2025人教B版高中数学选择性必修第三册强化练习题（含解析）--5.2.1　等差数列

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2025人教B版高中数学选择性必修第三册
5.2　等差数列
5.2.1　等差数列
基础过关练
题组一　等差数列的定义及其应用
1.(多选题)(2024河南南阳华龙高级中学月考)下列数列中,是等差数列的是(　　)
A.1,4,7,10　　　　B.lg 2,lg 4,lg 8,lg 16
C.25,24,23,22　　　　D.10,8,6,4,2
2.(2023辽宁大连第八中学月考)若数列{an}满足3an+1=3an+1,则数列{an}(　　)
A.是公差为1的等差数列
B.是公差为的等差数列
C.是公差为-的等差数列
D.不是等差数列
3.(多选题)(2022江苏扬州调研)若数列{an}为等差数列,则下列说法正确的有(　　)
A.数列2a1,2a2,2a3,…,2an为等差数列
B.数列a2,a4,a6,…,a2n为等差数列
C.数列{anan+1}为等差数列
D.数列{an+an+1}为等差数列
4.已知各项都为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=(an+1)2(n∈N+).
(1)求a1,a2;
(2)求证:数列{an}是等差数列.
题组二　等差数列的通项公式及其应用
5.(2024辽宁部分高中联考)在等差数列{an}中,若a2+a9=10,则3a4+a10=(　　)
A.10　　　　B.15　　　　
C.20　　　　D.25
6.(2023北京交通大学附属中学月考)已知等差数列{an}满足4a3=3a2,则{an}中一定为零的项是(　　)
A.a6　　　　B.a7　　　　
C.a8　　　　D.a9
7.(2024天津宁河期末)已知数列{an}满足loan+1(n∈N*),若a5=3,则a1=(　　)
A.48　　　　B.24　　　　C.16　　　　D.12
8.(2024辽宁七校协作体月考)图1是第七届国际数学教育大会的会徽图案,会徽的主体图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的,其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,如果把图2中的直角三角形继续作下去,记OA1,OA2,…,OAn的长度构成的数列为{an},则a100=(　　)
　
A.　　　　B.1　　　　C.10　　　　D.100
9.已知等差数列{an}的首项为,且从第10项开始每项都比1大,则公差d的取值范围是　　　　.
10.(2024山东临沂平邑第一中学月考)在数列{an}中,已知a1=,且 n∈N*,恒成立,则a10=　　　　　.
11.(2024湖南长沙长郡中学开学考试)已知{an}为等差数列,a2=4,a6=16,若在数列{an}中每相邻两项之间插入三个数,使得新数列也是一个等差数列,则新数列的第41项为　　　　.
12.(2024湖北武汉期末)设Sn为数列{an}的前n项和,且a1=.
(1)证明:数列是等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
题组三　等差中项
13.若x是a与b的等差中项,x2是a2与-b2的等差中项,则a,b的关系是(　　)
A.a=-b　　　　 B.a=3b
C.a=-b或a=3b　　　　D.a=b=0
14.已知{an}是等差数列,且a3-1是a2和a5的等差中项,则{an}的公差为(　　)
A.-2　　　　B.-1　　　　
C.1　　　　 D.2
15.(2024黑龙江哈尔滨第九中学期中)设a>0,b>0,若ln是ln 3a与ln 9b的等差中项,则的最小值为(　　)
A.6　　　　B.8　　　　C.9　　　　D.12
题组四　等差数列的性质及其应用
16.(2024辽宁大连第八中学月考)等差数列{an}中,a4+a6=6,a8=4,则a2=(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
17.(2024山东菏泽第一中学月考)在等差数列{an}中,若a1+a4+a7=39,
a2+a5+a8=33,则a3+a6+a9的值为(　　)
A.30　　　　B.27　　　　C.24　　　　D.21
18.(多选题)(2024湖南岳阳湘阳、平江期末)已知各项均为正数的等差数列{an}单调递增,其公差为d,且a5=2,则下列结论正确的是(　　)
A.d∈　　　　B.2a7=a9+2
C.a8+a4>a6+a5　　　　D.a1+a9=4
19.已知等差数列{an}的公差为d.
