数列{an}满足a1=2,an+1=(n∈N+),则该数列的前2 023项的乘积是(　　)
A.-2　　　　B.-3　　　　C.2　　　　D.3
7.(2024吉林长春第八中学月考)意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例,引入“兔子数列”:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…,设该数列为{Fn},则F1=F2=1,Fn=Fn-1+Fn-2(n≥3,n∈N+),此数列在很多领域中都有广泛的应用.若此数列的各项被2除后的余数构成一个新数列{an},则数列{an}的前2 023项和为(　　)
A.672　　　　B.673　　　　C.1 349　　　　D.2 019
题组三　数列的前n项和及其应用
8.(多选题)(2023山东淄博第七中学月考)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=9n-n2,则下列说法正确的是(　　)
A.{an}是递减数列
B.a10=-14
C.当n>5时,an<0
D.当n=4或n=5时,Sn取得最大值
9.数列{an}满足a1=,a1+a2+…+an=n2·an,则数列{an}的通项公式为　　　　.
10.设数列{an}满足a1=3,其前n项和Sn=2an+1,n≥2,则an=　　　　　,a5=　　　　.
11.设数列{an}的前n项和为Sn,Sn=An2+Bn,A≠0.
(1)当A=2,且a2=-10时,求数列{an}的通项公式;
(2)设{an}的各项均为负实数,当a3=-9时,求实数A的取值范围.
能力提升练
题组一　数列的递推关系及其应用
1.(2024湖南长沙雅礼中学月考)如图所示,九连环是我国传统民间智力玩具,主要由九个圆环及框架组成,每个圆环都连有一个直杆,各直杆在后一个圆环内穿过,九个直杆的另一端用平板或者圆环相对固定,圆环在框架上可以解下或者套上.若按某种规则将九个环全部从框架上解下或者全部套上,则成功.记f(n)(n≤9且n∈N+)为将第n个圆环解下最少需要移动的次数,已知f(1)=1, f(2)=1,且f(n)=f(n-1)+2f(n-2)+1(3≤n≤9),则解下第5个圆环最少需要移动的次数为(　　)
A.7　　　　B.16　　　　C.19　　　　D.21
2.(多选题)(2024湖北荆州沙市中学月考)如果一个人爬楼梯的方式只有两种,一次上一级台阶或一次上两级台阶,设爬上n级台阶的方法数为an,则下列结论正确的有(　　)
A.a6=13　　　　
B.an+2=an+an+1
C.a1+a2+…+a7=51　　　　
D.+…+=anan+1-1
3.已知数列{an}对任意的n∈N*都有an+1<,且a1+a2+…+a9=9,则下列说法正确的是(　　)
A.数列{an+1-an}为递减数列,且a5>1
B.数列{an+1-an}为递增数列,且a5>1
C.数列{an+1-an}为递减数列,且a5<1
D.数列{an+1-an}为递增数列,且a5<1
4.(多选题)(2024山东潍坊期中)已知正项数列{an}满足a1=1,an=,则(　　)
A.a2=　　　　B.{an}是递增数列
C.an+1-an>
5.在数列{an}中,a1=2,,则an=　　　　.
题组二　数列的前n项和及其应用
6.(2023北京首都师范大学附属密云中学阶段检测)已知数列{an}的前n项和Sn=2n+1-2,若 n∈N+,λan≤4+S2n恒成立,则实数λ的最大值是(　　)
A.3　　　　B.4　　　　C.5　　　　D.6
7.(多选题)(2024辽宁部分学校月考)已知数列{an}的通项公式为an=,前n项和为Sn,则下列说法正确的是(　　)
A.数列{an}有最小项,没有最大项
B.使an∈Z的项共有6项
C.满足anan+1an+2≤0的n的值共有7个
D.使Sn取得最小值的n为7
8.(2024山东德州开学考试)已知数列{an}的前n项和为Sn,且6Sn=(3n+2)an+2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=,求数列{bn}的前100项和T100.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.C　当n=4时,a1+2a2+3a3+4a4=16×4,
当n=3时,a1+2a2+3a3=16×3,
两式相减,得4a4=16,解得a4=4.故选C.
2.C　由已知得a2n+2=a2n+1-(n∈N*),
所以a2 024=a2 022+,
a2 022=a2 020+,
a2 020=a2 018+,
……
a6=a4+,
a4=a2+1-,
累加得a2 024=a2+1-+…+=0+1-.故选C.
规律总结　若an+1-an=f(n),则通常用累加法求{an}的通项公式,若利用累加得到an(n≥2),需注意验证a1是否符合.
3.B　由an+1=an,得,
所以,……,(n≥2),
所以×…×,所以,
因为a1=1,所以an=,
经检验a1=1满足上式,所以an=.故选B.
规律总结　若=f(n)或=f(n),则通常用累乘法求{an}的通项公式,若利用累乘得到an(n≥2),需注意验证a1是否符合.
4.BD　对于A,由a1=10及题意得该数列为10,5,8,4,2,1,4,2,1,4,2,1,…,
则a3n+1=4,a3n+2=2,a3n+3=1,又2 023=3×674+1,所以a2 023=4,A错误.
对于B,若a2为偶数,则a2=2a3=32,于是a1=64或a1=29;
若a2为奇数,则a2=a3-3=13,于是a1=26,因此a1的值会出现3种情况,B正确.
对于C,由数列{an}满足an+2=an,得数列{an}是周期为2的周期数列,所以a3=a1,
当a1为偶数时,a2=,则a3=+3=a1或a3==a1,解得a1=6或a1=0(舍去);
当a1为奇数时,a2=a1+3,则a3==a1,解得a1=3,因此a1=3或a1=6,C错误.
对于D,若an-1为奇数,则an=an-1+3,为偶数,与an为奇数矛盾,因此an-1为偶数,
所以an=,则an-1=2an(n≥2),D正确.
故选BD.
5.B　由an+1=,a1=2,可得a2=-1,a3=,a4=2,……,
所以数列{an}是周期为3的周期数列,
因为2 024=3×674+2,所以a2 024=a2=-1.故选B.
规律总结　周期数列的常见结论:若an+1=,则数列{an}的周期为3;若an+1=1-,则数列{an}的周期为3;若an+1=,则数列{an}的周期为4;若an+2=an+1-an,则数列{an}的周期为6.
6.D　因为a1=2,an+1=,
所以a2==-3,
同理可得a3=-,a5=2,……,
所以数列{an}满足an+4=an(n∈N+),且a1·a2·a3·a4=1,又2 023=505×4+3,
所以该数列的前2 023项的乘积为a1·a2·a3·a4·…·a2 023=1505·a2 021·a2 022·a2 023=a1·a2·a3=3.
7.C　由题意得数列{an}为1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,…,
所以{an}是周期为3的周期数列,且a1+a2+a3=1+1+0=2,因为2 023=674×3+1,所以数列{an}的前2 023项和为674×2+1=1 349.
8.ACD　由Sn=9n-n2可得,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-2n+10,
又a1=S1=8=-2×1+10,适合上式,
所以数列{an}的通项公式为an=-2n+10.
对于A,由an+1-an=-2<0,得an+1对于B,a10=-2×10+10=-10,所以B错误;
对于C,令an=-2n+10<0,得n>5,所以C正确;
对于D,因为Sn=9n-n2=-,n∈N*,所以当n=4或n=5时,Sn取得最大值,所以D正确.
故选ACD.
9.答案　an=
解析　当n≥2时,a1+a2+…+an=n2·an,①
a1+a2+…+an-1=(n-1)2·an-1,②
①-②,得an=n2·an-(n-1)2·an-1,
即(n2-1)·an=(n-1)2·an-1,
所以(n+1)·an=(n-1)·an-1,所以.
所以,……,,
所以×…×,
所以.
又a1=,所以an=(n≥2).
当n=1时,an=也成立,
所以an=(n∈N+).
10.答案　an=;16
解析　∵Sn=2an+1,n≥2,①
∴Sn-1=2an-1+1,n≥3,②
①-②,得an=2an-2an-1,∴an=2an-1,n≥3.
当n=2时,3+a2=2a2+1,解得a2=2.
∴当n≥3时,an=2an-1=22an-2=…=2n-2·a2=2n-1.
又a1=3不满足an=2n-1,a2=2满足an=2n-1,
∴an=∴a5=24=16.
11.解析　(1)当A=2时,Sn=2n2+Bn,
∴当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2+Bn-2(n-1)2-B(n-1)=4n+B-2,∴a2=8+B-2=6+B,
又a2=-10,∴B=-16,∴an=4n-18,
当n=1时,a1=S1=-14,显然满足上式.
故an=4n-18,n∈N+.