(1)若a2+a3+a23+a24=48,求a13;
(2)若a2+a3+a4+a5=34,a2a5=52,求公差d.
能力提升练
题组一　等差数列的通项公式及其应用
1.(2024内蒙古呼和浩特第六中学月考)已知数列{an}的前n项和为Sn,满足a1 =1, =1,则an =　(　　)
A.2n-1　　　　B.n　　　　
C.2n-1　　　　D.2n-1
2.(2024山东烟台期末)已知数列{an},{bn}的通项公式分别为an=3n-1,bn=4n-3(n∈N*),设这两个数列的公共项构成集合A,则集合A∩{n|
n≤2 023,n∈N*}中元素的个数为(　　)
A.166　　　　B.168　　　　
C.169　　　　D.170
3.(2024天津一中月考)如图1,一座斜拉索大桥共有10对永久拉索,在索塔两侧对称排列,如图2,已知拉索上端相邻两个针Pi,Pi+1(i=1,2,…,9)满足PiPi+1=4 m,拉索下端相邻两个针Ai,Ai+1(i=1,2,…,9)满足AiAi+1=
18 m,最短拉索的针P1,A1满足OP1=84 m,OA1=78 m,以B10A10所在直线为x轴,OP10所在直线为y轴,则最长拉索所在直线的斜率为(　　)
A.±　　　　C.±
4.(2024辽宁丹东凤城第一中学月考)已知数列{an}满足a1=,an-an+1=anan+1(n∈N*),则的最小值为(　　)
A.　　　　C.16　　　　D.18
5.(多选题)(2022湖南一模)数列{an}满足a1=a,2an+1-anan+1=1,则(　　)
A.数列{an}可能为常数列
B.当a=0时,数列的前10项和为-55
C.当a=时,数列{an}的最小项的值为
D.若数列{an}为递增数列,则a<1
6.1934年,东印度(今孟加拉国)学者森德拉姆发现了“正方形筛子”:
4　 7　 10　13　16　 …
7 12 17　 22 27 …
10　17　24　31　38　…
13　22　31　40　49 …
16　27　38　49　60　…
…　…　…　…　…　…
(1)这个“正方形筛子”的每一行有什么特点 每一列呢
(2)“正方形筛子”中位于第100行的第100个数是多少
题组二　等差数列的性质及其应用
7.已知等差数列{an}中,a2,a8是2x2-16x-1=0的两根,则(a3+a7)2-a5=(　　)
A.248　　　　B.60　　　　C.12　　　　D.4
8.(2024福建龙岩学院附属中学月考)已知{an}是各项均为正数的等差数列,且a6+2a7+a10=20,则a7·a8的最大值为(　　)
A.10　　　　B.20　　　　C.25　　　　D.50
9.(2024北京第五十五中学月考)2022年北京冬奥会开幕式将我国二十四节气融入倒计时,尽显中国人之浪漫.倒计时依次为:大寒、小寒、冬至、大雪、小雪、立冬、霜降、寒露、秋分、白露、处暑、立秋、大暑、小暑、夏至、芒种、小满、立夏、谷雨、清明、春分、惊蛰、雨水、立春.已知从冬至到夏至的日影长(单位:寸)等量减少,且冬至、立冬、秋分三个节气的日影长之和为31.5寸,则大雪、寒露的日影长之和为(　　)
A.21寸　　　　B.20.5寸　　　　C.20寸　　　　D.19.5寸
10.已知椭圆=1上有n个不同的点P1,P2,P3,…,Pn,椭圆右焦点为F,数列{|PnF|}是公差大于的等差数列,则n的最大值为(　　)
A.2 017　　　　B.2 018　　　　C.4 036　　　　D.4 037
11.(2023河北邯郸期末)已知等差数列{an}为递增数列,若=101,a5+a6=11,则数列{an}的公差d为　　　　.
题组三　等差数列的综合应用
12.(2023辽宁大连庄河高级中学月考)已知数列{an}的各项均为正数,点A(an,)在拋物线y2=x+6上,则过点P(n,an)和Q(n+2,an+2)(n∈N+)的直线的一个方向向量的坐标可以是(　　)
A.　　　　 B.(-2,-2)
C.
13.(2024重庆第七中学月考)南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,其前后两项之差并不相等,而是逐项差数之差或者高次差相等.例如“百层球堆垛”:它的最上层有1个球(a1=1),第二层有3个球(a2=3),第三层有6个球(a3=6),第四层有10个球(a4=10),第五层有15个球(a5=15),……,各层球数之差:a2-a1,a3-a2,a4-a3,a5-a4,…,即2,3,4,5,…构成等差数列.现有一个高阶等差数列:1,3,6,12,23,41,…,则该数列的第8项为(　　)
A.51　　　　B.68　　　　C.106　　　　D.157
14.在数列{an}中,a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n≥2,n∈N+).
(1)证明:数列是等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)若λan+≥λ对任意的n≥2,n∈N+恒成立,求实数λ的取值范围.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.ABD　A中,因为4-1=7-4=10-7=3,所以是等差数列;
B中,因为lg 4-lg 2=lg 8-lg 4=lg 16-lg 8=lg 2,所以是等差数列;
C中,因为24-25≠23-24≠22-23,所以不是等差数列;
D中,因为8-10=6-8=4-6=2-4=-2,所以是等差数列.故选ABD.
2.B　由3an+1=3an+1,得3an+1-3an=1,即an+1-an=,所以数列{an}是公差为的等差数列.
3.ABD　设等差数列{an}的公差为d.
对于A,2an+1-2an=2(an+1-an)=2d,所以A正确;
对于B,a2(n+1)-a2n=a1+(2n+1)d-[a1+(2n-1)d]=2d,所以B正确;
对于C,an+1an+2-anan+1=an+1(an+2-an)=2an+1d,
当d=0时,2an+1d=0,此时数列{anan+1}为等差数列,
当d≠0时,2an+1d=2a1d+2nd2,不是常数,此时数列{anan+1}不是等差数列,所以C不正确;
对于D,an+1+an+2-(an+an+1)=an+2-an=2d,所以D正确.故选ABD.
4.解析　(1)由已知条件得a1=S1=(a1+1)2,
∴a1=1.
又S2=a1+a2=-2a2-3=0,
解得a2=-1(舍去)或a2=3.
(2)证明:∵Sn=(an+1)2,
∴当n≥2时,Sn-1=(an-1+1)2,
∴Sn-Sn-1=[(an+1)2-(an-1+1)2]
=+2(an-an-1)],
即4an=+2an-2an-1,
∴-2an-2an-1=0,
∴(an+an-1)(an-an-1-2)=0,
又an+an-1>0,
∴an-an-1-2=0,即an-an-1=2(n≥2),
∴数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列.
5.C　设等差数列{an}的公差为d,
则a2+a9=2a1+9d=10,
所以3a4+a10=4a1+18d=2(2a1+9d)=20.
6.A　设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,由4a3=3a2,得4(a1+2d)=
3(a1+d),整理,得a1=-5d,∴a6=a1+5d=0,故选A.
7.A　由loan+1得loan=1,
所以数列{loan}是公差为1的等差数列,
所以lo3,
所以lo48,
所以a1=48.故选A.
8.C　由已知得OAn=,即O=1,
因为OA1,OA2,…,OAn的长度构成的数列为{an},所以=1(n≥2),
则数列{}是公差为1的等差数列,且首项=1,
所以=1+(n-1)×1=n,即an=,
所以a100=10.故选C.
9.答案　
解析　依题意可知
∴10.答案　
解析　依题意可得,
∵,
∴=…==1,故数列=2为首项,d=1为公差的等差数列,
∴=2+(n-1)×1=n+1,即an=,故a10=.
11.答案　31
解析　设等差数列{an}的公差为d,则d==3,所以a1=4-3=1.