(2)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=An2+Bn-A(n-1)2-B(n-1)=2An+B-A,
∵a3=-9,∴6A+B-A=5A+B=-9,
∴B=-5A-9,∴an=2An-6A-9(n≥2).
∵当n=1时,a1=S1=A+B=-4A-9,满足上式,
∴an=2An-6A-9,n∈N+.
∵{an}的各项均为负实数,
∴故实数A的取值范围为-能力提升练
1.B　由已知得f(3)=f(2)+2f(1)+1=1+2+1=4,
f(4)=f(3)+2f(2)+1=4+2+1=7,
f(5)=f(4)+2f(3)+1=7+8+1=16.
2.ABD　由题意得爬到第(n+2)级台阶有两种方法:从第(n+1)级上一级台阶或从第n级上两级台阶,
则an+2=an+an+1,故B正确;
易知a1=1,a2=1+1=2,所以a3=2+1=3,a4=3+2=5,a5=5+3=8,a6=8+5=13,故A正确;
a7=13+8=21,所以a1+a2+…+a7=1+2+3+5+8+13+21=53≠51,故C错误;
由B选项分析可知=a3(a4-a2),……,=an(an+1-an-1),n≥2,
则+…+=1+a2(a3-a1)+a3(a4-a2)+…+an-1(an-an-2)+an(an+1-an-1)=1+a2a3-a1a2+a3a4-a2a3+…+an-1an-an-1an-2+anan+1-anan-1=anan+1-a1a2+1=anan+1-1,当n=1时,=a1a2-1,满足上式,故+…+=anan+1-1,故D正确.
故选ABD.
3.D　∵数列{an}对任意的n∈N*都有an+1<,
∴an+2-an+1>an+1-an,∴(an+2-an+1)-(an+1-an)>0,
∴{an+1-an}为递增数列.
∴a6-a5>a5-a4,即a4+a6>2a5,
a7-a6>a4-a3,即a3+a7>a4+a6,
同理可得,2a5∴a1+a2+a3+…+a9=(a1+a9)+(a2+a8)+(a3+a7)+(a4+a6)+a5>9a5,即9a5<9,∴a5<1.故选D.
4.BCD　由题意得a1==1,即-a2-1=0,解得a2=,
因为{an}为正项数列,所以a2=,故A错误;
因为an+1-an=an+1->0,因此{an}是递增数列,故B正确;
易知an+1>1,所以an+1-an=,即an+1-an>,故C正确;
因为an+1-an=,即an+1-an<,
所以a2-a1<1,a3-a2<,……,an+1-an<,因此an+1-a1<1++…+,即an+1<1+,故D正确.故选BCD.
5.答案　2n+nln n
解析　因为,
所以,……,,
由累加法可得+…+ln,
即=2+ln n,
所以an=2n+nln n.
6.C　当n=1时,a1=S1=22-2=2,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1-2-(2n-2)=2n,
当n=1时,an=2n成立,∴an=2n.
∵Sn=2n+1-2,∴S2n=22n+1-2.
∵ n∈N+,λan≤4+S2n恒成立,
∴λ≤恒成立,
易知当n=1时,2有最小值,为5.
∴λ≤5,∴实数λ的最大值是5.故选C.
7.BD　对于A,an=,
易知{an}在[1,7]和[8,+∞)上均单调递减,当n∈[1,7]时,an<1,当n∈[8,+∞)时,an>1,所以an的最大值为a8=10,最小值为a7=-8,
故数列{an}有最小项,也有最大项,故A错误.
对于B,易知当an∈Z时,2n-15应为9的约数,故2n-15的值为±1,±3,±9,
结合n为正整数,得n=3,6,7,8,9,12,故B正确.
对于C,当1≤n≤2或n≥8时,an>0,当4≤n≤7时,an<0,当n=3时,an=0,
故当n=1,2,3,4,5,7时,满足anan+1an+2≤0,共有6个这样的n,故C错误.
对于D,由已知得{an}从第8项起均为正数,故{Sn}的最小项为S7,故D正确.故选BD.
8.解析　(1)由6Sn=(3n+2)an+2得当n=1时,6S1=6a1=5a1+2,所以a1=2,
当n≥2时,6Sn-1=(3n-1)an-1+2,
所以6Sn-6Sn-1=6an=(3n+2)an-(3n-1)an-1,
所以,……,,
累乘得×…×,所以an=3n-1(n≥2),
当n=1时,a1=2满足上式,所以an=3n-1.
(2)由(1)得bn=,
所以T100=+…+.
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