设新的等差数列为{bn},则首项b1=1,公差为,所以bn=1+
,
故b41==31.
12.解析　(1)证明:由Sn+1=2-,可得Sn+1-1=1-,则,
所以=1,
又S1=a1=,所以=2,
所以数列是首项为2,公差为1的等差数列.
(2)由数列是首项为2,公差为1的等差数列,可得=2+(n-1)×1=n+1,所以Sn=+1,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=,
因为a1=不满足上式,
所以数列{an}的通项公式为an=
13.C　由等差中项的定义知x=,即a2-2ab-3b2=0,可得a=-b或a=3b.
14.A　设等差数列{an}的公差为d.
由题意,得a2+a5=2(a3-1),
即a1+d+(a1+4d)=2(a1+2d-1),解得d=-2.
故选A.
15.B　∵ln 是ln 3a与ln 9b的等差中项,
∴2ln =ln 3a+ln 9b,
即ln 3=ln(3a×9b)=ln 3a+2b=(a+2b)ln 3,
∴a+2b=1,又a>0,b>0,
∴≥4+2=8,当且仅当且a+2b=1,即a=时等号成立,故的最小值为8.故选B.
16.B　因为{an}为等差数列,所以a2+a8=a4+a6,又a4+a6=6,a8=4,所以a2+4=6,解得a2=2.故选B.
17.B　解法一:设数列{an}的公差为d.
因为a1+a4+a7=3a4=39,所以a4=13,
因为a2+a5+a8=3a5=33,所以a5=11,
所以d=a5-a4=-2,所以a6=a5+d=9,
所以a3+a6+a9=3a6=27.
解法二:由等差数列的性质可得a1+a3=2a2,a4+a6=2a5,a7+a9=2a8,
所以a3+a6+a9=2(a2+a5+a8)-(a1+a4+a7)=2×33-39=27.
18.BCD　由题意得d>0,a1>0,所以a1=2-4d>0,解得d<,所以d∈,故A错误;
2a7-a9=(a5+a9)-a9=a5=2,故B正确;
a8+a4-(a6+a5)=a8-a6-(a5-a4)=2d-d=d>0,所以a8+a4>a6+a5,故C正确;
a1+a9=2a5=4,故D正确.故选BCD.
19.解析　解法一:(1)由a2+a3+a23+a24=48,得4a13=48,∴a13=12.
(2)由a2+a3+a4+a5=34,
得2(a2+a5)=34,即a2+a5=17,
由
由d=得d=3或d=-3.
解法二:(1)由题意得(a1+d)+(a1+2d)+(a1+22d)+(a1+23d)=48,即4(a1+12d)=48,
∴4a13=48,∴a13=12.
(2)由题意得
解得
∴d=3或d=-3.
能力提升练
1.A　∵a1 =1, =1,
∴{}是以1为首项,1为公差的等差数列,
∴=n,即Sn=n2,
∴当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,
当n=1时,a1=1也适合上式,
∴an=2n-1.故选A.
2.C　依题意,令am=bk,m,k∈N*,即3m-1=4k-3,整理得m=(k-1)+,
因此k+1是3的正整数倍,令k+1=3n,n∈N*,即k=3n-1,
设数列{an}、{bn}的公共项构成数列{cn},
则cn=b3n-1=4(3n-1)-3=12n-7,
由12n-7≤2 023,得n≤169,
所以集合A∩{n|n≤2 023,n∈N*}中元素的个数为169.故选C.
3.B　由题意知OPi,OBi(i=1,2,3,…,10)的长度(单位:m)分别构成公差为4和18的等差数列,所以OP10=OP1+9×4=84+9×4=120(m),
OB10=OB1+9×18=78+9×18=240(m),
所以P10(0,120),B10(-240,0),A10(240,0),故,即最长拉索所在直线的斜率为±.故选B.
4.C　易知an≠0.∵an-an+1=anan+1(n∈N*),
∴=1,
∴数列=10为首项,1为公差的等差数列,
∴,
∴+10≥2+10=16,当且仅当n=,即n=3时取等号,故的最小值为16.故选C.
5.ABD　对于A,由2an+1-anan+1=1,得an+1(2-an)=1,当a1=a=1时,an=1,数列{an}为常数列,故A正确;
对于B,=-1,故为等差数列,当a1=a=0时,的前10项和为-1-2-3-…-10=-55,故B正确;
对于C,由B知,当a1=a=时,-n,故an=1+,易知数列{an}的最小项为a7,且a7=-1,故C错误;
对于D,-n,故an=1+,当数列{an}为递增数列时,<1,∴a<1,故D正确.故选ABD.
6.解析　(1)观察可知,每行(列)的数字构成等差数列,且第N行和第N列的数是一样的,第X行第Y列的数等于第Y行第X列的数.
(2)设第一列的数字构成的等差数列为{an},易知其首项为4,公差为3,
则an=a1+3(n-1)=4+3(n-1)=3n+1,
故第100行的第一个数为a100=301.
易知第一行的等差数列的公差是3,第二行的等差数列的公差是5,第三行的等差数列的公差是7,……,则第100行的等差数列的公差是2×100+1=201,
所以第100行的第100个数是301+201×(100-1)=20 200.
7.B　因为a2,a8是2x2-16x-1=0的两根,
所以a2+a8=8,由等差数列的性质得2a5=a3+a7=a2+a8=8,则a5=4,所以(a3+a7)2-a5=(2a5)2-a5=82-4=60.故选B.
8.C　∵a6+2a7+a10=(a6+a10)+2a7=2a8+2a7=20,∴a7+a8=10,
由已知得a7>0,a8>0,
∴a7·a8≤=25,当且仅当a7=a8=5时等号成立,
故a7·a8的最大值为25.故选C.
9.A　由已知得从冬至到夏至的日影长(单位:寸)构成等差数列,设为{an},由题意得a1+a4+a7=31.5,则3a4=31.5,得a4=10.5,
所以a2+a6=2a4=2×10.5=21,所以大雪、寒露的日影长之和为21寸.故选A.
10.C　由已知的椭圆方程可得a2=16,b2=15,∴c=1.
∵数列{|PnF|}是公差大于的等差数列,
∴数列{|PnF|}为递增数列,其最小项为|P1F|=a-c=3,最大项为|PnF|=a+c=5.
设数列{|PnF|}的公差为d,
则5=3+(n-1)d,∴d=,
由,可得n<4 037,
又n∈N+,∴n的最大值为4 036.
11.答案　1
解析　由=101,得(a1+a10)2-2a1a10=(a5+a6)2-2a1a10=121-2a1a10=101,所以a1a10=10.
又a1+a10=a5+a6=11,a1所以a1=1,a10=10,所以d==1.
12.D　因为点A(an,)在拋物线y2=x+6上,
所以an+1=an+6,即an+1-an=6,
所以数列{an}是公差为6的等差数列,
所以=(n+2-n,an+2-an)=(2,12),
又,故选D.
13.C　用这个高阶等差数列的后一项减去它的前一项,得2,3,6,11,18,…,易知该数列不是等差数列,用该数列的后一项减去前一项,得1,3,5,7,…,即得到一个等差数列,
所以原高阶等差数列的第7项为41+(18+9)=68,第8项为68+(18+9+
11)=106.故选C.
14.解析　(1)证明:由3anan-1+an-an-1=0(n≥2,n∈N+),得=3(n≥2,n∈N+),又=1,所以数列是以1为首项,3为公差的等差数列.
(2)由(1)可得=1+3(n-1)=3n-2,
所以an=.
(3)因为λan+≥λ对任意的n≥2,n∈N+恒成立,即+3n-2≥λ对任意的n≥2,n∈N+恒成立,所以只需λ≤对任意的n≥2,n∈N+恒成立即可.
令f(n)=(n≥2,n∈N+),则只需满足λ≤f(n)min即可.
因为f(n+1)-f(n)=
=,
所以当n≥2时, f(n+1)-f(n)>0,
即f(2)又f(2)=,所以λ≤.所以实数λ的取值范围为.
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